как научиться работе с цифрами
Этого не должно было случиться, но почему-то произошло: 11 класс остался в далеком прошлом, а вы стали вовсе не художником или рок-звездой, а интернет-маркетологом. И школьная учительница оказалась права: математика еще пригодится, вот увидишь!
Где учиться цифрам с нуля, как не сойти с ума от цифр и почему в школе было так сложно (а сейчас легче не станет).
Почему математика такая страшная
В любой вещи, которую вы не понимаете, мало приятного. Но математику особенно не любят. Или даже боятся ее.
Дело не только в том, что у учительницы по алгебре был слишком грозный вид. Математическая тревожность — явление, которое исследуют ученые. И под тревожностью имеют в виду все ее проявления: панику, дрожь в руках. Непонятно, что появляется раньше: неспособности к математике и, как следствие, страх перед ней или же сам страх не дает научиться вычислениям.
Хорошая новость в том, что математическая тревожность слабо коррелирует с результатами тестов IQ.
Что мы знаем про способности к математике
Наверняка вы говорили о себе: «У меня нет математических способностей». И вообще закончили гуманитарный класс.
Большинство ученых с вами согласятся, но лишь потому, что в принципе не доказано существование врожденных способностей к математике. Исследователи много лет пытаются узнать о наследуемости этого навыка. Пока одним из самых громких за последнее время стала работа ученых из университета Питтсбурга (США). Они доказали, что есть корреляция между способностями к математике у детей и родителей. Но ее причина — не только в генетике, но и в социальных факторах.
Кроме способностей к математике, существует математическое чувство, и оно наследуется. Это благодаря ему мы определяем самую короткую очередь, не считая количество людей. Ученые из США сравнили, как дети в шесть месяцев и три с половиной года воспринимают цифры и количество предметов. Оказалось, что малыши, которые в раннем возрасте демонстрировали лучшие математические способности, показали лучший результат и спустя три года, причем общий уровень развития не коррелировал с математическими способностями.
Но выдыхать рано (вы наверняка уже решили, что оказались бы в этом эксперименте среди детей с заурядными результатами). Другая группа исследователей проверила, можно ли развить математические способности и научиться работе с цифрами во взрослом возрасте. Оказалось, что можно. Добровольцы решали задачи, а затем половина участников эксперимента тренировали математические навыки, а контрольная группа — нет, как и полагается контрольной группе. После этого все участники снова решили арифметические примеры. Занимавшаяся математикой группа показала результаты гораздо выше, чем контрольная.
Как выучить математику во взрослом возрасте
Сначала решите, для чего вам нужна математика, какие темы нужно знать и как вы оцените, что цель выполнена. Для повседневной работы в маркетинге вам вряд ли понадобятся линал или понимание задач тысячелетия. Быстрое вычисление, работа с процентами, понимание математических функций.
Полезные курсы по математике
Проект «Математика с нуля»
Текстовые уроки по основным темам.
Интернет-Урок:
(Математика, 1-6 класс)
(Алгебра, 7-11 класс)
Уроки школьной программы по математике в формате видео. Рассчитаны на детей и подростков, но разве это вас остановит?
Stepik. Основы статистики
На практике пригодится чаще, чем основы по математике. Если вы не помните из статистики ничего, пройдите курс перед изучением веб-аналитики.
Stepik. Теория вероятностей
Курс по теории вероятностей посвящен базовым вероятностным методам, которые можно использовать в работе и повседневной жизни.
Открытый университет. Теория игр
Теория игр полезна для многих специальностей. Развивает способность к анализу информации, постановке целей и созданию стратегий.
Вводный курс по матанализу
Если вы уже готовы к высшей математике, но плохо помните университетскую программу.
Khana Academy
Курсы разделены темам и по уровням. Дается сразу теория и тренажер, обучение геймифицировано. Уроки только на английском языке.
Книги по изучению математики с нуля
http://www.alleng.ru/
Подборка школьных учебников, если скучаете по ним.
Математика для взрослых. Кьяртан Поскитт
Не научит теории, но избавит от ежедневных страданий, когда нужно сделать простые вычисления.
Если вы аналитик и занимаетесь, например, аналитикой в Instagram или других соцсетях удобней всего использовать Popsters.
Итого:
- Многие люди и правда боятся математику. Ученые не понимают: страх из-за незнания или незнание от страха.
- Чувство числа наследуется от родителей. А вот математические способности можно развить.
- Взрослые люди могут с нуля выучить математику. Для этого есть бесплатные курсы и книги.
Математика для взрослых с нуля за полгода
1 занятие:
1.1 — Натуральные числа, целые числа
1.2 — Обыкновенные дроби, десятичные дроби, рациональные числа
1.3 — Степени и корни (натуральный, целый, рациональный показатели)
1.4 — Иррациональные и действительные числа. Степень с действительным показателем
2 занятие:
2.1 — Проценты. Формулы плавающего процента. Нахождение процента по кредиту
2.2 — Диграммы, графики, таблицы.
2.3 — Анализ диаграмм
2.4 — Нахождение оптимальных значений графика.
3 занятие:
3.1 — Координатная прямая. Числа на прямой
3.2 — Сравнение чисел. Числовые неравенства
3.3 — Выбор верного или неверного утверждения. Предварительная оценка
4 занятие:
4.1 — Модуль (абсолютная величина) числа
4.2 — Линейные уравнения
4.3 — Квадратные уравнения
4.4 — Рациональные уравнения. Оценка значения уравнения
5 занятие:
5.1 — Иррациональные уравнения
5.2 — Показательные уравнения
6 занятие:
6.1 — Уравнения высших порядков. Замена переменной
6.2 — Системы уравнений. Основные приемы решения систем
7 занятие:
7.1 — Линейные неравенства
7.2 — Квадратные неравенства
7.3 — Рациональные неравенства
7.4 — Системы неравенств
8 занятие:
8.1 — Функция, область определения функции
8.2 — Множество значений функции
8.3 — График функции. Преобразование графиков
9 занятие:
9.1 — Параметры функции. Монотонность, четность/нечетность, периодичность и ограниченность
9.2 — Точки экстремума функции. Наибольшее и наименьшее значение
10 занятие:
10.1 — Линейная функция
10.2 — Функция обратной пропорциональной зависимости
10.3 — Квадратичная функция
10.4 — Степенная функция
10.5 — Показательная функция
11 занятие:
11.1 — Арифметическая прогрессия. Шаг прогрессии
11.2 — Геометрическая прогрессия
11.3 — Числовые последовательности
12 занятие:
12.1 — Понятие логарифма.
12.2 — Логарифмические уравнения
13 занятие:
13.1 — Логарифмические неравенства
13.2 — Логарифмическая функция. График функции
14 занятие:
14.1 — Основы тригонометрии. Понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
14.2 — Радианная мера угла
14.3 — Формулы приведения
15 занятие:
15.1 — Тригонометрические уравнения, работа с тригонометрическим кругом
16 занятие:
16.1 — Тригонометрические функции, их графики
17 занятие:
17.1 — Задачи на совместную работу
17.2 — Задачи на движение
18 занятие:
18.1 — Вероятность. Классическое определение вероятности
18.2 — Вычисление вероятности. Совместные и несовместные события
18.3 — Основы математической статистики, относительная и абсолютная ошибки
19 занятие:
19.1 — Комбинаторика. Сочетания, перестановки и размещения
19.2 — Комбинаторный анализ
20 занятие:
20.1 — Понятие производной. Геометрический смысл производной
20.2 — Уравнение касательной к графику функции
20.3 — Производные суммы, разности, произведения и частного
20.4 — Производные элементарных функций
20.5 — Вторая производная
21 занятие:
21.1 — Комплексные числа. Действительная и мнимая часть числа
21.2 — Операции над комплексными числами
21.3 — Геометрическое изображение
22 занятие:
22.1 — Применение производной к исследованию функций и построению графиков
22.2 — Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономических, задачах
23 занятие:
23.1 — Понятие первообразной. Понятие интеграла
23.2 — Первообразные элементарных функций
23.3 — Применение интеграла в решении задач
24 занятие:
24.1 — Материальная точка. Прямая, луч, отрезок
24.2 — Треугольник. Виды треугольников
24.3 — Четырехугольник. Частные случаи: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция
25 занятие:
25.1 — Окружность и круг
25.2 — Вписанная и описанная окружности треугольника
25.3 — Многоугольник. Сумма углов выпуклого многоугольника
25.4 — Правильные многоугольники. Вписанная окружность и описанная окружность правильного многоугольника
26 занятие:
26.1 — Свойства прямых. Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые; перпендикулярность прямых
26.2 — Параллельность прямой и плоскости, признаки и свойства
26.3 — Параллельность плоскостей, признаки и свойства
27 занятие:
27.1 — Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трех перпендикулярах
27.2 — Перпендикулярность плоскостей, признаки и свойства
28 занятие:
28.1 — Призма, ее основания, боковые ребра, высота, боковая поверхность; прямая призма; правильная призма
28.2 — Параллелепипед; куб; симметрии в кубе, в параллелепипеде
29 занятие:
29.1 — Пирамида, ее основание, боковые ребра, высота, боковая поверхность; треугольная пирамида; правильная пирамида
29.2 — Сечения куба, призмы, пирамиды
29.3 — Правильные многогранники: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр
30 занятие:
30.1 — Цилиндр. Характеристики цилиндра
30.2 — Конус. Характеристики конуса
30.3 — Шар. Сфера
31 занятие:
31.1 — Величина угла, градусная мера угла. Соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности
31.2 — Угол между прямыми в пространстве; угол между прямой и плоскостью
31.3 — Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника
31.4 — Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости; расстояние между параллельными прямыми, параллельными плоскостями
31.5 — Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора
31.6 — Площадь поверхности конуса, цилиндра, сферы
31.7 — Объем куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара
32 занятие:
Координаты и векторы
32.1 — Декартовы координаты на плоскости и в пространстве
32.2 — Формула расстояния между двумя точками; уравнение сферы
32.3 — Вектор, модуль вектора, равенство векторов; сложение векторов и умножение вектора на число
32.4 — Коллинеарные векторы. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
32.5 — Компланарные векторы. Разложение по трем некомпланарным векторам
32.6 — Координаты вектора; скалярное произведение векторов; угол между векторами
33-35 занятие – запасные.
11 книг, которые прокачают математическое мышление
1. «Думай как математик», Барбара Оакли
Развить математическое мышление может каждый. Стоит только овладеть несколькими приёмами. Доктор наук Барбара Оакли рассказывает, как работают с задачами специалисты точных наук. Прочитав книгу, вы узнаете, почему важно усваивать знания порциями, как добиться озарения, почему лучше вспоминать, а не перечитывать.
Подойдёт всем, кто хочет развить память, логику и эффективно работать с информацией.
Купить на Litres.ru
2. «Кому нужна математика?», Нелли Литвак и Андрей Райгородский
Профессора математики Нелли Литвак и Андрей Райгородский рассказывают, где и каким образом используется математика в современном мире. Приводя разные примеры, они доказывают, что мир держится на формулах, и заражают желанием освоить их. Книга написана доступным языком и содержит множество подробных объяснений.
Подойдёт старшеклассникам, студентам и взрослым гуманитариям.
Купить на Litres.ru
3. «Магия математики», Артур Бенджамин
Математические формулы — это заклинания, без которых миру нельзя прожить и дня. Книга математика и специалиста по комбинаторике Артура Бенджамина поможет освоить множество формул и понятий, научит считать в уме и угадывать загаданные другими людьми числа. Кроме того, вы выясните, как знание интегралов поможет сделать ремонт в квартире и что нужно знать, чтобы выиграть в покер.
Книга написана для всех, кто интересуется математикой.
Купить на Litres.ru
4. «Как не ошибаться», Джордан Элленберг
Математика позволяет нам меньше ошибаться и критически осмыслять информацию. В книге Джордана Элленберга доступно представлен математический метод анализа жизни, выработанный научным сообществом. Вы узнаете, как понимать мир через призму точных знаний и формул, поймёте, как работают лотереи и искусственные языки, в чём красота живописи итальянского Ренессанса и что знает о вас Facebook.
Книга предназначена для широкой аудитории.
Купить на Litres.ru
5. «Математика любви», Ханна Фрай
Книга о математике любви и о любви к математике, которая докажет, что наши эмоции можно предсказать через формулы. Ханна Фрай, специалист в области математического анализа поведения, рассказывает, как применять законы математики в отношениях.
Можно ли измерить допустимое количество измен? Как определить оптимальное число сексуальных партнёров? Идеальное число гостей на свадьбе — это сколько? Автор книги поможет разгадать уравнение любви и влюбит вас в науку.
Купить на Litres.ru
6. «Математика для взрослых», Кьяртан Поскитт
Кьяртан Поскитт, инженер и автор серии детских книг Murderous Maths, научит щёлкать математические задачи как орешки. В своей книге он собрал простые и понятные трюки для устного счёта, математические термины и числовые фокусы. Вы научитесь рассчитывать проценты по кредиту, перемножать и делить большие числа, рассчитывать площади и объёмы фигур и конвертировать футы в метры за считаные секунды.
Книга понравится всем, кто хочет научиться быстро считать.
Купить на Litres.ru
7. «Магия чисел», Артур Бенджамин и Майкл Шермер
Чтобы считать в уме быстро, не надо учиться на мехмате. Книга Артура Бенджамина и Майкла Шермера научит производить расчёты быстрее калькулятора и запоминать длинные последовательности чисел. Готовые формулы, похожие на магические заклинания, научат умножать и делить трёхзначные числа, возводить в степень, работать с дробями.
Книга содержит множество упражнений и будет полезна всем.
8. «Математическая смекалка», Борис Кордемский
Легендарный задачник советского математика Бориса Кордемского был выпущен в 1954 году, пережил множество переизданий и был переведён на десятки языков. В нём собраны логические игры, математические фокусы, шахматные и геометрические задачки, задачи без вычислений и с интересными числовыми закономерностями.
Книга развивает математическое мышление и понравится даже безнадёжным гуманитариям.
Купить на Labirint.ru
9. «5 минут на размышление», Яков Перельман
Сборник головоломок известного советского математика Якова Перельмана был выпущен в 1950 году и переиздавался десятки раз. В книге собраны интересные физические опыты, математические головоломки, фокусы, шахматные задачи и кроссворды.
Подойдёт всем, кто хочет расшевелить свой мозг и развить память и логику.
Купить на chitai-gorod.ru
10. «Математические головоломки профессора Стюарта», Иэн Стюарт
Сборник задач математика и популяризатора наук Иэна Стюарта построен в форме приключений детектива Хемлока Сомса и его друга доктора Джона Ватсапа. Персонажи решают головоломки, задачи, делятся гипотезами, рассказывают о теоремах и статистике. Вы узнаете о форме апельсиновой кожуры, блинных числах, гипотезе квадратного колышка.
Книга будет интересна всем, кто любит разгадывать загадки.
Купить на Litres.ru
11. «Величайшие математические задачи», Иэн Стюарт
Цель математики — раскрыть внутреннюю простоту сложных вопросов, а не отпугивать школьников. В своей книге профессор Иэн Стюарт рассказывает доступным языком о величайших загадках современной математики, над которыми бились и продолжают биться величайшие умы. Читатель узнает, почему так важно решить эти задачи и какое место они занимают в науке, а также познакомится с теоремой Ферма, гипотезой Пуанкаре и сферической симметрией Кеплера.
Книга предназначена для широкой аудитории.
Купить на Litres.ru
Читайте также
4 книги, которые разбудят в вас математика
Программисту без математики никуда, даже если вы еще сомневаетесь в этом. Однако понять ее, не имея необходимых знаний и желания, достаточно сложно.
Для того, чтобы облегчить ваши труды и избавить вас от мучений, мы собрали небольшую подборку книг, которые помогут вам превратиться в настоящего математика. Не пугайтесь, вам не придется учить тысячи формул, чтобы этого достичь. Все книги списка помогут вам развить математическое мышление, не убив ни одну из ваших нервных клеток.
Эта книга научит вас не только решению математических задач, но и общим методикам, развивающим логическое мышление. Помимо этого, вы овладеете навыками эвристического мышления. Благодаря советам и наводящим вопросам, вы будете держаться верного направления во время решения заданий.
Если вас всегда интересовал процесс открытия нового в математике, то эта книга – клад для вас. Автор ознакомит читателя с тем, как появляются новые факты и гипотезы, и, как к ним правильно относиться. Отличное изложение информации, красивые иллюстрации сделают чтение интересным и запоминающимся.
Главная цель этой книги – понять суть решения задач. Читатель вместе с автором сможет провести анализ это процесса. В результате каждый прочитавший эту книгу сможет решать задачи разного типа.
Это издание поможет вам развить мышление, побороть прокрастинацию и освоить новые методы обучения. Также книга позволит развить логику и научит думать, как специалист по точным наукам.
Эта подборка поможет вам освоить множество методов решения задач, развить эвристическое мышление, но для достижения лучшего эффекта все же рекомендуем вам также уделять большое внимание практике. Здесь, как и в любом деле теоретические знания должны быть применены на практике. Решайте максимально большое количество задач на регулярной основе, таким образом все навыки, обретенные после прочтения книг, действительно помогут математику в вас проснуться.
Также советуем к прочтению:
Математика в разработке игр: как используется и что почитать по теме
Математические основы анализа данных: подборка материалов по вузовской математике
Читать онлайн — Поскитт Кьяртан. Математика для взрослых
Читать онлайн — Поскитт Кьяртан. Математика для взрослых | Электронная библиотека e-libra.ruНа главную » Поскитт Кьяртан » Математика для взрослых.
Эту книгу хорошо дополняют:
Магия чисел
Артур Бенджамин, Майкл Шермер
Удовольствие от x
Стивен Строгац
Красота в квадрате
Алекс Беллос
Теория игр
Авинаш Диксит, Барри Нейлбафф
Kjartan Poskitt
EVERYDAY MATHS FOR GROWN-UPS:
GETTING TO GRIPS WITH THE BASICS
Michael O’Mara Books Limited
Кьяртан Поскитт
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ВЗРОСЛЫХ
ЛАЙФХАКИ ДЛЯ ПОВСЕДНЕВНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Москва
«Манн, Иванов и Фербер»
2016
Информация
от издательства
Н а у ч н ы й р е д а к т о р Александр Минько
Издано с разрешения Michael O’Mara Books Limited На русском языке публикуется впервые
Поскитт, Кьяртан
Математика для взрослых. Лайфхаки для повседневных вычислений / Кьяртан Поскитт ; пер. с англ. С. Ломакина ; [науч. ред. А. Минько]. — М. : Манн, Иванов и Фербер, 2016.
ISBN 978-5-00100-126-3
Эта книга — самый дружелюбный и доступный ликбез по математике. После ее прочтения вы разберетесь в большинстве базовых терминов и вычислений, сможете применять их в жизни и даже узнаете несколько математических трюков, которыми можно произвести впечатление на друзей. Глоссарий в конце книги позволит вам быстро освежить в памяти любое определение.
Книга будет полезна широкому кругу читателей.
Все права защищены.
Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских прав.
Правовую поддержку издательства обеспечивает юридическая фирма «Вегас-Лекс».
© Kjartan Poskitt, 2010
Перевод на русский язык, издание на русском языке, оформление. ООО «Манн, Иванов и Фербер», 2016
Посвящается Мэрилин Мэлин, которая более двадцати лет помогает мне самоорганизовываться и никогда не ошибается в счете, хотя и не пользуется калькулятором
ПОЧЕМУ Я НАПИСАЛ ЭТУ КНИГУ
Не так давно ко мне подошел Блэйки, мой приятель, и, похоже, он был в отчаянии. Как оказалось, несмотря на то что ему уже почти сорок и он весьма умен, ему никак не удается поступить на курс менеджмента — и все из-за экзамена по арифметике, который он постоянно проваливает. Блэйки признался: «Складывать и вычитать я умею, но совершенно теряюсь, когда дело доходит до умножения: не могу понять, верно ли я сосчитал, даже проверив результат на калькуляторе». Я дал ему почитать мою книгу The Awesome Arithmeticks («Потрясающая арифметика»), написанную для детей-восьмилеток, и через пару недель Блэйки сдал экзамен.
Если вы тоже из числа тех, кому, как и Блэйки, не дается математика, скорее всего, вы упустили что-то важное в самом начале ее изучения, поэтому и в остальном разобраться не получается. Вот почему я сперва остановлюсь на сложении чисел, а затем буду постепенно переходить к вещам посложнее, чтобы вы могли усвоить материал с азов и понять, что и как взаимосвязано. Если первые главы покажутся вам слишком простыми, можете их пропустить; в случае необходимости вы всегда сможете к ним вернуться, если понадобится что-то уточнить.
Не волнуйтесь, это не учебник! Конечно, здесь много чисел, диаграмм и даже некоторых особенных штучек вроде π, x 2 и т. п., но зато нет никаких тестов и экзаменов и никто не станет вас ругать, если во время чтения вы уснете. Главная цель этой книги — дать вам дружеские рекомендации по использованию математики в повседневной жизни. Например, как рассчитать, сколько краски понадобится для ремонта комнаты или сколько времени уйдет на поездку. Я также дам советы по более сложным темам, таким как алгебра и работа с процентами, чтобы вы не чувствовали себя неловко, если дети будут обсуждать при вас домашнее задание по математике. Попутно мы рассмотрим ряд забавных вещей наподобие искривленного пространства и комбинаций в покере и даже несколько фокусов, чтобы вы могли козырнуть ими перед друзьями!
Вот вам один трюк для начала (при желании воспользуйтесь калькулятором).
Загадайте любое трехзначное число; все его цифры должны быть разными.
Запишите его задом наперед.
Вычтите одно из другого.
Второй цифрой результата всегда будет 9, а первая и третья цифры дадут 9 в сумме (в случае, если получится 99, добавьте спереди ноль, чтобы вышло три знака).
Если у вас есть впечатлительный друг по имени Малькольм, можете сразить его этим фокусом наповал. Попросите Малькольма, ничего ему не объясняя, задумать трехзначное число, чтобы все три знака были разными, затем записать его задом наперед и вычесть одно из другого. Поинтересуйтесь, с какой цифры начинается результат, и вы сможете назвать ему остальные цифры, не зная, какое число он изначально загадал!
Если Малькольм скажет, что первая цифра 9, значит, у него получилось 99, если первая цифра 5, то ответ равен 594. Запомните: в середине всегда будет девятка, а цифры по краям в сумме должны давать 9!
СЛОЖЕНИЕ
Сложение — в числе первых навыков, которым учат в школе, однако не принимайте это как должное! Сложение кажется простым благодаря использованию гениальной индо-арабской системы счисления, которая может оперировать числами любой величины, хотя в ней фигурируют всего десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Давайте вспомним, как она устроена.
Система разрядов
Предположим, вы провели три незабываемых дня, торгуя на ярмарке. Ваша выручка соответственно составила 173, 585 и 234 фунта. Но вот досада: вы по ошибке продали свой калькулятор. Так сколько же всего денег вы заработали?
Цифры в числах расположены по системе разрядов , так что в числе 173 3 означает три единицы, 7 — семь десятков, а 1 — одну сотню. Для того чтобы подсчитать сумму 173 + 585 + 234, вам нужно просто записать числа так, чтобы сотни, десятки и единицы находились в столбцах друг под другом.
Индо-арабская система против римской
Мы пользуемся индо-арабской системой счисления, которая появилась в Индии около 2400 лет назад. Примерно 1100 лет назад на нее перешли арабские математики и астрономы, а около 800 лет назад Леонардо Фибоначчи из Пизы способствовал ее распространению в Европе (приблизительно в то же время была построена знаменитая Пизанская падающая башня).
Трудно оценить всю элегантность этой числовой системы, пока вы не рассчитаете ту же сумму, записанную римскими цифрами. Цифры у римлян обозначались буквами следующим образом:
M = 1000
D = 500
C = 100
Деление
В данном уроке мы изýчим деление чисел. Деление чисел довольно непростая операция как в освоении, так и в использовании. Рекомендуем набраться терпения, чтобы осилить этот урок до конца.
Что такое деление?
Деление это действие, позволяющее что-либо разделить. Деление состоит из трёх параметров: делимого, делителя и частного. Делимое это то, что делят. Делитель это число, показывающее на сколько частей нужно разделить делимое. Частное это собственно результат.
К примеру, пусть у нас имеются 4 яблока:
Разделим их поровну на двоих друзей. Тогда деление покажет сколько яблок достанется каждому. Нетрудно увидеть, что каждому достанется по два яблока:
Процесс деления четырех яблок на двоих друзей можно описáть следующим выражением:
В этом примере роль делимого играют яблоки. Роль делителя играют двое друзей, показывающих на сколько частей нужно разделить 4 яблока. Роль частного играют два яблока, показывающие сколько досталось каждому.
Говоря о делении, можно рассуждать и по-другому. Вернёмся к предыдущему выражению 4 : 2 = 2. Можно посмотреть на делитель 2 и задать вопрос «сколько двоек в четвёрке?» и ответить: «две двойки». Действительно, если сложить две двойки, то получится число 4
В ситуации с четырьмя яблоками можно задать вопрос «сколько раз два яблока содержатся в четырёх яблоках» и ответить: «два раза».
Чтобы научиться делить, нужно хорошо знать таблицу умножения. Почему же умножения? Ведь мы говорим о делении. Дело в том, что деление это действие, обратное умножению. Данную фразу можно понимать в прямом смысле. Например, если 2 × 5 = 10, то 10 : 5 = 2.
Видно, что второе выражение записано в обратном порядке. Если у нас имеются два яблока и мы захотим увеличить их в пять раз, то мы запишем 2 × 5 = 10. Получится десять яблок. Затем, если мы захотим обратно уменьшить эти десять яблок до двух, то запишем 10 : 5 = 2
Знак деления выглядит в виде двоеточия : но также можно встретить знак двоеточия и тире ÷
На письме разумнее использовать двоеточие, поскольку оно выглядит аккуратнее.
Деление с остатком
Остаток — это то, что осталось от действия деления неразделённым.
Например, пять разделить на два будет два и один в остатке:
5 : 2 = 2 (1 в остатке)
Можно проверить это умножением:
(2 × 2) + 1 = 5
Допустим, у нас имеются пять яблок
Разделим их поровну на двоих друзей. Но разделить поровну пять целых яблок не получится. Тогда данное деление покажет, что каждому достанется два яблока, а одно яблоко будет в остатке:
Деление уголком
Когда требуется разделить большое число, то прибегают к такому методу как деление уголком.
Прежде чем делить уголком, человек должен понимать:
- обычное деление маленьких чисел;
- деление с остатком;
- умножение в столбик;
- вычитание в столбик.
Рассмотрим деление уголком на простом примере. Пусть требуется найти значение выражения 9 : 3. Уголком это выражение записывается следующим образом:
Это простой пример. Все знают, что девять разделить на три будет три. Ответ (частное) записывается под правым углом:
Чтобы проверить есть ли остаток от деления, нужно частное умножить на делитель и полученный ответ записать под делимым. Частное в данном случае это 3, делитель тоже 3. Перемножаем эти два числа: 3 × 3 = 9. Получили 9. Записываем эту девятку под делимым:
Теперь от делимого вычитаем девятку, которую мы под ним написали: 9 − 9 = 0. Остаток равен нулю. Проще говоря, остатка нет. На этом деление успешно завершено:
Пример 2. Найти значение выражения 8 : 3
Восемь на три просто-так не разделится. Таблица умножения тоже не поможет. В данном случае будет присутствовать остаток от деления.
Сначала запишем данное выражение уголком:
Теперь надо задать вопрос: «сколько троек в восьмёрке?» В восьмёрке содержится две тройки. Это можно увидеть даже воочию, если мы представим восьмёрку как восемь палочек:
В школе частное подбирается методом подбора. Все мы слышали такие фразы как «берём по одному» , «берём по два» или «берём по три». У нас сейчас как раз такой случай. Мы взяли по два, ответив что в восьмёрке две тройки. Записываем двойку в правом уголке:
Теперь вынимаем остаток. Для этого умножаем частное на делитель (2 на 3) и записываем полученное число под делимым:
Далее из 8 вычитаем 6. Полученное число и будет остатком:
8 : 3 = 2 (2 в остатке)
Проверка: (2 × 3) + 2 = 6 + 2 = 8
Деление многозначного числа на однозначное
Данная тема с первого раза может показаться непонятной. Не спешите отчаиваться и забрасывать обучение. Понимание придёт в любом случае. Если не сразу, то немного позже. Главное не сдаваться и продолжать упорно изучать.
В предыдущих примерах мы делили однозначное число на однозначное, и это не доставляло нам лишних проблем. Сейчас мы займёмся тем, что будем делить многозначное число на однозначное.
Если непонятно, что такое однозначные и многозначные числа, советуем изучить предыдущий урок, который называется умножение.
Чтобы разделить многозначное число на однозначное, нужно сначала посмотреть на первую цифру этого многозначного числа, и проверить больше ли она делителя. Если больше, то разделить, а если нет, то проверить больше ли делителя первые две цифры многозначного числа. Если первые две цифры больше делителя, то разделить, а если нет, то проверить больше ли первые три цифры многозначного числа. И так до тех пор, пока не будет выполнено первое деление.
Сложно? Ни чуть, если мы разберём несколько примеров.
Пример 1. Найти значение выражения 25 : 3
25 это многозначное число, а 3 — однозначное. Применяем правило. Смóтрим на первую цифру многозначного числа. Первая цифра это 2. Два больше, чем три? Нет. Поэтому смóтрим первые две цифры многозначного числа. Первые две цифры образуют число 25. Двадцать пять больше, чем три? Да, больше. Поэтому выполняем деление числа 25 на 3. Записываем в уголком данное выражение и начинаем делить:
Сколько троек в числе 25? Если с первого раза ответить сложно, можно заглянуть в таблицу умножения на три. Там необходимо отыскать произведение, которое меньше 25, но очень близко к нему или равно ему. Если найдём такое произведение, то необходимо забрать оттуда множитель, который дал такое произведение:
Это таблица умножения на три. В ней необходимо найти произведение, которое меньше 25, но очень близко к нему или равно ему. Очевидно, что это произведение 24, которое выделено синим. Из этого выражения необходимо забрать множитель, который дал такое произведение. Это множитель 8, который закрашен красным.
Данная восьмёрка и отвечает на вопрос сколько троек в числе 25. Записываем её в правом уголке нашего примера:
Теперь вынимаем остаток. Для этого умножаем частное на делитель (8 на 3) и полученное число записываем под делимым:
Теперь из делимого вычитаем число 24, получим 1. Это и будет остатком:
25 : 3 = 8 (1 в остатке)
(8 × 3) + 1 = 24 + 1 = 25
Последний остаток всегда меньше делителя. Если последний остаток больше делителя это означает, что деление не завершено.
В приведённом примере последним остатком было число 1, а делителем число 3. Единица меньше, чем три, поэтому деление завершено. Последний остаток, меньший делителя, говорит о том, что он не содержит чисел, равных делителю.
В нашем примере, если задать вопрос «сколько троек в единице?», то ответом будет «нисколько», потому что единица не содержит троек, поскольку она меньше тройки.
Пример 2. Разделить 326 на 4.
Смотрим на первую цифру числа 326. Первая цифра это 3. Она больше делителя 4? Нет. Тогда проверяем две цифры делимого. Две цифры делимого образуют число 32. Больше ли оно делителя 4? Да, больше. Поэтому делим. Записываем уголком данное выражение:
Теперь задаём вопрос: «сколько четвёрок в числе 32?». В числе 32 восемь четвёрок. Это можно увидеть в таблице умножения на четыре:
Данная восьмёрка, которая выделена красным отвечает на вопрос сколько четвёрок в числе 32. Записываем её в правом уголке нашего примера:
Теперь умножаем 8 на 4, получаем 32 и записываем это число под делимым. Далее вычитаем это число из 32. Получим 0. Поскольку решение ещё не завершено, ноль не записываем:
Первое число 32 разделили. Осталось разделить оставшуюся 6. Для этого сносим эту шестёрку:
Теперь делим 6 на 4. Для этого задаём вопрос: «сколько четвёрок в шестёрке?» В шестёрке одна четвёрка, это можно увидеть воочию, если представить шестёрку как шесть палочек:
Записываем единицу в правом уголке нашего ответа:
Теперь умножаем нашу единицу на делитель (1 на 4) и записываем полученное число под шестёркой:
Затем из 6 вычитаем 4, получаем число 2, которое является остатком:
Получили 326 : 4 = 81 (2 в остатке)
Проверка: (81 × 4) + 2 = 324 + 2 = 326
Процедура, в которой мы ищем первое число для деления, сравнивая больше ли оно делителя или меньше, называется нахождением первого неполного делимого.
Вернёмся к предыдущему примеру 326 : 4. Первое неполное делимое в данном выражении было число 32, поскольку его мы разделили в первую очередь.
А в примере 25 : 3 первое неполное делимое было 25.
Пример 3. Найти значение выражения 384 : 5
Записываем данное выражение в уголком:
Сначала находим первое неполное делимое. Первая цифра меньше делителя, поэтому проверяем две цифры. Две цифры вместе образуют число 38, которое больше делителя. Это число будет первым неполным делимым. Его и будем в первую очередь делить на делитель:
Сколько пятёрок в числе 38? Если сразу ответить сложно, то можно посмотреть в таблицу умножения на пять и найти произведение, которое меньше 38, но очень близко к нему или равно ему. Найдя такое произведение, нужно забрать оттуда множитель, который будет отвечать на наш вопрос:
Это таблица умножения на пять. Находим произведение, которое меньше 38, но очень близко к нему или равно ему. Очевидно, что это произведение 35, которое выделено синим. Из этого выражения забираем множитель, который дал такое произведение. Это множитель 7, который выделен красным.
Данная семёрка отвечает на вопрос сколько пятёрок в числе 38. Записываем эту семёрку в правом уголке нашего примера:
Умножаем 7 на 5, получаем 35 и записываем его под 38:
Теперь из 38 вычитаем 35, получим 3:
Эта тройка является остатком, которая осталась неразделённой в результате деления 38 на 5. Но видно, что ещё надо разделить и 4. Эту 4 мы снесём и разделим вместе с тройкой:
Видно, что после того, как мы снесли четвёрку, она вместе с тройкой образовала число 34. Это число 34 мы будем делить на 5. Для этого опять задаем вопрос: «сколько пятёрок в числе 34?». Можно снова глянуть в таблицу умножения на пять и найти произведение, которое меньше 34, но очень близко к нему или равно ему:
Видно, что в таблице умножения на пять число 30 меньше нашего 34, но близко к нему. Из этого выражения забираем множитель 6, который отвечает на наш вопрос. Записываем эту шестёрку в правом уголке нашего примера:
Теперь умножаем 6 на 5, получаем 30 и записываем это число под 34:
Теперь из 34 вычитаем 30, получаем 4. Эта четвёрка будет остатком от деления 384 на 5
384 : 5 = 76 (и 4 в остатке)
Проверка: (76 × 5) + 4 = 380 + 4 = 384
Пример 4. Найти значение выражения 8642 : 4
Этот пример немного посложнее. Записываем уголком данное выражение:
Первая цифра 8 больше делителя. Эта восьмёрка будет первым неполным делимым. Делим 8 на 4, получаем 2
Теперь умножаем 2 на 4, получаем 8. Записываем эту восьмёрку под первым неполным делимым:
Вытаскиваем остаток: 8 − 8 = 0. Остаток от деления 8 на 4 это ноль. Ноль не записываем, поскольку решение примера не завершено.
Далее сносим цифру 6 и делим её на делитель, получаем 1
Умножаем 1 на 4, получаем 4. Записываем эту четвёрку под снесённой шестёркой. Затем вынимаем остаток, отняв от шести четыре:
Получили остаток 2. Это остаток, который остался от деления 6 на 4.
Теперь сносим следующую цифру из делимого. Это цифра 4. Эта четвёрка вместе с предыдущим остатком 2 образует число 24. Его делим на делитель. Получим 6
Умножаем 6 на 4, получаем 24. Записываем это число под 24
Вытаскиваем остаток: 24 − 24 = 0. Ноль это остаток от деления 24 на 4. Ноль, как мы уже договорились, не записываем. Далее сносим последнюю цифру 2
Здесь начинается самое интересное. Двойка это последняя цифра, которую мы снесли и которую надо разделить на делитель 4. Но дело в том, что двойка меньше четвёрки, а ведь делимое должно быть больше делителя. Если мы зададим вопрос «сколько четвёрок в двойке?«, то ответом будет ноль, поскольку двойка меньше четвёрки и не может содержать в себе число, бóльшее себя самогó.
Поэтому два разделить на четыре это ноль:
Умножаем 0 на 4, получаем 0. Пишем этот 0 под двойкой:
Теперь находим остаток: 2 − 0 = 2. Двойка это остаток от деления 8642 на 4. Таким образом, пример завершён:
8642 : 4 = 2160 (2 в остатке)
Проверка: (2160 × 4) + 2 = 8640 + 2 = 8642
Деление чисел, у которых на конце 0
Чтобы разделить число, у которого на конце ноль, нужно временно отбросить этот ноль, выполнить обычное деление, и дописать этот ноль в ответе.
Например, разделим 120 : 3
Сколько троек в числе 120? Чтобы ответить на этот вопрос, временно отбрасываем ноль на конце у 120 и делим 12 на 3, получаем 4. И дописываем этот ноль в частном. В итоге получаем 40:
Теперь умножаем частное на делитель (40 на 3), получаем 120. Далее находим остаток: 120 − 120 = 0. Остаток равен нулю. Пример завершён.
120 : 3 = 40
Проверка 40 × 3 = 120.
Такие простые примеры не нуждаются в том, чтобы их решали уголком. Достаточно знать таблицу умножения. Далее просто дописывать нули на конце. Например:
12 : 3 = 4 (делимое без нулей на конце)
120 : 3 = 40 (здесь у делимого один ноль)
1200 : 3 = 400 (здесь у делимого два нуля)
12000 : 3 = 4000 (здесь у делимого три нуля)
В этом способе есть небольшой подвох. Если вы заметили, деля такие числа, мы ссылаемся на таблицу умножения. А представьте, что надо разделить 400 на 5.
Можно рассуждать по старому — отбросить временно все нули и разделить обычные числа. А что будет если отбросить все нули в числе 400? Мы обнаружим, что делим 4 на 5, что недопустимо. В этом случае, надо отбрасывать только один ноль, и делить 40 на 5, а не 4 на 5
Завершаем этот пример, как обычно умножая частное на делитель, и выводя остаток:
Этот способ работает только в том случае, если удаётся гладко применить таблицу умножения. В остальных случаях, придётся искать обходные пути, вычисляя уголком или собирая частное подобно детскому конструктору.
Например, найдём значение выражения 1400 : 5. Здесь отбрасывание нулей нам ничего не даст. Этот пример надо решать уголком или собрать ответ, подобно конструктору. Давайте рассмотрим второй способ.
Что такое 1400? Вспоминаем разряды чисел. 1400 это одна тысяча и четыре сотни:
1000 + 400 = 1400
Можно по-отдельности разделить 1000 на 5 и 400 на 5:
1000 : 5 = 200
400 : 5 = 80
и сложить полученные результаты:
200 + 80 = 280
Итого: 1400 : 5 = 280
Решим этот же пример уголком:
Деление многозначного числа на многозначное
Здесь придётся хорошенько напрячь свой мозговой аппарат и выжать из него по максимуму, потому что разделить многозначное число на многозначное не так то просто.
Принцип деления остаётся тем же, что и раньше. Здесь так же надо находить первое неполное делимое. Здесь так же могут присутствовать остатки от деления.
Для начала введём новое понятие — круглое число. Круглым называется число, которое оканчивается нулём. Например, следующие числа являются круглыми:
10, 20, 30, 500, 600, 1000, 13000
Любое число можно превратить в круглое. Для этого первые цифры, образующие старший разряд, оставляют без изменений, а остальные цифры заменяют нулями. Например, превратим число 19 в круглое число. Первая цифра этого числа 1 образует старший разряд (разряд десятков) — эту цифру оставляем как есть, а оставшуюся 9 заменяем на ноль. В итоге получаем 10
Ещё пример. Превратим число 125 в круглое число. Первая цифра 1 образует старший разряд (разряд сотен) — эту цифру оставляем без изменений, а оставшиеся цифры 25 заменяем нулями. В итоге получаем 100.
Ещё пример. Превратим число 2431 в круглое число. Первая цифра 2 образует старший разряд (разряд тысяч) — эту цифру оставляем без изменений, а остальные цифры 431 заменяем нулями. В итоге получаем 2000.
Ещё пример. Превратим число 13 735 в круглое число. Первые две цифры 13 образуют старший разряд (разряд десятков тысяч) — эти две цифры оставляем без изменений, а остальные цифры 735 заменяем нулями. В итоге получаем 13 000.
Внимание! В дальнейшем понятия круглого числа и перевод любого числа в круглое будут обобщены.
Возвращаемся к делению многозначных чисел на многозначные. Сложность деления таких чисел заключается в том, что частное приходится находить методом подбора. Для этого прибегают к различным техникам, например, превращают делимое и делитель в круглые числа.
Пример 1. Найти значение выражения 88 : 12
Записываем данное выражение уголком:
Задаём вопрос сколько чисел 12 в числе 88? С первого раза ответить сложно. Придётся рассуждать.
Со школы мы помним, что частное подбиралось методом угадывания, говоря «берем по два» или «берем по три».
Давайте попробуем угадать частное. К сожалению, его просто так с неба взять нельзя. Это частное должно быть таким, чтобы при его умножении на делитель, получалось число, которое меньше делимого, но очень близко к нему или равно ему.
Давайте предположим, что частное равно 2. Умножаем это частное на делитель 12
Что это нам дало? Полученное число меньше делимого, но близко к нему? Нет. Оно конечно же меньше делимого 88, но очень далеко от него. Значит двойка как частное не подходит. Угадываем следующее число. Допустим частное равно 5
Что это нам дало? Полученное число конечно меньше, но оно не близко к делимому 88. Значит пятёрка, как частное тоже не подходит. Попробуем сразу взять по 8
На этот раз полученное число превзошло делимое. А оно должно быть меньше делимого, но очень близким к нему или равным ему. Значит восьмёрка как частное тоже не подходит Попробуем тогда взять по 7
Наконец-то нашли подходящее частное! Умножив частное 7 на делитель 12, мы получили 84, которое меньше делимого, но близко к нему. Теперь находим остаток от деления. Для этого из 88 вычитаем 84, получаем 4.
88 : 12 = 7 (4 в остатке)
Проверка: (12 × 7) + 4 = 84 + 4 = 88
Как видно из примера, на подбор частного уходит драгоценное время. Если мы будем сидеть на контрольной или на экзамене, где каждая минута очень дорогá, этот метод нам явно не поможет.
Чтобы сэкономить время, можно делимое и делитель превратить в круглые числа, а затем осуществить деление этих круглых чисел. Делить круглые числа намного проще и удобнее.
Например, чтобы разделить 90 на 10, достаточно отбросить нули у обоих чисел и разделить 9 на 1. В итоге получим 90 : 10 = 9.
Количество отбрасываемых нулей должно быть строго одинаковым. К примеру, если мы делим 900 на 90, то отбрасываем по нулю от каждого числа, поскольку у числа 900 два нуля, а у 90 только один. Отбросив по нулю от каждого числа, мы получим выражение 90 : 9 = 10. В итоге получаем 900 : 90 = 10.
В делении круглых чисел также нет ничего сложного. Постарайтесь понять это. Если непонятно, изучите этот момент несколько раз. Это очень важно.
Ниже приведено несколько примеров, где делятся круглые числа. Отбрасываемые нули закрашены серым цветом:
800 : 10 = 80 (отбросили по нулю и разделили 80 на 1, получили 80)
800 : 80 = 10 (отбросили по нулю и разделил 80 на 8, получили 10)
900 : 10 = 90 (отбросили по нулю и разделили 90 на 1, получили 90)
400 : 50 = 8 (отбросили по нулю и разделили 40 на 5, получили 8)
320 : 80 = 4 (отбросили по нулю и разделили 32 на 8, получили 4)
Если вы заметили, всё в конечном итоге сводится к таблице умножения. Именно поэтому в школе требуют знать её наизусть. Мы тоже этого требуем, хоть и не принуждаем.
Теперь давайте решим предыдущий пример 88 : 12 где мы бились, находя частное методом угадывания. Для начала превращаем делимое и делитель в круглые числа.
Круглым числом для 88 будет число 80.
А круглым числом для 12 будет число 10.
Теперь делим полученные круглые числа:
80 разделить 10 будет 8. Эту восьмёрку мы пишем в частном:
Теперь проверяем, верно ли подобралось частное. Для этого умножаем частное на делитель (8 на 12). Восьмёрку, как частное мы уже проверяли, когда решали этот пример методом угадывания. Она нам не подошла, поскольку после её умножения на делитель, получилось число 96, которое больше делимого. Зато подошло частное 7, которое меньше восьмёрки всего-лишь на единицу.
Отсюда можно сделать вывод, что в выражении 88 : 12 частное, полученное путём превращения делимого и делителя в круглые числа, больше лишь на единицу. Наша с вами задача уменьшить это частное на единицу.
Так и сделаем — уменьшим 8 на единицу: 8 − 1 = 7. Семёрка это частное. Записываем её в правом уголке нашего примера:
Как видите, этим способом мы решили этот пример намного быстрее.
Пример 2. Найти значение выражения 1296 : 144
Записываем уголком данное выражение. Сразу же находим первое неполное делимое. Его образуют все четыре цифры делимого:
Это деление многозначного числа на многозначное. Давайте применим только что изученный метод. Превратим делимое и делитель в круглые числа, а затем разделим их.
Для делимого 1296 круглым числом будет 1000. А для делителя 144 круглым числом будет 100.
Делим 1000 на 100, получим 10. Проверим полученную десятку, умножив её на делитель 144
Десятка не подходит, поскольку при умножении получается число, которое больше делимого.
Попробуем взять по 9, уменьшив десятку на единицу.
Проверяем девятку. Для этого умножаем её на делитель:
Красота! Полученное число оказалось не только ближе к делимому, но и равным ему. Это значит, что деление выполнилось без остатка. Завершаем данный пример, вычитая из 1296 полученное число 1296
1296 : 144 = 9
Проверка: 144 × 9 = 1296
Пример 3. Попробуем решить большой и сложный пример 227 492 : 331
Записываем уголком данное выражение. Сразу же определяем первое неполное делимое. Его образуют первые четыре цифры делимого 2274. Значит сначала будем делить 2274 на 331. Их же превратим в круглые числа.
Для числа 2274 круглым числом будет 2000. А для 331 круглым числом будет 300
Получили 6. Проверим верно ли подобралась эта шестёрка. Для этого, умножим её на делитель 331:
Шестёрка подошла, потому что она отвечает на вопрос сколько чисел 331 в числе 2274. Если бы мы взяли по семь, то получилось бы следующее:
Если бы мы взяли по 7 и проверили эту семёрку, то получили бы 2317, которое больше делимого, а это недопустимо.
Продолжаем решать наш пример. Вычитаем из 2274 число 1986, получаем 288:
Тождественные преобразования многочленов
Предварительные навыкиВозведение двучлена в степень
Двучлен — это многочлен, состоящий из двух членов. В прошлых уроках мы возводили двучлен во вторую и третью степень, тем самым получили формулы сокращенного умножения:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Но двучлен можно возводить не только во вторую и третью степень, но и в четвёртую, пятую или более высокую степень.
К примеру, возведём двучлен a + b в четвертую степень:
(a + b)4
Представим это выражение в виде произведения двучлена a + b и куба этого же двучлена
(a + b)(a + b)3
Сомножитель (a + b)3 можно заменить на правую часть формулы куба суммы двух выражений. Тогда получим:
(a + b)(a3 + 3a2b + 3ab2 + b3)
А это обычное перемножение многочленов. Выполним его:
То есть при возведении двучлена a + b в четвертую степень получается многочлен a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
Возведение двучлена a + b в четвертую степень можно выполнить ещё и так: представить выражение (a + b)4 в виде произведения степеней (a + b)2(a + b)2
(a + b)2(a + b)2
Но выражение (a + b)2 равно a2 + 2ab + b2. Заменим в выражении (a + b)2(a + b)2 квадраты суммы на многочлен a2 + 2ab + b2
(a2 + 2ab + b2)(a2 + 2ab + b2)
А это опять же обычное перемножение многочленов. Выполним его. У нас получится тот же результат, что и раньше:
Возведение трёхчлена в степень
Трёхчлен — это многочлен, состоящий из трёх членов. Например, выражение a + b + c является трёхчленом.
Иногда может возникнуть задача возвести трёхчлен в степень. Например, возведём в квадрат трехчлен a + b + c
(a + b + c)2
Два члена внутри скобок можно заключить в скобки. К примеру, заключим сумму a + b в скобки:
((a + b) + c)2
В этом случае сумма a + b будет рассматриваться как один член. Тогда получается, что в квадрат мы возводим не трёхчлен, а двучлен. Сумма a + b будет первым членом, а член c — вторым членом. А как возводить в квадрат двучлен мы уже знаем. Для этого можно воспользоваться формулой квадрата суммы двух выражений:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Применим эту формулу к нашему примеру:
Таким же способом можно возвести в квадрат многочлен, состоящий из четырёх и более членов. Например, возведем в квадрат многочлен a + b + c + d
(a + b + c + d)2
Представим многочлен в виде суммы двух выражений: a + b и c + d. Для этого заключим их в скобки:
((a + b) + (c + d))2
Теперь воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений:
Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена
Ещё одно тождественное преобразование, которое может пригодиться при решении задач это выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена.
Квадратным трехчленом называют трёхчлен второй степени. Например, следующие трехчлены являются квадратными:
Идея выделения полного квадрата из таких трехчленов заключается в том, чтобы представить исходный квадратный трехчлен в виде выражения (a + b)2 + c, где (a + b)2 полный квадрат, а c — некоторое числовое или буквенное выражение.
Например, выделим полный квадрат из трёхчлена 4x2 + 16x + 19.
Для начала нужно построить выражение вида a2 + 2ab + b2. Строить мы его будем из трехчлена 4x2 + 16x + 19. Для начала определимся какие члены будут играть роли переменных a и b
Роль переменной a будет играть член 2x, поскольку первый член трехчлена 4x2 + 16x + 19, а именно 4x2 получается если 2x возвести в квадрат:
(2x)2 = 4x2
Итак, переменная a равна 2x
a = 2x
Теперь возвращаемся к исходному трёхчлену и сразу обращаем внимание на выражение 16x. Это выражение является удвоенным произведением первого выражения a (в нашем случае это 2x) и второго пока неизвестного нам выражения b. Временно поставим на его место вопросительный знак:
2 × 2x × ? = 16x
Если внимательно посмотреть на выражение 2 × 2x × ? = 16x, то интуитивно станет понятно, что членом b в данной ситуации является число 4, поскольку выражение 2 × 2x равно 4x, и чтобы получить 16x нужно домножить 4x на 4.
2 × 2x × 4 = 16x
Отсюда делаем вывод, что переменная b равна 4
b = 4
Значит, нашим полным квадратом будет выражение (2x)2 + 2 × 2x × 4 + 42
Теперь у нас всё готово для выделения полного квадрата из трёхчлена 4x2 + 16x + 19.
Итак, возвратимся к исходному трехчлену 4x2 + 16x + 19 и попробуем аккуратно внедрить в него полученный нами полный квадрат (2x)2 + 2 × 2x × 4 + 42
4x2 + 16x + 19 =
Вместо 4x2 записываем (2x)2
4x2 + 16x + 19 = (2x)2
Далее вместо 16x записываем удвоенное произведение, а именно 2 × 2x × 4
4x2 + 16x + 19 = (2x)2 + 2 × 2x × 4
Далее прибавляем квадрат второго выражения:
4x2 + 16x + 19 = (2x)2 + 2 × 2x × 4 + 42
А член 19 пока переписываем как есть:
4x2 + 16x + 19 = (2x)2 + 2 × 2x × 4 + 42 + 19
Теперь обратим внимание на то, что полученный нами многочлен (2x)2 + 2 × 2x × 4 + 42 + 19 не тождественен изначальному трёхчлену 4x2 + 16x + 19. Убедиться в этом можно приведя многочлен (2x)2 + 2 × 2x × 4 + 42 + 19 к стандартному виду:
(2x)2 + 2 × 2x × 4 + 42 + 19 = 4x2 + 16x + 42 + 19
Видим, что получается многочлен 4x2 + 16x + 42 + 19, а должен был получиться 4x2 + 16x + 19. Это по причине того, что член 42 был искусственно внедрён в изначальный трёхчлен с целью организовать полный квадрата из трёхчлена 4x2 + 16x + 19.
Чтобы сохранить значение исходного многочлена, нужно после прибавления члена 42 сразу же вычесть его
4x2 + 16x + 19 = (2x)2 + 2 × 2x × 4 + 42− 42 + 19
Теперь выражение (2x)2 + 2 × 2x × 4 + 42 можно свернуть, то есть записать в виде (a + b)2. В нашем случае получится выражение (2x + 4)2
4x2 + 16x + 19 = (2x)2 + 2 × 2x × 4 + 42 − 42 + 19 = (2x + 4)2 − 42 + 19
Оставшиеся члены −42 и 19 можно сложить. −42 это −16, отсюда −16 + 19 = 3
4x2 + 16x + 19 = (2x)2 + 2 × 2x × 4 + 42 − 42 + 19 = (2x + 4)2 − 42 + 19 = (2x + 4)2 + 3
Значит, 4x2 + 16x + 19 = (2x + 4)2 + 3
Пример 2. Выделить полный квадрат из квадратного трёхчлена x2 + 2x + 2
Сначала построим выражение вида a2 +2ab + b2. Роль переменной a в данном случае играет x, поскольку x2 = x2.
Следующий член исходного трёхчлена 2x перепишем в виде удвоенного произведение первого выражения (это у нас x) и второго выражения b (это будет 1).
2 × x × 1 = 2x
Если b = 1, то полным квадратом будет выражение x2 + 2x + 12.
Теперь вернёмся к исходному квадратному трёхчлену и внедрим в него полный квадрата x2 + 2x + 12
x2 + 2x + 2 = x2 + 2x + 12 − 12 + 2 = (x + 1)2 + 1
Как и в прошлом примере член b (в данном примере это 1) после прибавления сразу был вычтен с целью сохранения значения исходного трёхчлена.
Рассмотрим следующее числовое выражение:
9 + 6 + 2
Значение этого выражения равно 17
9 + 6 + 2 = 17
Попробуем выделить в этом числовом выражении полный квадрат. Для этого сначала построим выражение вида a2 + 2ab + b2. Роль переменной a в данном случае играет число 3, поскольку первый член выражения 9 + 6 + 2, а именно 9 можно представить как 32.
Второй член 6 представим в виде удвоенного произведения первого члена 3 и второго 1
2 × 3 × 1 = 6
То есть переменная b будет равна единице. Тогда полным квадратом будет выражение 32 + 2 × 3 × 1 + 12. Внедрим его в исходное выражение:
32 + 6 + 2 = 32 + 2 × 3 × 1 + 12 − 12 + 2
Свернем полный квадрат, а члены −12 и 2 слóжим:
32 + 6 + 2 = 32 + 2 × 3 × 1 + 12 − 12 + 2 = (3 + 1)2 + 1
Получилось выражение (3 + 1)2 + 2, которое по прежнему равно 17
(3 + 1)2+1 = 42 + 1 = 17
Допустим, у нас имеются квадрат и два прямоугольника. Квадрат со стороной 3 см, прямоугольник со сторонами 2 см и 3 см, а также прямоугольник со сторонами 1 см и 2 см
Вычислим площадь каждой фигуры. Площадь квадрата будет составлять 32 = 9 см2, площадь розового прямоугольника — 2 × 3 = 6 см2, площадь сиреневого — 1 × 2 = 2 см2
Запишем сумму площадей этих прямоугольников:
9 + 6 + 2
Это выражение можно понимать как объединение квадрата и двух прямоугольников в единую фигуру:
Тогда получается фигура, площадь которой 17 см2. Действительно, в представленной фигуре содержится 17 квадратов со стороной 1 см.
Попробуем из имеющейся фигуры образовать квадрат. Причем максимально большой квадрат. Для этого будем использовать части от розового и сиреневого прямоугольника.
Чтобы образовать максимально большой квадрат из имеющейся фигуры, можно желтый квадрат оставить без изменений, а половину от розового прямоугольника прикрепить к нижней части желтого квадрата:
Видим, что до образования полного квадрата не хватает еще одного квадратного сантиметра. Его мы можем взять от сиреневого прямоугольника. Итак, возьмем один квадрат от сиреневого прямоугольника и прикрепим его к образуемому большому квадрату:
Теперь внимательно посмотрим к чему мы пришли. А именно на желтую часть фигуры и розовую часть, которая по сути увеличила прежний жёлтый квадрат. Не означает ли это то, что была сторона квадрата равная 3 см, и эта сторона была увеличена на 1 см, что привело в итоге к увеличению площади?
(3 + 1)2
Выражение (3 + 1)2 равно 16, поскольку 3 + 1 = 4, а 42 = 16. Этот же результат можно получить, если воспользоваться формулой квадрата суммы двух выражений:
(3 + 1)2 = 32 + 6 + 1 = 9 + 6 + 1 = 16
Действительно, в образовавшемся квадрате содержится 16 квадратов.
Оставшийся один квадратик от сиреневого прямоугольника можно прикрепить к образовавшемуся большому квадрату. Ведь речь изначально шла о единой фигуре:
(3 + 1)2 + 1
Прикрепление маленького квадратика к имеющемуся большому квадрату описывается выражением (3 + 1)2 + 1. А это есть выделение полного квадрата из выражения 9 + 6 + 2
9 + 6 + 2 = 32 + 6 + 2 = 32 + 2 × 3 × 1 + 12 − 12 + 2 = (3 + 1)2 + 1
Выражение (3 + 1)2 + 1, как и выражение 9 + 6 + 2 равно 17. Действительно, площадь образовавшейся фигуры равна 17 см2.
Пример 4. Выполним выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена x2 + 6x + 8
x2 + 6x + 8 = x2 + 2 × x × 3 + 32 − 32 + 8 = (x + 3)2 − 1
В некоторых примерах при построении выражения a2 + 2ab + b2 не бывает возможным сразу определить значения переменных a и b.
Например, выполним выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена x2 + 3x + 2
Переменной a соответствует x. Второй член 3x нельзя представить в виде удвоенного произведения первого выражения и второго. В этом случае второй член следует умножить на 2, и чтобы значение исходного многочлена не изменилось, сразу же выполнить деление на 2. Выглядеть это будет так:
Получившаяся дробь и содержит значения переменных a и b. Наша задача суметь правильно их распознать. Перепишем эту дробь в виде произведения множителя 2, дроби и переменной x
Теперь второй член представлен в виде удвоенного произведения первого выражения и второго. Переменная a, как было сказано ранее, равна x. А переменная b равна дроби
Возвращаемся к нашему примеру и прибавляем квадрат второго выражения, и чтобы значение выражения не изменилось, сразу же вычитаем его:
Прибавляем оставшийся член 2
Свернём полный квадрат:
Оставшийся квадрат второго выражения и число 2 можно сложить. В итоге получим:
Пример 6. Выполним выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена 9x2 + 18x + 7
Пример 7. Выполним выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена x2 − 10x + 1
В данном трёхчлене первые два члена связаны знаком «минус». В этом случае как и раньше нужно выделить полный квадрат, но это будет квадрат разности. Проще говоря, нужно построить выражение вида a2 − 2ab + b2.
Пример 8. Выполним выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена 16x2 + 4x + 1
Пример 9. Разложить многочлен x2 + 6x + 8 на множители при помощи выделения полного квадрата.
Сначала выделим полный квадрат:
Получившийся многочлена (x + 3)2 − 1 является разностью квадратов, поскольку единица может быть представлена в виде 12. Воспользуемся формулой разности квадратов и разложим многочлен (x + 3)2 − 1 на множители:
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Выполните возведение многочлена в степень:
Решение:
Задание 2. Выполните возведение многочлена в степень:
Решение:
Задание 3. Выполните возведение многочлена в степень:
Решение:
Задание 4. Выделите полный квадрат из квадратного трёхчлена:
Решение:
Задание 5. Выделите полный квадрат из квадратного трёхчлена:
Решение:
Задание 6. В следующем выражении выделите полный квадрат:
Решение:
Задание 7. В следующем выражении выделите полный квадрат:
Решение:
Задание 8. В следующем выражении выделите полный квадрат:
Решение:
Задание 9. В следующем выражении выделите полный квадрат:
Решение:
Задание 10. В следующем выражении выделите полный квадрат:
Решение:
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже