Определение арифметика: Арифметика — это… Что такое Арифметика? – Значение слова «арифметика» в 8 словарях

Универсальная арифметика — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Универсальная арифметика
Arithmetica Universalis
Латинское издание (1707)
Автор	Исаак Ньютон
Язык оригинала	латинский
Дата первой публикации	1707

«Универсальная арифметика» (или «Всеобщая арифметика», лат. Arithmetica Universalis) — монография Исаака Ньютона, впервые опубликованная в 1707 году на латинском языке. Универсальной арифметикой Ньютон называл алгебру, и данный труд внёс существенный вклад в развитие этого раздела математики. Позднее книгу под таким же названием опубликовал Эйлер в 1768—1769 годах.

Английское издание (1720)

Среди курсов, которые вёл в Тринити-колледже Исаак Ньютон, был курс алгебры, и согласно правилам Ньютон сдал в университетскую библиотеку аккуратно оформленный латинский конспект этих лекций^[1]. После ухода Ньютона от преподавательской деятельности его преемник на кафедре, Уильям Уистон опубликовал эту рукопись под названием «Универсальная арифметика». В 1720 году Джозеф Рафсон издал английский перевод книги.

К первому изданию был приложен мемуар Галлея о численном методе нахождения корней уравнений. Книга вызвала большой интерес и неоднократно переиздавалась на разных языках; в XVIII веке вышли 5 только латинских её переизданий. Каждое новое издание сопровождалось растущим числом комментариев и дополнений.

В начале книги Ньютон поясняет отношение арифметики и алгебры: цель алгебры — открыть и исследовать общие законы арифметики, а также предложить практические методы решения уравнений. Далее Ньютон даёт классическое определение вещественного числа как отношения результата измерения к единичному эталону

[2]:

Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой за единицу. Оригинальный текст (лат.) Per Numerum non tam multitudinem unitatum quam abstractam quantitatis cujusvis ad aliam ejusdem generis quantitattem quae pro unitate habetur rationem intelligimus.

Это определение фактически завершает многолетний процесс «уравнения в правах» целых, дробных и иррациональных чисел. В отличие от многих математиков того времени, Ньютон не рассматривал отдельно отрицательные числа и на примерах показал их полезность.

Затем излагается теория десятичных дробей, действий с ними и используемых обозначений. Ньютон в своих выкладках использовал обозначения Декарта, мало чем отличающиеся от современных. Однако, в отличие от Декарта, он полностью отделил алгебру от геометрии, подчеркнув, что при всей взаимной пользе у этих наук разные предметы.

В отдельных разделах, с многочисленными примерами и геометрическими иллюстрациями, излагаются действия с дробями, извлечение корней, типы уравнений, методы их упрощения и решения. Ньютон почти не приводит доказательств своих утверждений и основное внимание уделяет прикладным аспектам материала. Некоторые высказанные в книге глубокие теоремы удалось строго доказать только в XIX веке^[1].

Особое внимание Ньютон уделил решению алгебраических уравнений, эта тема занимает почти половину книги. В ходе изложения приводятся решения 77 типовых задач (в основном геометрического характера), снабжённые подробными разъяснениями и методическими рекомендациями.

Среди других открытий Ньютона, изложенных в книге, можно упомянуть:

• Ньютон И. Всеобщая арифметика или Книга об арифметических синтезе и анализе. —
  М.: Изд. АН СССР, 1948. — 442 с. — (Классики науки).

• История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
• Никифоровский В. А. Из истории алгебры XVI-XVII вв. — М.: Наука, 1979. — С. 174-204. — 208 с. — (История науки и техники).
• Юшкевич А. П. О «Всеобщей арифметике» И. Ньютона. // В книге: Ньютон И. Всеобщая арифметика. М.: Изд. АН СССР, 1948, стр. 347-391.

Значение, Определение, Предложения, Синонимы . Что такое арифметика

Основные школьные предметы на этой стадии: английский, арифметика, естественные науки, история США, география, физическая культура и ряд других.

Простая арифметика покажет, что или проблемы будут решены, или человечество физически не выживет.

Еще никогда простая арифметика не вызывала у меня такой улыбки.

Вот вам вся бинарная арифметика и логика, произведшая компьютерную революцию,

Письмо, Арифметика, Литература…

Подобная арифметика ошеломила меня.

При одном взгляде на эту человеческую махину всякому было ясно, что грубая арифметика Бака наконец взяла свое.

Арифметика давалась ей легко, но, когда надо было вслух доказать, как искусно она считает, она забывала, сколько будет дважды два.

Если рассуждать отвлеченно, это была простая арифметика — три жизни против одной, обреченной.

Это было как решение простенькой арифметической задачки, а арифметика была единственной наукой, которая еще в школьные годы давалась Скарлетт без труда.

Наверху лежала книжка под названием «Занимательная арифметика».

Почему это людям так трудно дается арифметика?

Вся его арифметика — считать за рефери до десяти.

Арифметика и любовь не сочетаются.

Выслеживание является важным инструментом для решения проблем удовлетворения ограничений, таких как кроссворды, вербальная арифметика, судоку и многие другие головоломки.

Простейшее решение, предоставляемое большинством архитектур, — это оберточная арифметика.

Арифметика в двоичной системе счисления очень похожа на арифметику в других системах счисления.

Комиссия и доклад подверглись критике со стороны некоторых за то, что они сделали упор на чистую математику вместо более традиционных и практических соображений, таких как арифметика.

Арифметика Пеано равносильна нескольким слабым системам теории множеств.

Главная работа Диофанта — «арифметика», из которой сохранилась лишь часть.

Таким образом, согласно первой теореме о неполноте, арифметика Пеано не является полной.

Арифметика Пеано доказуемо последовательна из ZFC, но не изнутри себя.

Диофант Александрийский был автором серии книг под названием «арифметика», многие из которых ныне утрачены.

В истории Китая были люди, знакомые с такими науками, как арифметика, геометрия, механика, оптика, навигация и астрономия.

Арифметика ясно показывает, что инфляция является гораздо более разрушительным налогом, чем все, что было принято нашими законодательными органами.

Арифметика Symmetry454 полностью документирована и помещена в общественное достояние для бесплатной компьютерной реализации.

Это был вариант для пользователей, которым требовалась обширная арифметика с плавающей запятой,таких как пользователи автоматизированного черчения.

Другие навыки, такие как арифметика и почерк, преподавались в необычные моменты или путешествующими учителями-специалистами, такими как писцы.

Вышесказанное относится к теориям первого порядка, таким как арифметика Пеано.

Интервальная арифметика не является совершенно новым явлением в математике; она появлялась несколько раз под разными названиями в ходе истории.

Существуют также компиляторы C++ и Fortran, которые обрабатывают интервальные типы данных и подходящие операции в качестве расширения языка, поэтому интервальная арифметика поддерживается напрямую.

Объяснение этому феномену-арифметика.

Если используется арифметика дополнения двух, то не x = -x − 1.

Интервальная арифметика явно определяет диапазон возможных исходов.

Соответствующая многоинтервальная арифметика поддерживает непересекающийся набор интервалов, а также обеспечивает объединение перекрывающихся интервалов.

Таким образом, интервальная арифметика может быть расширена с помощью комплексных интервальных чисел для определения областей неопределенности в вычислениях с комплексными числами.

Поэтому неудивительно, что сложная интервальная арифметика похожа на обычную сложную арифметику, но не то же самое, что она есть.

В дополнение к этому списку числовых аксиом арифметика Пеано содержит схему индукции, которая состоит из рекурсивно перечисляемого набора аксиом.

Арифметика Пеано равносильна нескольким слабым системам теории множеств.

Арифметика Монте-Карло-это метод в методах Монте-Карло, где округление происходит случайным образом вверх или вниз.

Другие результаты

Википедия:Рецензирование/Арифметика — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

< Википедия:Рецензирование Перейти к навигации Перейти к поиску

Дело близится к концу, хотелось бы услышать комментарии. Zanka 02:01, 26 октября 2012 (UTC)

В преамбуле можно дать ссылки на разделы, где будет говориться о теме подробнее. В разделе «Предмет арифметики» я ожидал увидеть, рассуждения для чего нужна арифметика и чем занимается, но никак не психологию первобытных народов. Было бы проще читать если упомянуть предмет арифметики в начале параграфа и позже порассуждать о происхождении арифметики в историческом плане. Кроме того не отражено как комплексные числа помогают счёту — в этом параграфе вообще мало о предмете арифметики. Зачем нужно сравнение множеств в этой части? Это тоже предмет арифметики? А почему операции над множествами не рассмотрены? В целом статья смотрится неоднородно из-за наличия истории, и отсутствия арифметики. Относятся ли к арифметики операции с числами в памяти компьютера? Alexander Mayorov 17:17, 26 октября 2012 (UTC)

Спасибо за мнение. Постараюсь ответить по порядку. Ссылки из преамбулы, такое новшество в статьях, которое мне не нравится, поэтому пока добавлять не собираюсь. Раздел «Предмет арифметики» до вчерашнего дня назывался «Элементарная арифметика», но оказалось, что для арифметики «элементарная» означает «формальная», а формальная арифметика — это уже мат.логика. Возможно имело смысл по-другому назвать раздел, но идея была вот в чём: арифметика — это собственно счёт, числа, операции, законы. Причём арифметика — это не столько все эти элементы, сколько история их развития. Всё это хорошо видно в книгах и энциклопедических статьях. Не совсем понятно про комплексные числа: они просто появились в какой-то момент и с ними тоже надо было определить арифметические операции. Сравнение множеств в самом первом абзаце самого первого раздела — это просто начало, что было когда не было числа и как появилось число. Если убрать минимальную историю из первого раздела, то там окажется то же, что уже есть во введении. По поводу арифметических операций в памяти компьютера: я планирую расширить раздел про арифмометры, они упоминаются во многих статьях связанных с арифметикой и тогда, видимо допишу и про компьютеры. К сожалению фундаментальных современных трудов нет, а в статьях я встречала понятие — арифметика больших чисел, относящееся в первую очередь к особенностям выполнения операций на компьютере. Zanka 20:35, 26 октября 2012 (UTC)

Тогда приведите источники во введении. По предмету не всё. Не может получиться бесконечный ряд при счёте предметов, поэтому для счёта бесконечные числа не нужны. Почему про технические аспекты ничего не сказано? Как собственно складывать числа? Деление с остатком не рассмотрено, а ведь оно важно для счёта. Деление столбиком.Alexander Mayorov 21:05, 26 октября 2012 (UTC)

Вы так вольно ходите по тексту, что я потерялась, извините. Давайте я разобью по пунткам. Мне думается будет удобнее, если вы сможете отвечать также в разных ветках. Извините, я работаю медленно. Zanka 14:02, 27 октября 2012 (UTC)

• Введение. Уточнить, что к арифметике как таковой относится и история развития понятия числа и операций. Проставить ссылки на источники. Сделано Посмотрите, я поправила первый абзац введения, так лучше? Исторический абзац и культурные влияния снабжены источниками в соответствующих разделах. Zanka 14:02, 27 октября 2012 (UTC)
• Предмет арифметики. 1. В самом начале добавить обобшающие предложения. 2. Убрать большое количество истории. 3. Добавить техническую информацию по операциям и 4. деление с остатком. Попробую кое-что убрать и переставить акценты с первобытных людей на детей, так как этот момент мне кажется важным именно в этой части статьи. Как осуществлять операции частично уже есть, на простейшем уровне (пересчёт для сложения, и т.п.), ещё добавлю. Zanka 14:02, 27 октября 2012 (UTC)
• Давайте по-порядку. Основная проблема в том, что статья сильно неоднородна, поскольку в ней идёт речь об истории, и частью о фомальных вещах. Поэтому это смотрится как несвязанные между собой вещи.
• В преамбуле должно быть по логике кракое описание статьи, то есть эта часть имеет смысл аннотации, и её можно написать в самом конце.
• Так что если не будет чёткого определения задач и предмета арифметики не будет видна логика. Я её и не вижу — почему исторический очерк в конце, а психология в самом начале?
• Предложение такое: дать определение арифметики, написать о предмете арифметики, и после расписать последовательно о конкретных вещах более подробнее. Если рассматриваются числа, то в истории должно быть зачем они нужны, а то я не понимаю зачем нужны комплексные числа для счёта яблок. Определение должно быть хотя бы близким к нормальному [1]. Alexander Mayorov 17:33, 27 октября 2012 (UTC)

По-порядку так по-порядку :). Временно забыли про введение. Предмет арифметики (ссылки текстом, никакой викификации, просто как заготовка):

Предметом арифметики является понятие числа как конкретной, вполне определённой, величины и его свойства, действия с числами(эсбе). В основном арифметика занимается изучением натуральных и рациональных чисел, или дробей(бсэ). На основе аксиоматической структуры множества натуральных чисел осуществляется построение других чиловых множеств, включая целые, действительные и комплексные числа, проводится их анализ(мэ). К основным действиям над числами относят в первую очередь сложение, вычитание, умножение и деление(эсбе), реже возведение в степень, извлечение корней(брит) и решение численных уравнений (эсбе). Исторически список арифметических действий также включал собственно счёт, удвоение, деление на два и деление с остатком как отдельные действия независимые от собственно умножения и деления, нахождение суммы арифметической и геометрической прогрессий (источники есть). Деление арифметических действий от Непера (см. в статье). В целом, осуществление и исследование операций над различными объектами называют арифметикой, как-то «арифметика квадратичных форм», «арифметика матриц»(мэ). К арифметике также относят исторические вопросы, связанные с происхождением и развитием понятия числа(мэ), и измерения(брит).

Математические расчёты и измерения, необходимые для практических нужд, как то пропорции, проценты, тройное правило, относят к низшей или практической арифметике(эсбе), в то время как логический анализ понятия числа относят к теоретической арифметике(мэ). Свойства целых чисел, деление их на части, построение непрерывных дробей являются составной частью теории чисел (мэ), которая долгое время носила название высшей арифметики (эсбе). Арифметика также тесно связана с алгеброй, которая занимается изучением собственно операций без учёта особенностей и свойств чисел (мэ, бсэ). Такие арифметические действия как возведение в степень, извлечение корней и решение численных уравнений являются технической частью алгебры. В этом ключе, вслед за Ньютоном и Гауссом, алгебру принято считать обобщением арифметики(эсбе, брит).

Арифметика как математическая дисциплина занимается изучением «бесконечной совокупности натуральных чисел». Как и прочие дисциплины она сталкивается с принципиальными методологическими проблемами, для неё необходимо исследование вопросов непротиворечивости и полноты аксиом (бсэ). Логическими построениями формальной системы предикатов и аксиом арифметики занимается формальная арифметика (бсэ_фа).

Это то что вы хотели? Zanka 20:36, 29 октября 2012 (UTC)

Если есть возможность, посмотрите по ссылкам энциклопедические статьи (помимо бсэ, который вы мне выше дали): Математическая энциклопедия, ЭСБЕ/Арифметика, наука, Britannica. Обратите внимание, у нас обычно идёт сразу за определением исторический очерк, а потом аксиомы Пеано и что-то про теоретические обоснования и формализацию. В британнике материал даётся с меньшим количеством истории. Так же и у нас в энциклопедии элементарной математики, откуда я брала определения. Я считаю, что большая часть истории должна быть отдельным разделом. Встаёт вопрос куда его поместить? Либо пусть он остаётся там где есть, либо переносить наверх после предмета арифметики, но в таком случае это будет означать разрыв повествования про собственно арифметику. … Хотя я опять убежала, это потом, пока предмет арифметики. Zanka 20:36, 29 октября 2012 (UTC)

Здесь у меня нет претензий. А что касается истории, я бы отказался от дублирования информации в этой статье и в истории арифметики. История и так везде и ещё эта огромная часть собственно истории. Нужно написать что-то обобщающее, не вдаваясь в детали. Alexander Mayorov 22:21, 29 октября 2012 (UTC)

Хорошо, перенесу тогда этот текст с оформлением. А куда вы предлагаете поставить вопросы образования арифметических понятий (текущий первый абзац). Вы в нём увидели историю, я же в нём вижу становление арифметических понятий у детей. По меньшей мере принципы нумерации должны быть представлены в начале статьи, потому как к ним идёт отсылка по тексту (из сложения, например). Zanka 23:25, 29 октября 2012 (UTC)

Не относящиеся к теме статьи вопрос рассматривать в конце. Если отсылка в разделе сложение, то написать лучше в одном месте. Alexander Mayorov 07:45, 30 октября 2012 (UTC)

Вставила текст, убрала лишнее из раздела (кое-что совсем, кое-что в соседние разделы). Планирую здесь же добавить операции возведения в степень и извлечение корня, формулы для законов. Как вы думаете: Куда лучше поместить деление с остатком (и надо ли) и основную теорему арифметики? Zanka 18:36, 30 октября 2012 (UTC)

Ну если это к арифметике не относится, то не надо включать (я так и знал, что при делении без остатка на пальцах рубили лишнее, поэтому все древние математики при использовании пальцев для счёта останавливались на сложении и вычитании). Теперь без психологии стало лучше. Alexander Mayorov 19:25, 30 октября 2012 (UTC)

Арифметическая функция — Википедия

Арифметическая функция — функция, определенная на множестве натуральных чисел N{\displaystyle \mathbb {N} } и принимающая значения во множестве комплексных чисел C{\displaystyle \mathbb {C} }.

Как следует из определения, арифметической функцией называется любая функция

f:N→C{\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {C} }

Название арифметическая функция связано с тем, что в теории чисел известно много функций f(n){\displaystyle f(n)} натурального аргумента, выражающих те или иные арифметические свойства n{\displaystyle n}. Поэтому, неформально говоря, под арифметической функцией понимают функцию f(n){\displaystyle f(n)}, которая «выражает некоторое арифметическое свойство» натурального числа n{\displaystyle n} (см. примеры арифметических функций ниже).

Многие арифметические функции, рассматриваемые в теории чисел, в действительности являются целозначными.

• Суммой арифметической функции f{\displaystyle f} называют функцию F:[0,+∞)→C{\displaystyle F:[0,+\infty )\to \mathbb {C} }, определённую как

F(x)=∑n≤xf(n).{\displaystyle F(x)=\sum _{n\leq x}f(n).}

Эта операция является «дискретным аналогом» неопределённого интеграла; при этом, хотя исходная функция и была определена только на N{\displaystyle \mathbb {N} }, её сумму оказывается удобным считать определённой на всей положительной полуоси (при этом она, естественно, кусочно-постоянна).

• Свёрткой Дирихле двух арифметических функций f и g называется арифметическая функция h, определённая по правилу

h(n)=∑d|nf(d)g(n/d).{\displaystyle h(n)=\sum _{d|n}f(d)g(n/d).}

• Арифметической функции f можно сопоставить её «производящую функцию» — ряд Дирихле

Φf(s)=∑nf(n)n−s.{\displaystyle \Phi _{f}(s)=\sum _{n}f(n)n^{-s}.}

При этом свёртке Дирихле двух арифметических функций соответствует произведение их производящих функций.

• Поточечное умножение на логарифм,

f↦f′,f′(n)=f(n)⋅ln⁡n,{\displaystyle f\mapsto f’,\quad f'(n)=f(n)\cdot \ln n,}

является дифференцированием алгебры арифметических функций: относительно свёртки оно удовлетворяет правилу Лейбница,

(f∗g)′=f′∗g+f∗g′.{\displaystyle (f*g)’=f’*g+f*g’.}

Переход к производящей функции превращает эту операцию в обычное дифференцирование.

Число делителей[править | править код]

Арифметическая функция τ:N→N{\displaystyle \tau \colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} } определяется как число положительных делителей натурального числа n{\displaystyle n}:

τ(n)=∑d|n1{\displaystyle \tau (n)=\sum _{d|n}1}

Если m{\displaystyle m} и n{\displaystyle n} взаимно просты, то каждый делитель произведения mn{\displaystyle mn} может быть единственным образом представлен в виде произведения делителей m{\displaystyle m} и n{\displaystyle n}, и обратно, каждое такое произведение является делителем mn{\displaystyle mn}. Отсюда следует, что функция τ{\displaystyle \tau } мультипликативна:

τ(mn)=τ(m)τ(n){\displaystyle \tau (mn)=\tau (m)\tau (n)}

Если n=∏i=1rpisi{\displaystyle n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{s_{i}}} — каноническое разложение натурального n{\displaystyle n}, то в силу мультипликативности

τ(n)=τ(p1s1)τ(p2s2)…τ(prsr){\displaystyle \tau (n)=\tau (p_{1}^{s_{1}})\tau (p_{2}^{s_{2}})\ldots \tau (p_{r}^{s_{r}})}

Так как положительными делителями числа pisi{\displaystyle p_{i}^{s_{i}}} являются si+1{\displaystyle s_{i}+1} чисел 1,pi,…,pisi{\displaystyle 1,p_{i},\ldots ,p_{i}^{s_{i}}}, то

τ(n)=(s1+1)(s2+1)…(sr+1){\displaystyle \tau (n)=(s_{1}+1)(s_{2}+1)\ldots (s_{r}+1)}

Число делителей большого целого числа n растёт в среднем как ln⁡n{\displaystyle \ln n}^[1]. Более точно — см. формулу Дирихле.

Сумма делителей[править | править код]

Функция σ:N→N{\displaystyle \sigma \colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} } определяется как сумма делителей натурального числа n{\displaystyle n}:

σ(n)=∑d|nd{\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d|n}d}

Обобщая функции τ(n){\displaystyle \tau (n)} и σ(n){\displaystyle \sigma (n)} для произвольного, вообще говоря комплексного k{\displaystyle k}, можно определить σk(n){\displaystyle \sigma _{k}(n)} — сумму k{\displaystyle k}-х степеней положительных делителей натурального числа n{\displaystyle n}:

σk(n)=∑d|ndk{\displaystyle \sigma _{k}(n)=\sum _{d|n}d^{k}}

Используя нотацию Айверсона, можно записать

σk(n)=∑ddk[d|n]{\displaystyle \sigma _{k}(n)=\sum _{d}d^{k}[\,d|n\,]}

Функция σk{\displaystyle \sigma _{k}} мультипликативна:

m⊥n⇒ σk(mn)=σk(m)σk(n){\displaystyle m\perp n\Rightarrow ~\sigma _{k}(mn)=\sigma _{k}(m)\sigma _{k}(n)}

Если n=∏i=1rpisi{\displaystyle n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{s_{i}}} — каноническое разложение натурального n{\displaystyle n}, то

σk(n)=∏i=1rpi(si+1)k−1pik−1{\displaystyle \sigma _{k}(n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{(s_{i}+1)k}-1}{p_{i}^{k}-1}}}

Сумма делителей числа n растёт в среднем как линейная функция cn, где постоянная c найдена Эйлером и есть c=ζ(2)=π2/6{\displaystyle c=\zeta (2)=\pi ^{2}/6}^[1].

Функция Эйлера[править | править код]

Функция Эйлера φ(n){\displaystyle \varphi (n)}, или тотиента, определяется как количество положительных целых чисел, не превосходящих n{\displaystyle n}, которые взаимно просты с n{\displaystyle n}.

Пользуясь нотацией Айверсона, можно записать:

φ(n)=∑1≤k≤n[k⊥n]{\displaystyle \varphi (n)=\sum _{1\leq k\leq n}[k\perp n]}

Функция Эйлера мультипликативна:

m⊥n⇒ φ(mn)=φ(m)φ(n){\displaystyle m\perp n\Rightarrow ~\varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n)}

В явном виде значение функции Эйлера выражается формулой:

φ(n)=n(1−1p1)(1−1p2)…(1−1pr){\displaystyle \varphi (n)=n\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\left(1-{\frac {1}{p_{2}}}\right)\dots \left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right)}

где p1,p2,…,pr{\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}} — различные простые делители n{\displaystyle n}.

Функция Мёбиуса[править | править код]

Функцию Мёбиуса μ(n){\displaystyle \mu (n)} можно определить как арифметическую функцию, которая удовлетворяет следующему соотношению:

∑d|nμ(d)={1,n=10,n>1{\displaystyle \sum _{d|n}\mu (d)={\begin{cases}1,&n=1\\0,&n>1\end{cases}}}

То есть сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого положительного числа n{\displaystyle n} равна нулю, если n>1{\displaystyle n>1}, и равна 1{\displaystyle 1}, если n=1{\displaystyle n=1}.

Можно показать, что этому уравнению удовлетворяет лишь одна функция, и её можно явно задать следующей формулой:

μ(n)={(−1)r,n=p1p2…pr0,p2|n1,n=1{\displaystyle \mu (n)={\begin{cases}(-1)^{r},&n=p_{1}p_{2}\ldots p_{r}\\0,&p^{2}|n\\1,&n=1\end{cases}}}

Здесь pi{\displaystyle p_{i}} — различные простые числа, p{\displaystyle p} — простое число. Иначе говоря, функция Мёбиуса μ(n){\displaystyle \mu (n)} равна 0{\displaystyle 0}, если n{\displaystyle n} не свободно от квадратов (то есть делится на квадрат простого числа), и равна ±1{\displaystyle \pm 1} в противном случае (плюс или минус выбирается в зависимости от четности числа простых делителей n{\displaystyle n}).

Функция Мёбиуса является мультипликативной функцией. Важное значение функции Мёбиуса в теории чисел связано с формулой обращения Мёбиуса.

1. ↑ ^{1 2} В. И Арнольд. Динамика, статистика и проективная геометрия полей Галуа. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 70. — 72 с.

• Виноградов И. М. Основы теории чисел. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1952. — 180 с.
• Нестеренко Ю. В. Теория чисел: учебник для студ. высш. учеб. заведений. — М.: Издательский центр «Академия», 2008. — 272 с. — ISBN 978-5-7695-4646-4.
• Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел = Introduction to Analytic Number Theory. — М.: «Мир», 1974. — 188 с.