Почему нам не прожить без ноля, и что это число дало человечеству
- Ханна Фрай
- для BBC Future
Автор фото, iStock
Математик Ханна Фрай рассказывает захватывающую историю открытия числа ноль и объясняет, почему без него мы не смогли бы предсказывать будущее.
В основе науки, техники и математики лежит ничто — вернее, ноль.
Это дерзкая и влиятельная цифра вызвала больше споров и восторгов, чем любой другой известный мне математический знак.
Начнем с того, что оно позволяет нам предсказывать будущее. Но чтобы узнать причину этого и понять всю силу ноля, необходимо сначала ознакомиться с историей его появления и становления, ведь путь ноля к величию был очень непростым.
Ноль как понятие встречается уже с древних времен — его можно найти в памятниках культуры вавилонян и майя, использовавших эту цифру для расчета календаря.
Древние ученые пользовались им для обозначения отсутствия числа, как это делаем мы в числах наподобие 101 или 102, чтобы показать, что в разряде десятков нет числа, кратного 10. Вавилоняне же для этого использовали два клиновидных знака.
Автор фото, Wikipedia
Подпись к фото,Вавилонский символ, означавший отсутствие числа
Тем не менее прошло целых два тысячелетия, прежде чем ноль, при всей его математической значимости, стали воспринимать как настоящее число. И случилось это в Индии.
По словам писателя-математика Алекса Беллоса, Индия была для этого идеальным местом.
«Глубоко в индийской культуре заложена идея о том, что ничто — это на самом деле что-то, — говорит он. — Если есть «нирвана», то есть состояние небытия, отсутствия тревог и желаний, то почему бы не придумать символ для обозначения «ничего»?
Этот символ получил название «шунья», и сегодня это слово используется для обозначения и понятия «ничто», и нуля как числа.
Несмотря на то, что форма всех других цифр, используемых нами сегодня, существенно изменилась за время их существования, ноль всегда обозначали окружностью.
До того как я начала (в рамках подготовки к программе «Любопытные истории Резерфорда и Фрай») подробно изучать историю возникновения ноля, я всегда считала, что отсутствие чего-либо символизирует именно пустое пространство внутри круга.
Однако, согласно индийской мифологии, ноль круглый потому, что символизирует жизненный цикл, или, как его еще называют, «змею вечности».
Автор фото, iStock
Подпись к фото,Влияние ноля на развитие нашего общества сложно переоценить
В становлении ноля важную роль сыграл индийский астроном Брахмагупта, живший в 7 веке н.э. В математике шунья использовалась не только для обозначения отсутствия числа в какой-либо позиции, но и для расчетов, как и любое другое число.
Его можно было прибавлять и отнимать, а также умножать на него.
Что касается деления на ноль, этот вопрос остается довольно сложным, но именно эта сложность способствовала возникновению совершенно нового замечательного раздела математики.
Однако об этом мы поговорим чуть позже.
Закрепив свое присутствие в Южной Азии, ноль отправился на Ближний Восток, где был взят на вооружение исламскими учеными, которые сделали его частью используемой нами сегодня арабской системы счисления.
(Некоторые историки считают, что индийское происхождение ноля незаслуженно игнорируется, и эту систему все же следует называть индо-арабской).
Тем не менее после столь блестящего в духовном и интеллектуальном смысле начала нолю пришлось очень непросто.
Он попал в Европу во времена христианских крестовых походов против ислама. Любые идеи арабов, даже в математике, встречались с неизменным скептицизмом и недоверием.
В 1299 году ноль, равно как и все остальные арабские цифры, был запрещен во Флоренции. Произошло это потому, что ноль считали находкой для мошенников.
Его легко было исправить на девять или, например, добавить пару нолей к сумме расписки, чтобы увеличить сумму долга.
Более того, считалось, что ноль создает опасный прецедент, ведь само его существование предполагает существование отрицательных чисел, что, в свою очередь, ведет к признанию таких понятий как долг и заимодавство.
Нулевой триумф
Невероятно, но факт: ноль, как и другие арабские цифры, получил окончательное признание лишь в XV веке.
Для сравнения приведем простой пример: к тому времени Оксфордский университет в Англии существовал уже несколько веков, а в Европе вовсю развивалось книгопечатание.
Без сомнения, и то, и другое помогло такому понятию, как ноль, навсегда закрепиться в математике. Именно благодаря ему были созданы самые удивительные научные и технологические методы, которыми мы пользуемся сегодня.
Автор фото, Getty Images
Подпись к фото,Сегодня ноль используется повсеместно, но когда-то он был спорным понятием
Настоящий триумф этой цифры пришелся на XVII век, когда она стала основой для системы координат, изобретенной французским философом Декартом (все мы помним графики с осями x and y, которые рисовали в школе).
Его система до сих пор используется в различных областях науки, от техники до компьютерной графики.
Об этом чрезвычайно красиво сказал Беллос: «Искру Возрождения зажег приход арабской системы счисления и, в частности, ноля. Когда это произошло, черно-белый мир арифметики вдруг заиграл разными красками и цветами».
Впрочем, в эпоху Возрождения ноль приобрел такой большой вес, что вновь стал причиной разногласий.
Ранее я уже упоминала проблему деления на ноль. Еще более спорный вопрос о том, можно ли ноль делить на ноль, является основой для одного из моих любимейших разделов математики — математического анализа.
Математический анализ — это математика изменений. Благодаря ему у нас есть хитрые приемы, позволяющие предугадать то, что случится в будущем — от темпов распространения Эболы до колебаний на рынке ценных бумаг. Это и вправду очень мощный инструмент.
То, как функционирует математический анализ, можно описать одним абзацем. Представьте, что вы нарисовали график изменения какой-либо величины с течением времени — например, вашего внимания по мере прочтения этой статьи.
Иногда вы можете отвлекаться (на отрывке про декартову систему координат, например), и поэтому линия графика будет неровной.
Но если любой отрезок этой кривой увеличить достаточно сильно, он будет выглядеть как прямая линия.
Увеличьте его еще больше, до тех пор пока отрезки кривой не станут бесконечно малыми и приближающимися к нолю, и тогда даже самая непредсказуемая зависимость превратится в аккуратные прямые линии, которые очень легко обработать при помощи математических методов.
Математический анализ можно использовать для описания практически любых изменений, от колебаний курсов акций до усваивания лекарственного препарата в организме человека.
Без понятия ноля как числа это было бы невозможно.
Поэтому давайте поднимем бокал с идеально сферическими пузырьками за самое округлое и всесильное число в истории.
Введение Бога в математику (неплатоновый диалог)
Фотография «Ока Бога», сделанная в невидимом инфракрасном диапазоне в 2007 году с помощью американского космического телескопа «Шпицер».
— В середине 20 века в математику ввели Бога. И назвали его актуальная бесконечность.
— А до этого разве понятие бесконечности математика не знала?
— Знала, но понимала под ней – потенциальную бесконечность. То есть знаком бесконечность обозначалось, в общем, такое большое число, что если указать любое другое большое число, то всегда можно указать число ещё большее (или, иначе говоря – «любое утверждение, содержащее символ бесконечности, можно записать, используя только конечные числа и логические операции над ними»). Актуальная же бесконечность – это, в общем, такое число, больше которого просто нет.
— То есть, это самое-самое большое, по аналогии, как Бог есть самый сильный, самый великий, самый знающий и т.д.?
— Да. При этом, актуальную бесконечность упоминал еще Аристотель. Да и потом она неоднократно упоминалась в трудах Лейбница и Ньютона (создателей дифференциального исчисления), а также Кантора (создателя теории множеств) и Эйлера. Но в 30-х годах прошлого века актуальную бесконечность изгнали из математики.
— Как изгнали?
— Запретили(!) к применению как математически некорректное понятие. И везде, где она упоминалась, стали использовать понятие предела.
— То есть математика лишилась Бога?
— Да. Но в физике актуальная бесконечность продолжала применяться. Физики по-своему относятся к применяемому ими математическому аппарату – лишь бы предсказывал верные результаты эксперимента. Корректность применяемой самой математики у физиков не на первом месте.
— И долго математики были атеистами?
— Лет 25. А потом появился Абрахам Робинсон (1918–1974). Он принудительно (аксиоматически) ввёл Бога – актуальную бесконечность — в математику и назвал это нестандартный анализ.
— И что это дало математике?
— По крайней мере, актуальная бесконечность, введённая Робинсоном, не разрушила стандартный анализ. Все теоремы, верные для стандартных элементов бесконечного множества, остались верны и для нестандартных элементов. Бог был введён в математику корректно. Корректно для нестандартной модели, для нестандартного анализа.
— А чем отличаются нестандартные (элементы множеств) от стандартных?
— Математика сама по себе наука о математических абстракциях. Числа, множества – всё это математические абстракции. И удивительно то, что в эти математические абстрактные понятия, Робинсону удалось ввести идеальные (нестандартные) математические понятия. Бог в математике – актуальная бесконечность – есть идеальная (нестандартная) математическая абстракция.
— Бог и в жизни есть идеал. Недостижимый и непостижимый. Но что конкретно нового дало введение Бога (актуальной бесконечности) в математику? Кроме того, что ничего из стандартного анализа не рухнуло.
— Математика озарилась божьим светом.
— А до этого математика была во тьме?
— До этого математика была «чёрно-белой». По аналогии с «черно-белым» телевидением.
— Поясни аналогию.
— Понятие цвета(!) не существует в природе. Вопрос, – а какого цвета Wi—Fi? – смысла не имеет. Всё что есть – это рецепторы для восприятия конкретных длин электромагнитных волн. Черно-белый телевизор, если каждому черно-белому кадру его приписать слева вверху, к примеру, длину электромагнитной волны набора рецепторов, с которых снят этот черно-белый кадр, полностью воспроизводит детали картинки. Понятие цвета, добавленного в телевизор, в этом случае, не приводит к открытию каких-то новых элементов картинки. – Цвет не даёт ничего нового – но он порождает новое качество(!) картинки.
— А в математике?
— Аналогично. Теоремы нестандартного анализа, математики оперирующей понятием актуального бесконечного, не добавляют ничего нового к теоремам стандартной математики. Стандартная математика сама в состоянии полно оперировать своими стандартными элементами (бесконечными множествами), без привлечения понятия актуальной бесконечности.
— Так же как черно-белый телевизор с указанием длины электромагнитной волны на которую реагируют рецепторы, с которых был снят конкретный черно-белый кадр, вполне полно описывает элементы своих черно-белых картинок?
— Да, аналогично.
— А Бог есть?
— Есть постулат (принцип идеализации
— Но зачем нам Бог в математике?
— А зачем нам цвет? Мы вполне совершенно полно(!) можем оперировать набором черно-белых картинок для разных длин электромагнитных волн. И понятие цвета не прибавит нам никаких новых(!) элементов на этих черно-белых картинках.
— Я видел фото «Око Бога» в созвездии Водолея (спиралевидная туманность NGC 7293). В видимом свете.
— А оно же, снятое в невидимых инфракрасных лучах предстает как «зеленый глаз с красным зрачком и ярким белым центром». Но раз инфракрасные лучи невидимы, то для мистического восприятия надо же было ученым раскрасить эти черно-белые изображения, снятые в невидимых инфракрасных лучах.
— А какого цвета Wi—Fi?
Ссылки:
“ПРЕПОДАВАНИЕ АНАЛИЗА” (С. Кутателадзе)
«Инфинитезимальный анализ: избранные темы»( 2011 ) Е. И. Гордон, А. Г. Кусраев и С. С. Кутателадзе
Математика футбольного мяча. Николай Андреев — о том, почему официальный мяч чемпионата мира на самом деле куб
Классика
Поверхность классического футбольного мяча состоит из слегка искривленных 12 правильных пятиугольников черного цвета и 20 правильных белых шестиугольников.
«Классическим» такой мяч был не всегда: впервые такие покрой и раскраска были использованы для официального мяча на чемпионате мира в 1970 году в Мексике. Черно-белая раскраска тогда была выбрана из соображений контрастности, чтобы мяч был лучше виден на экранах преобладавших в то время черно-белых телевизоров. Да и само название — Telstar — он получил в честь телевизионного спутника. В последующие годы раскраска официальных мячей менялась, но покрой оставался неизменным вплоть до чемпионата 2002 года.
С точки зрения математики классический футбольный мяч является усеченным икосаэдром.
Икосаэдр — один из пяти правильных многогранников. Его название происходит от древнегреческих слов «двадцать» и «основание». У икосаэдра 12 вершин, 20 граней — правильных треугольников, 30 ребер.
Изображение: Николай Андреев, «Математические этюды»Если срезать вершины икосаэдра, отступив от вершин так, чтобы оставшиеся части граней были правильными шестиугольниками, то срезы будут правильными пятиугольниками. Это усеченный икосаэдр — один из полуправильных многогранников: все грани — правильные многоугольники нескольких разных типов, все вершины устроены «одинаково», т.е. многогранные углы при вершинах равны.
Итак, классический футбольный мяч — усеченный икосаэдр. Добавим еще немного математики — теорию групп, порожденных отражениями, — и сделаем простую в изготовлении, но красивую модель, которую можно продемонстрировать друзьям.
Для модели понадобятся три треугольных зеркала указанных размеров, изолента (скотч) для их скрепления, а также раскрашенный в два цвета равносторонний треугольник. Затратив немного времени на склеивание зеркального трехгранного угла, вы получите возможность, вложив в него раскрашенный треугольник, увидеть модель классического футбольного мяча! При покачивании модели относительно оси зрения картинка меняться не будет.
Зеркальные равнобедренные треугольники проще всего вырезать из пластика с зеркальным напылением. Если у вас нет возможности сделать модель, можете посмотреть видео «Математических этюдов».
Источник: Николай Андреев, «Математические этюды»Что же это за такой магический зеркальный угол, в котором при отражениях виден футбольный мяч? (А на самом деле — икосаэдр, который виден еще более явно, если вложить в модель одноцветный треугольник.)
Зеркальный угол связан с самим икосаэдром: его вершина расположена в центре фигуры, а зеркала проходят через стороны одной из граней. Отсюда получаются и условия на стороны равнобедренных треугольников, образующих зеркальный угол. А то, что картинка в таком зеркальном угле будет икосаэдром, гарантирует теория групп, порожденных отражениями.
Современность
Как известно, сферу нельзя согнуть из плоской развертки. Это запрещает сделать математика — теорема о том, что важная характеристика поверхности, называемая гауссовой кривизной, не меняется при изгибании без растяжений.
Гауссова кривизна отражает внутреннюю геометрию поверхности и не меняется при ее изгибании. Например, у плоскости гауссова кривизна равна нулю. У цилиндра и конуса, которые можно свернуть из плоского листа бумаги, — тоже ноль.
А вот у сферы гауссова кривизна положительна. Значит, сделать сферу из плоских панелей (развертки) — невозможно. И наоборот, развернуть сферу на плоскость без искажений тоже нельзя, и все плоские карты Земли — неточны.
Поэтому какую модель мяча ни взять, ее необходимо «раздувать». А можно ли придумать модель мяча, состоящую из плоских панелей, но изначально более близкую к сфере, чем классическая? (Понятно, что можно взять многогранник с большим числом граней и вершин, но тогда усложнится процесс изготовления.)
После 2002 года начались эксперименты, и в 2014 году на чемпионате мира в Бразилии состоялась премьера нового официального мяча, получившего название Brazuca.
Модель этого мяча действительно более «сфероподобна», чем классическая. Но при этом Brazuca — это куб!
Как и куб, она собирается из шести одинаковых плоских панелей, имеющих по четыре угла. У нее восемь вершин, в каждой из которых сходится по три панели.
Изображение: Николай Андреев, «Математические этюды»Придуманные фирмой Adidas панели действительно можно склеить в выпуклую поверхность. Успех гарантирует выполнение условий теоремы российского академика (и автора школьного учебника по геометрии) Александра Даниловича Александрова: сумма углов панелей в вершинах не превосходит 360 градусов, длины «сторон» панелей между углами совпадают, а сумма кривизн границ в точках склейки неотрицательна.
В модели классического мяча вся кривизна сосредоточена в конечном числе «выступающих» вершин. Все четыре угла панели Brazuca равны 120 градусам. Соответственно, когда в вершинах модели встречаются три угла, сумма углов вокруг вершины равна 360 градусам: поверхность мяча вокруг вершины будет «плоской».
Фото: fifg и Beto Chagas / Фотодом / ShutterstockНо куда же делась кривизна? Ведь сфера является поверхностью постоянно положительной кривизны и кривизна должна быть! В модели бразуки кривизна «размазана» по длинным ребрам — из-за этого модель становится существенно более близкой к сфере, чем модель классического мяча.
Официальный мяч нашего чемпионата 2018 года — тоже куб. В описанном смысле. Только, в отличие от предыдущей модели, панели имеют не кривые границы, а являются одинаковыми плоскими многоугольниками.
Николай Андреев
показывать: 1025 1—10 из 18
прямая ссылка 17 декабря 2009 | 11:30
Игры разума без прикрас
прямая ссылка 21 июня 2009 | 00:11
прямая ссылка 28 марта 2008 | 22:01
прямая ссылка 01 июня 2008 | 20:57
Это всего лишь число
прямая ссылка 25 июня 2012 | 23:53
прямая ссылка 10 января 2011 | 22:20
прямая ссылка 10 октября 2014 | 15:27
прямая ссылка 06 апреля 2010 | 17:18
прямая ссылка 04 мая 2007 | 13:28
прямая ссылка 28 сентября 2008 | 12:10показывать: 1025 1—10 из 18 |
Иэн Стюарт «Величайшие математические задачи» — отзыв sq
Без подготовки читать эту книгу нет смысла. Хотя она и написана как популярная, для её понимания требуется база в виде университетского курса математики. Совершенно недостаточно базы в виде «высшей математики», которую «проходят» в техническом, а тем более гуманитарном, вузе. Я имею некоторое понятие о математике, но довольно часто терял нить рассуждений. Это, конечно, из-за того, что автор старается быстро и «просто» всё рассказать. Вместо каждой главы там должен быть большой трактат, тогда можно было бы всё подробно объяснить, но тогда смысл книги потерялся бы. Трактаты-то уже написаны.
Известно, что каждая формула в книге уменьшает количество читателей вдвое. Значит, у этой книги должно быть всего несколько читателей.
Плюс опечатки… (или минус опечатки?) Пропущенные минусы и т.п.
Плюс-минус чёрно-белые картинки в электронной копии, что странно: похоже, что и в бумажной книге картинки тоже чёрно-белые. Это, видимо, для того, чтобы ещё уменьшить число читателей.
Но я всё-таки прочитал. Это даже к месту пришлось: мы изучаем математику с внучкой, и пока она решает задачу, я читаю книжку.
По какому принципу Иэн Стюарт выбрал именно эту дюжину задач, чтобы назвать их величайшими, не совсем понятно, но это не столь важно. Задачи и правда великие. Некоторые решены, большинство нет. Некоторые, вероятно, не будут решены никогда. На будущее он предлагает ещё дюжину задач, которые считает важными. Интересно, что почти все будущие задачи касаются теории чисел. Эта часть математики, видимо, нравится ему больше всего. Я с ним готов согласиться. Там и правда полно очень красивых нерешённых задач.
Очень странным мне показалось, что автор часто как бы извиняется за то, что теория не имеет практического применения. Всё время намекает: может быть, когда-нибудь кто-нибудь применит эту теорему в производстве чего-нибудь.
Я же считаю, что математика — это настолько же наука, насколько и искусство. А настоящее искусство не может иметь утилитарного применения. Поэтому и математика ценна сама по себе, а её применение для проектирования автомобиля — это дело десятое. Неуместны все эти извинения. Налогоплательщик не обеднеет, когда заплатит математику, тем более что математик обходится, похоже, дешевле всех. Ему не нужны для работы никакие приборы или оборудование. Всё что нужно — карандаш и пачка бумаги. Ну и плюс зарплата.
Очень мне нравится, что почти в каждой главе возникает Гаусс. Люблю я этого Карла Фридриха. Он знал, кажется, всю современную ему математику и даже кое-что из математики будущей, хотя мало что публиковал.
Известно, что коллеги ему часто присылали письма, в которых говорилось: «мне удалось найти вот такой удивительный результат», на что Гаусс неизменно отвечал: «поздравляю, это действительно удивительно; я тоже совершенно случайно набрёл на этот факт ещё в 1794 году.»
Безошибочная математическая интуиция говорила Гауссу, что это должно быть так и никак иначе, и у него не было времени на разжёвывание теории, которое требовалось для подготовки публикации. Интуиция гнала его дальше к получению следующего результата, который тоже оставался только в черновиках.
А для отдыха Гаусс составлял таблицу простых чисел. Для просеивания очередной порции из 10,000 чисел ему требовалось полчаса.
Честно говоря, специалисты по теории чисел меня всегда поражали и продолжают поражать. Особенно специалисты прошлого вроде Пифагора, Фибоначчи, Ферма, Декарта. Вот пример из книги Иэна Стюарта.
Некто Л.Бастьен открыл конгруэнтность числа 101.
Кто он такой и что такое конгруэнтное число — неважно. Важно то, что для этого ему пришлось отыскать три рациональных числа:
a = 3967272806033495003922 / 118171431852779451900
b = 4030484925899520003922 / 118171431852779451900
c = 7110240645578955010000 / 118171431852779451900
Конечно, можно написать программу для поиска конгруэнтных чисел, но даже это — нетривиальная задача. Но этот Л.Бастьен получил свой результат в 1914 году! Как он смог это сделать!!? Как??? Не могу представить себе.
К 1986 году с помощью компьютерных расчётов были найдены все конгруэнтные числа вплоть до 2000. И только в 2009 году их было найдено действительно много с помощью каких-то специализированных компьютеров…
Автор рассмотрел следующие вопросы:
— Гипотеза Гольдбаха
— Квадратура круга
— Теорема о четырёх красках
— Гипотеза Кеплера
— Гипотеза Морделла
— Великая теорема Ферма
— Задача трёх тел
— Гипотеза Римана
— Задача P/NP
— Уравнение Навье — Стокса
— Массовая щель
— Гипотеза Берча — Свиннертон-Дайера
— Гипотеза Ходжа
Ясно, что нормальный человек вряд ли найдёт тут что-нибудь интересное или полезное. Но есть некоторые фрики, которым книга понравится.
Вообще-то можно было бы и поинтереснее написать. Есть книги, которые написаны намного лучше. Перечислять не буду: фрики и сами знают :)))
Ученые вскрыли математические закономерности экстремистских онлайн-групп
Георгий ГоловановПоддержка в сетях движения «Бугалу», ультраправых экстремистов из США, следует той же математической закономерности, что и деятельность международной террористической организации «Исламское государство» (запрещена в России) — несмотря на серьезные идеологические, географические и культурные различия. К такому выводу пришли ученые из Университета Джорджа Вашингтона.
2699
«Исследование помогает лучше понять появление экстремистских движений в США и по всему миру, — сказал профессор физики Нил Джонсон — Поиск скрытых общих закономерностей в казалось бы полностью несвязанных движениях и тщательное математическое описание их развития поможет социальным медиа-платформам вмешаться в рост таких экстремистских групп».
Джонсон и его коллеги собрали данные о деятельности плохо организованных «Бугалу» и военизированного ИГ в онлайн-публикациях, о том, как они возникали и как росло количество участников групп и сообществ в соцсетях. Как пишет Phys.org, они использовали комбинацию физики, химии и математики для построения математического описания процесса, но с существенным обобщением, которое учитывает гетерогенность населения, которое присоединяется к таким движениям.
Ученые опирались в описании экстремистских онлайн-групп на модель «коллективной химии», потому что групповая динамика зависит от атрибутов граждан, в частности, от отношений между атрибутами членов групп и потенциальных рекрутов. В отличие от предыдущих работ по социологии, авторы использовали не только математику, но и физику и химию, и описали формирование групп по аналогии с гелями или эффектом гигантских компонент для частиц.
Исследователи обнаружили, что при всех различиях оба движения подчиняются единому математическому уравнению, описывающему ударную волну. Их теория «агрегации с гетерогенностью» позволяет сделать конкретные предсказания относительно сроков зарождения и роста отдельных групп и всего движения, а также возможностей изменения этой динамики. Все сделанные прогнозы ученых совпадают с эмпирическими данными.
Также авторы перечисляют методы, с помощью которых соцсети могли бы остановить развитие таких групп и «сгладить кривую» онлайн-экстремизма.
Восприятие личного благополучия в ближайшие 30 лет будет больше зависеть от социальных, чем от экономических факторов. Два года назад ученые из Канады и Испании впервые применили математический подход к личным оценкам благосостояния.
Facebook269Вконтакте9WhatsAppTelegram
«Мир математики» — издательство DeAgostini — «Увлекательный мир математики»
Все мы когда учились в школе, училище, институте. И в любом из учебных заведений (на каком бы факультете ты не учился) присутствует математика. Математика присутствует везде и сопровождает нас от рождения и до смерти, да-да именно так, мы даже об этом не задумываемся, но математика вокруг нас (вес ребенка; прямые стены домов; обтекаемые формы авто и т. д).
Одним из любимых предметов у меня была математика (спасибо школьной учительнице за то, что научила любить и применять свой предмет). Тяга познавать, изучать математику не поверхностно, а углубленно всега присутствовала во мне, и вот однажды по ТV прошла реклама серии книг «Моя математика». И конечно же я не остаась в стороне, стал преобретать данную коллекцию). К сожалению всю собрать не удалось, т. к перестали привозить в киоски Роспечати, но думаю возобновить покупки через интернет-магазины)
Так выглядят обложки журнала
И так «Мир математики «представляет из себя серию книг в 40 томах. Каждая книга написана про одно направление в математике.
Автор и название тома
На первых страницах представлено название книги и автор. Оглавление и предисловие. Книга разбита на главы и в каждой главе конкретно описывается ее содержание, приведены конкретные факты, есть качественные фото (хоть и черно-белые).
В каждой книге представлены и расписаны различные формулы, есть такие, которые не проходят даже при изучении высшей математики.
Оглавление
В общем если есть желание погрузиться в нескончаемый мир чисел, формул, то данное издание вам понравится.
Так же книги подойдут для написания рефератов в школе и высших заведениях. Будьте уверены имея такую коллекцию книг у себя дома, ваши дети будут отлично учиться по математике)
Предисловие. Здесь описывается кому посвящен данный том книги и краткое описание
бесплатных математических картинок, скачать бесплатные математические картинки png, бесплатные картинки в библиотеке клипартов
бесплатные картинки по математике
математический клипарт
математика картинки png
чисел клипарт
геометрия клипарт png
математика клипарт
kid math клипарт
расширенная математика клипарт
математика средней школы клипарт
математический клипарт
риязийят
математика GIF картинки
математика прозрачный фон клипарт
математика картинки
школьные картинки
разделение клипарт
Математика для 2-го класса клипарт
символа для обозначения математики
математика картинки
математический клипарт
математический клипарт филипп мартин
калькулятор картинки
математических символа 1-й класс
math is fun клипарт
математический клипарт для детского сада
математика картинки
ixl 1998
милый картинки лепрекон
математический клипарт прозрачный
прозрачный математический клип арт
PNG математикаматематический клипарт прозрачный
математический клипарт прозрачный
PNG математикаматематика прозрачный фон клипарт
ensenanza de las matematicas
бейсбольных мультфильмов
знак процента клипарт
dj inkers сказка клипарт
математика поп-культуры
математических карточек ротации
Наука
клипарт дошкольная математика
чтение клипарт
жираф сидит за столом
измерение длины песни
математический клипарт прозрачный фон
тестовый клипарт прозрачный
дробей меньше одного примера
PNG математикаматематика прозрачный фон клипарт
Дополнение
графический дизайн
шаблон блоков клипарт
крест
дизайн по математическому журналу
сады трокадеро
дробные игры серии основных игр
забавный математический клипарт
прозрачный математический клипарт png
день
экзамен a +
математика картинки
наука и искусство клипарт
номер дня 2013
математика клипарт png
интеллектуальная логика множественного интеллекта
сохранять спокойствие
математические фигуры и числа
прекалькул клипарт
иллюстрация
знак минус логотип
забавных математических уравнения
PNG математикаматематика и вычислительная техника
прозрачный математический клип арт
вычислений — Математика баланса белого для карт белого, черного и серого цветов
Правильный способ выполнения баланса белого — использовать только один эталон (белый).Если вы не можете получить желаемые результаты только с одной ссылкой, вы только введете ложный цвет, если попытаетесь использовать несколько ссылок.
Если у вас есть оттенок на всем изображении (например, постоянное количество цветной воды между целью и камерой), вы должны вычесть оттенок света из данных изображения, а затем применить баланс белого (умножение каналов).
Ваш научный способ получить приличный цвет для объекта, лежащего под слоем цветной светящейся воды:
0) установить камеру на запись в формате RAW
1) настроить баланс белого с помощью белой карты, сфотографировано отдельно
2) сфотографировать отдельно черно-белую карту при одинаковом освещении в режиме ручной экспозиции с желаемой экспозицией
3) поместите их в воду и сфотографируйте их там
4) экспортировать изображения с помощью Dcraw без каких-либо изменений с помощью команды dcraw -w -T -4 -o 4 image.raw , где image.raw — фактическое имя изображения. Образцовый плохой экспорт из Adobe Camera RAW с полностью нейтральными настройками — вот почему вам следует использовать dcraw. (Это кривые тона, которые, как я ожидал, будут прямыми)
dcraw -w -T -4 -o 4 * .raw также действителен (все изображения будут преобразованы).
5) вы должны взять значения пикселей черных и белых пятен как отдельно, так и под водой (bS, bW, wS, wW соответственно) с помощью RawDigger или ImageJ и решить систему уравнений:
bW = B * bS + T
wW = B * wS + T
для каждого компонента (R, G, B)
Это даст вам T (оттенок, постоянное линейное прибавление к каждому цвету, яркость воды) и B (мультипликатор баланса белого).
6) Затем, чтобы нормализовать цвет, вы должны вычесть T и разделить результат на B для каждого изображения (GIMP имеет арифметические режимы для слоев, версии GIMP для разработки поддерживают 16 бит).
В результате вы получите изображение с нормализованными цветами. Однако цвета не будут точными, как на фотографиях без воды (тем не менее, цифровые камеры никогда не дают точных цветов).
Вы не получите хороших результатов, если не будете использовать изображения RAW.
Совет: если на вашей черной карте есть значения пикселей выше нуля при отдельной съемке, она на самом деле не черная, и вам не следует ее делать (0,0,0).
Я готов вдаваться в подробности, как только вы признаете, что действительно готовы сделать все это.
Черно-белая классная математика
Black And White Играть сейчас на Coolmathgames Com
Black And White Coolmathgames Solo Youtube
Black Прохождение Cool Math Games Web 25 уровней Версия Барта
Black Играть сейчас на Coolmathgames Com
Conjugate Играть сейчас на Coolmathgames Com
Черный Белый
Это ключ к успеху Математические мемы Математический юмор Математические цитаты
Классные математические игры, в которых почти никто не находит всех чисел Youtube
Классные математические изображения Стоковые фотографии Векторы Shutterstock
74 Классные математические обои на обоях
Крутые математические обои 71 изображения
Крутые математические обои Лучшие бесплатные крутые математические фоны
Черный Прохождение Головоломка Автор Барт Бонте Все уровни 1 50 Youtube
Повернуть Играй сейчас на Coolmathgames Com
Jobes Joan Cool Sites For Math
Ovo Играй сейчас на Coolmathgames Com
Другие новые игры Бесплатные онлайн-игры по математике Классные головоломки и многое другое
Классные математические обои 71 изображение
Cool Addicting Математические игры Классные математические игры Разблокированные увлекательные игры
Классные математические игры
Классные математические игры Orb Music Coub Самая большая платформа видео мемов
Классные математические игры Coolmathgames13 Twitter
Черно-белые крутые математические игры Youtube
74 Классные математические обои On Wallpaperplay
Https-зашифрованные изображения Gstatic Com с шифрованием Tbn0 Q Tbn 3aand9gcsuv9cwusrryhbi1has77isiblqhhllv01y Oekrjz Pmdutph31acjlw
Outcome Play It Now At Coolmathg ames Com
Раскраски для детей в Cool Math Games Бесплатные онлайн
Они закрывают классные математические игры, так что я Дм Д. Илон Маск и мы
Coolmath Com Узнай что-нибудь интересное по математике на Www Coolmath Com
4c7ek08uvotnlm
Cool Math Png Images Cool Math Clipart Скачать бесплатноIs Cool Math Games Завершение работы в 2020 году Все, что вам нужно знать
Rotate Cool Math Games
Дискалькулия — не крутая математическая концепция Повышенная математика
Выполняется Играть сейчас на Coolmathgames Com
Gravity X Играйте сейчас на Coolmathgames Com
Bcsc Blocks Coolmath Games Cehs News
Бесплатные крутые математические клипарты Скачать бесплатные картинки Бесплатные картинки на
Уровень черного 18 Прохождение Youtube
Coolmath Games Письмо родителям Teachervision
Cool Math
Amazon Com Math Teacher Gift Cool Math Teacher Coffee Mug
Cities Of Babylon Play It Now At Coolmathgames Com
Cool Math Games Home Facebook
PostersCool Math Teacher Gift Redbubble
Link It Up Играйте сейчас на Coolmathgames Com
No Cool Math Games Isn T Закрытие компании подтверждает Adobe
Интересные математические факты
Easy Cool Math Drawings
Ovo Cool Math Games
Lemonade Clipart17 Cool Math Picture 1083 Лимонад Клипарт Классная математика
Картинки Прохладных математических иллюстраций Бесплатная векторная графика
Петиция Разблокировать Классные математические игры Change Org
Классные математические обои Лучшие бесплатные крутые математические фоны
Читайте удивительную математику Minecraft Классная математическая деятельность для
Классные плакаты с математическими играми Redbubble
Раскраски для детей в Cool Math Games Бесплатные онлайн
Coolmath Games Попробуйте наши новые Игра «Палач» Тысячи Facebook
Добро пожаловать в футболку математического класса Классная футболка математического класса Превосходный T
Easybib и крутые математические игры
Классная математика Стоковые Фото Скачать 232 Стоковые Фотографии
Бесплатные крутые математические клипарты Скачать бесплатные картинки бесплатно клип Art On
Cool Math Clipart
Lemonade Clipart Cool Math Picture 108311 Лимонадный клипарт Cool Math
Идеи раскраски Instagram Cool Math Games Printable Unicorn
All You Need Is Love Funny Cool Math Products From Geesigns
Они заблокировали классную математику в моей школе Кто-то получил мясистую капусту
Классные математические игры Iq Balls Polarwinco
Sugar Sugar Играть сейчас на Coolmathgames Com
Скачать бесплатно Cool Math Обои Изображения Картинки Becuo 1024×768
Cool Math Game1
Cool Math Logic Quiz Puzzle By Navarat Werawinantanakun
Cool Math Родственные рисунки
Cool Math Games
Идеи раскраски Raskraski Lol Abcya Printable Unicorn
РаскраскаКлассный математический трюк с номером телефона
Прелюдия к классным математическим играм Ноты для фортепиано Скачать бесплатно в
Amazon Com Luckmx Personalized Custom Cool Math Memes License
Cool Math Wallpapers 71 Images
B Cubed Play It Now At Coolmathgames Com
Cool Math Wallpapers Top Free Cool Math Backgrounds
Hot Wheels Cool Math
Cool Math Games 3 Мистер Баучер S 6 класс по математике
40 Roll And Cover Bump Cool Math Games Веселые математические игры Веселые
Раскраски для детей в Cool Math Games Бесплатные онлайн
Cool Math Teacher Back to School Gift IMA Math Teacher Just
Cool Математические игры Планируя игровое время Учителя Платят учителям
Математика думает смешно и круто Математические цитаты Поговорки Художественный дизайн
Бесплатные онлайн-игры по математике Hoodamath Com
The Best Бесплатные изображения раскраски Coolmath Загрузить из 2 Бесплатно
4 минуты назад Умм Это разве Крутые математические игры Ответить Ненавижу, когда
Классные математические игры 1net Polarwinco
Бесплатные онлайн-игры по математике Hoodamath Com
Прохождение уровня 25 Black Game Youtube
Бесплатные крутые математические клипарты Скачать бесплатные картинки Бесплатные картинки на
Красочный классный математический фон
Флэш-карты для печати Coolmath5kids
Классный математический клипарт
Классная математическая доска Pinterest Веб-сайт мистера Смита
Классный математический математический клуб
Математика Татуировка на руке Крутая кепка для учителя математики и физики и дальнобойщика
Крутые математические игры для учеников от Prek до 12 класса Teacherfunder
Ra4 Turtle Addition Regrou ping Cool Math Worksheets Coloring Squared
Math Target Vocabulary Pictures ™ — Lone Star Learning
Описание
Уроки математики, как правило, имеют большой словарный запас.Например, урок о дробях должен обсуждать числители и знаменатели, а также может затрагивать вопросы эквивалентности, правильных и неправильных дробей и многих других терминов. Учащимся может быть трудно придерживаться этих условий, так как вы можете им помочь? Раздаточные материалы с краткими справками, ксерокопирование которых обходится дорого? Объясняя термины на каждом уроке, используя драгоценное время в классе?
Вместо этого позвольте карточкам Math Vocabulary Pictures ™ объяснять за вас! На каждой яркой карточке изображен отдельный математический термин на лицевой стороне, иллюстрирующий его значение, а на оборотной стороне — определение черным текстом на белом фоне.
Эти карточки отлично подходят для вашей стены математических слов для общего обзора, а также для ваших визуальных учеников, студентов ESL и проблемных читателей, поскольку иллюстрации быстро и легко создают визуальную связь между термином и его значением.
Эти карты продаются в четырех различных наборах, основных и 1-3. Они не соответствуют классу, поэтому, пожалуйста, проверьте списки слов, чтобы определить, подходят ли они вашему классу, или посмотрите наши новые карточки Target Vocabulary Pictures ™, которые специально разделены по классам!
Помимо различных наборов, мы также рады предложить два разных размера карт для наборов 1-3! Наши маленькие карточки — 5.5 «x 4,25», идеально подходит для использования в качестве флеш-карточек во время просмотра или в качестве карточек меньшего размера для вашей стены Word. Большие карты представляют собой полноразмерные карты размером 11 x 8,5 дюймов. Все эти карточки полноцветные и напечатаны на картоне с покрытием прямо здесь, в США.
| Первичный (только большой) | 11 ″ x 8,5 ″ | 58,99 $ 40 $! |
| Набор 1 большой | 11 ″ x 8,5 ″ | $ 34,99 $ 25! |
| Набор 2 большой | 11 ″ x 8.5 ″ | ПРОДАНО |
| Набор 3 больших | 11 ″ x 8,5 ″ | $ 34,99 $ 25! |
| Набор 1 Малый | 5,5 ″ x 4,25 ″ | $ 29.99 $ 18! |
| Набор 2 Малый | 5,5 ″ x 4,25 ″ | $ 29.99 $ 18! |
| Набор 3 Малый | 5,5 ″ x 4,25 ″ | $ 29.99 $ 18! |
Target Vocabulary Set 1 был удостоен награды «Выбор учителя» журнала Learning® Magazine 2012; одна из самых признанных наград на рынке образовательных услуг.Эта награда, присуждаемая учителями, присуждается продукции исключительного качества и выдающейся успеваемости в классе.
Документ, объясняющий роль расизма в математическом образовании
Кэсси Бенджамин-Фикен, учитель из Миннеаполиса, обнаружила в начальной школе свою любовь к математике. Одно из ее самых ранних воспоминаний — умолять мать прийти в школу, чтобы учителя рассказали, как она преуспела в уроках математики. Набирая средние баллы по чтению, она постоянно была выше среднего по математике, что вселило в нее чувство выполненного долга.Это продолжалось и в средней школе, где она вспоминает, как просила учителей математики перевести ее в более высокий класс для более продвинутого содержания. Но она осталась в том же классе средней школы.
Затем в старшей школе ее увлечение математикой постепенно сменилось разочарованием. Бенджамин-Фикен, гражданин банды Милл Лакс из оджибве (племенная нация в Миннесоте), была одной из двух цветных учениц в ее 11-м классе до начала исчисления. Когда ее партнер по учебе отсутствовал в течение нескольких дней, Бенджамин-Фикен начала бороться с материалом и с трудом сдала класс с минусом D.Ее выпускной год в AP Calculus повторил эту модель — из-за отсутствия поддержки и чувства игнорирования в классе она сдала экзамен с D.
«У меня не было учителя математики, к которому я могла бы пойти и получить помощь, [и] я этого не сделала. «Мне совсем неудобно приближаться к моему учителю математики», — сказала она. Признавая скрытое течение — как ее чувство изоляции было связано с ее расой — она признает, что «эти два [класса] действительно заставили меня задуматься: считаю ли я себя лучше в математике?»
В последнее время большая часть дискуссий о расе в математическом образовании сосредоточена на устойчивой недостаточной успеваемости определенных групп учащихся, особенно чернокожих, латиноамериканцев и молодежи из числа коренных народов, и их разном доступе к отличным, одаренным и продвинутым курсам математики.Тем не менее, новая статья разрушает эти повествования, исследуя нерешенный элемент уравнения, а именно, способы, которыми «белизна» в математическом образовании воспроизводит расовые преимущества для белых студентов и ставит в невыгодное положение исторически маргинализованных цветных студентов.
Дэн Бэтти, адъюнкт-профессор математики в Высшей школе образования Рутгерского университета, сказал, что намеревался синтезировать для преподавателей математики исследовательскую литературу по социологии, истории и другим дисциплинам, посвященным белому цвету, что в статье определено как «идеология, которая поддерживает превосходство белых, ценит одну расовую группу над другими.Он также стремился разоблачить, как белый цвет действует в классах и школах, оставляя чернокожих, латиноамериканцев и студентов из числа коренного населения математически бесправными.
По словам Бэтти, учителя математики, преподаватели математики и исследователи математики «увековечивают расизм в школах», что формирует ожидания, взаимодействия и виды математики, с которыми сталкиваются учащиеся. А отсутствие внимания к белизне как основной причине делает ее невидимой и нейтральной. «Обозначение белых институциональных пространств, а также определение механизмов, которые угнетают и создают привилегии для студентов, могут дать тем, кто работает в области математического образования, конкретные идеи о том, как лучше бороться с расистскими структурами», — пишут Бэтти и его соавтор Луис Лейва. педагогического колледжа Пибоди при университете Вандербильта.
«Белизна влияет на то, как и где мы видим математические способности».Один из примеров белизны, исследуемый в статье, — это то, как непрекращающаяся барабанная дробь исследователей о расовых различиях в математических достижениях связана с расовым различием в обращении в математических классах. Концепция расовой иерархии математических способностей — термин, введенный Дэнни Мартином, профессором образования в Университете Иллинойса в Чикаго — в основном говорит о том, что постоянное чтение и слух о неуспевающих черных, латиноамериканских и коренных студентах начинает влиять на взгляды учителей математики. эти ученики приписывают различия в успеваемости своим врожденным способностям к успехам в математике.
Согласно теории, когда белые и азиатские ученики стабильно занимают верхние строчки в рейтингах математических достижений, а черные и другие небелые ученики постоянно отстают, учителя начинают ожидать худших результатов от определенных учеников, начинают преподавать более низкий уровень и начинают использовать учебные практики по математике более низкого уровня. Напротив, белые и азиатские студенты получают возможность сомневаться и автоматически получают возможность заниматься более сложной и содержательной математикой.Следствием этого являются классы, в которых азиатские ученики, не превосходящие по математике, рассматриваются как странность, а темнокожие ученики, преуспевающие в математике, считаются исключением.
Бэтти указал на белизну, чтобы помочь объяснить корни широко известного расового неравенства в программах обучения одаренных. Он привел данные из нераскрытого мегаполиса, где 18 процентов белых студентов были идентифицированы для обучения по программам для одаренных по сравнению с 1 процентом чернокожих студентов, указывая на то, что «мы не ищем одаренных [студентов] в преимущественно чернокожих условиях, и мы Постоянный поиск одаренности в белом окружении… белый цвет влияет на то, как и где мы видим математические способности.«Верно и обратное, — добавил он, — с более целенаправленными вмешательствами для белых учеников, которые испытывают трудности в математике, и реже для черных учеников,« возможно потому, что мы ожидаем, что [они будут бороться ». Обычно определяют «пробелы в достижениях». Несмотря на то, что исследования показывают, что азиатские ученики в среднем превосходят белых учеников по математике, эта низкая успеваемость не привлекает внимания — и при обсуждении редко характеризуется в отрицательном свете.«Много раз в литературе о белизне мы говорим об отказе патологизировать белизну, и это действительно так», — объяснил Бэтти. «Для афроамериканцев, для коренных американцев, для латиноамериканцев в математике мы приписываем что-то внутренне ребенку или внутренне культуре, которая заставляет их достигать более низких результатов. Мы не делаем этого для белых студентов… создавая некое неполное представление о том, кто такие белые ».
На практике, белый цвет может создать самоисполняющееся пророчество, сказал Бэтти, когда некоторые дети получают зубной урок, основную математику — подсчет яблок и пирожных и заполнение рабочих листов — в то время как другим детям даются сложные задачи по решению проблем.«Вы могли бы просто подтвердить, что некоторые ученики плохо разбираются в математике, давая им все худшее и худшее качество обучения, — сказал он, — и они начнут выглядеть все беднее и беднее в математике [по умолчанию]».
Для неазиатских цветных учеников в математических классах одна из реакций на белизну — отказ от идентификации с математикой, когда они говорят себе: «Меня не волнует математика. Математика для меня не важна. Точно так же учащиеся могут начать усваивать расовые стереотипы, связанные с успеваемостью по математике. Исследование 2014 года, опубликованное в журнале Journal of Research on Adolescence , показало, что дети уже в пятом классе остро осознавали ярлык «азиаты хорошо разбираются в математике.В отчете содержится предостережение о «пагубном характере» этой веры и ее влиянии на то, как студенты всех рас считают себя индивидуальными учениками.
«Дело не в том, что я преподаю эту теорему… дело в том, что еще мы можем выделить в нашем собственном сообществе?»Бенджамин-Фикен, чей школьный опыт поставил под сомнение ее уверенность в себе как ученице математики, теперь работает специалистом по математике в Академии Анисинабе, государственной школе Миннеаполиса, которая специализируется на использовании родного языка и культуры для поддержки преподавателей для городских учащихся из числа коренных народов.Она называет себя ботаником-математиком, и ее философия преподавания основана на разрушении негативных мыслей и идей, которые ее ученики придерживаются о математике. «Если они хотят выбрать эту карьеру, это возможно, [и] даже если они этого не сделают… они все равно могут мыслить математически. Моя огромная цель — укрепить эту идентичность ».
Но она также ограничена институциональными аспектами белизны в ее классе, которые существуют за пределами ее методов обучения, — не просто способом преподавания, но и тем, что ценится в государственных стандартах.Она и ее ученики разделяют культуру, которая не отражается на том, как она должна преподавать математику. Приходится полагаться на то, что она называет «западной белой линзой», другие источники математических знаний, которые могут иметь отношение к ее ученикам, остаются неиспользованными. «Какие теоремы мы знали здесь, в Америке, до колонизации? Какие у нас были математики из коренных народов? Мы не письменное общество, поэтому у нас нет книг, в которых говорится: «Вот знания этого оджибве». Не факт, что я преподаю эту теорему… это то, что еще мы можем выделить в нашем собственном сообществе, в нашей собственной истории здесь, в Миннесоте? »
Повторяя это наблюдение, Эрика Буллок, доцент кафедры математики Университета Висконсин-Мэдисон, приветствовала то, что в статье о белоснежности расизм рассматривается с институциональной точки зрения.Она подчеркнула важность этого акцента, чтобы увести дискуссию от рассмотрения расы и расизма в математическом образовании исключительно на межличностном уровне. «Обычно мы не говорим о математическом образовании с институциональной точки зрения. Мы, как правило, уделяем много внимания уровню класс-учитель-ученик », — сказала она. «Мы не слишком сильно уменьшаем масштаб, чтобы говорить об этом институционально».
Признавая свой вклад, Баллок все же поставил под сомнение ключевой принцип: при тщательном изучении белизны была ли бумага обойдена идеей защиты от черноты? По определению, сказала она, белизна и анти-чернота могут означать одно и то же.Но термины могут скрывать различия, отметила она. Чтобы проиллюстрировать это, Баллок применил критическую линзу расовой теории к выводам статьи — например, как выводы о расовых стереотипах можно было бы рассматривать по-разному, если бы мерилом не было доминирующее положение белых студентов (белизна), а то, как тест проводится в расовом отношении предвзятый (анти-чернота). «Я думаю, что это в некотором роде центрирует белых [людей], даже если вы думаете о том, чтобы исследовать белизну», — сказала она. «Рамки для белизны требуют обсуждения анти-черноты.Другое дело — действовать в условиях защиты от черноты ».
Тем не менее, и Баллок, и Бэтти согласились, что школьные системы должны поддерживать преподавателей математики в разрушении и отбрасывании белой рамки математического образования. «Надеюсь, это начнет настраивать людей на то, что искать в классах [и как] предоставить учащимся больше возможностей для более открытого участия в математике», — сказал Бэтти.
Узнайте, как раскрасить черно-белые фотографии всего за 4 минуты
Мы в DIYP представили множество фантастических раскрасок черно-белых изображений.Если вы всегда хотели попробовать это сами, то этот урок Криса из Spoon Graphics — это видео, которое вам обязательно нужно посмотреть.
Он предназначен для начинающих, и за ним легко и легко следовать, даже если вы никогда раньше не раскрашивали изображения. Хотя этот процесс требует много времени и навыков, Крис упрощает его и дает вам несколько основных рекомендаций по добавлению цветов к черно-белым фотографиям, которые вы легко обновите, следуя инструкциям. Это видео — отличный способ окунуться в мир раскрашивания фотографий, и вы сразу же опробуете эту технику.
Вы можете поиграть со старыми семейными фотографиями или использовать старые фотографии из Интернета. Крис выбрал сепию изображения своего дедушки из времен Второй мировой войны, чтобы продемонстрировать эту технику.
1. Очистка образа
Когда вы открываете изображение в Photoshop, преобразуйте его в смарт-объект и начните с удаления царапин и пыли. Вы можете перейти в Фильтр> Шум> Пыль и царапины и установить радиус 1-2 пикселя и порог 20-30 уровней. Если остались царапины и пылинки, их можно клонировать вручную.
2. Регулировка тонов и контрастности изображения
Если вы работаете с изображением цвета сепии, добавьте корректирующий слой «Черно-белый», чтобы нейтрализовать тона. Затем добавьте корректирующий слой Levels, чтобы исправить контраст, и имейте в виду, что вам, вероятно, придется довольно сильно затемнить тени.
3. Преобразование изображения в CMYK
Когда изображение вас устраивает, Крис предлагает преобразовать его в CMYK (Изображение> Режим> Цвет CMYK). Это делает исходные тона изображения менее заметными, если фотография сепия, и намного лучше окрашивает более темные области.
4. Добавление цвета
После первых трех шагов ваше изображение готово к раскрашиванию.
Начните с добавления нового корректирующего слоя Solid Color приблизительного оттенка области, над которой вы работаете. Например, выберите цвет кожи . Установите режим наложения на «Мягкий свет», и вы заметите, что вся фотография будет окрашена этим цветом. В качестве альтернативы вы можете выбрать режим наложения, который добавит яркости выбранному оттенку и при необходимости отрегулировать непрозрачность.
Затем выберите маску слоя рядом с корректирующим слоем Solid Color и залейте ее черным, чтобы очистить наложение цвета.
Теперь переключитесь на инструмент «Кисть» и отрегулируйте жесткость и размер в зависимости от области, над которой вы работаете. Выберите белый цвет для кисти и начните закрашивать области, где вы хотите раскрыть цвет. В данном случае скин. Переключите кисть на черный, чтобы удалить цвет с нежелательных участков или устранить ошибки. С этого момента вы можете изменить цвет корректирующего слоя Solid Color, так как легче управлять оттенком, когда вы видите его на изображении.Вы также можете настроить непрозрачность слоя, чтобы при необходимости сделать его более тонким.
Когда вы закончите с кожей, примените тот же принцип ко всем остальным областям: губам, одежде, фону, украшениям и так далее.
Имейте в виду, что добавление цвета в определенных областях делает раскрашивание более реалистичным. Например, немного розового вокруг глаз, синего вокруг небритой бороды, желтоватого оттенка на коже и так далее. Все это нужно сделать практически невидимыми, с непрозрачностью менее 20%, но они добавят приятные цветовые вариации к изображению.
Добавляя цвет к фотографии, помните, что графический планшет значительно упрощает и делает процесс более точным. Но это по-прежнему можно делать с помощью мыши, и вы можете использовать инструмент «Перо», чтобы выделять объекты перед нанесением цвета.
После того, как вы закончили добавлять цвет ко всем областям, есть несколько последних настроек для дальнейшего улучшения изображения. Добавьте корректирующий слой Цвет / Насыщенность поверх стопки слоев, чтобы добавить яркости изображению. Вы также можете добавить корректирующий слой Color Balance, чтобы скорректировать общий тон изображения.
Вот как это обернулось для Криса:
Лично меня этот урок настолько заинтересовал, что я сел и впервые в жизни попробовал раскрасить фотографию. Я был не слишком точен и предан делу, но я просто хотел опробовать технику — и все еще очень доволен результатом. Итак, вот моя первая цветная черно-белая фотография:
Фрида Кало, Гильермо Кало, 1932 (CC0)
Я люблю цветные изображения и люблю видеть, когда кто-то таким образом возвращает к жизни старые фотографии.Я нашел этот урок полезным как человек, который никогда раньше не добавлял цвета к черно-белым фотографиям, и я надеюсь, что вы тоже. Если вы решили попробовать, не стесняйтесь — поделитесь с нами своими результатами.
[Как раскрасить черно-белую фотографию в Photoshop с помощью FStoppers]
Изобразите это: Использование фотографии для обучения естествознанию, математике и письму
Практический опыт:
Студенты использовали как одушевленные, так и неодушевленные объекты для создания фотографий, что научило их научным свойствам света и способам создания с его помощью фотографических изображений. .
Кредит: Предоставлено Хизер СтампфУчителям государственных школ нечасто предоставляется возможность потратить 15 000 долларов на разработку новых внеклассных программ для детей из городских районов. Но именно это произошло в прошлом году с Лиз Бек, преподавателем математики, естественных наук и социальных наук в пятом классе Чикагской международной чартерной школы в Вашингтон-парке на южной стороне города.
Внезапная удача Бека была получена в результате крупного государственного гранта, который чартерная школа потеряла бы, если бы не потратила деньги вовремя.Школа поручила Бек, известной среди сверстников как лидер и новатор, создать летнюю программу обогащения.
Обдумывая идеи программы, Бек преследовала три цели: стимулировать студентов к учебе с помощью практических занятий, познакомить студентов с разнообразными ресурсами Чикаго и познакомить студентов с карьерными путями и профессионалами в их сообществе. Для этого проект будет включать в себя классные проекты, приглашенных докладчиков и экскурсии в течение четырех недель.
Бек также искала тему, которая могла бы объединить все ее идеи и вызвать интерес студентов. В конечном итоге она выбрала фотографию. «Почти в каждом предмете есть что-то, связанное с фотографией, и эта тема нравится детям», — объясняет она.
Бек сотрудничал с пятью учителями по различным дисциплинам, чтобы разработать материалы курса. «Эта возможность была прекрасным шансом подумать о том, что возможно, когда мы бросаем себе вызов творчески в наших классах», — говорит она.Их учебная программа включала шесть областей содержания — естественные науки, компьютерные навыки, геометрию, письмо, искусство и исследование карьеры — в изучение традиционной 35-мм фотографии. Основываясь на рекомендациях учителей, Бек пригласил двадцать хорошо успевающих детей из 5–7 классов, и пятнадцать приняли приглашение принять участие в программе, получившей название «Лето безупречной картинки».
Несмотря на то, что «Лето с идеальным изображением» было непременно экстравагантным, большинство его уроков по проектному обучению можно было бы воссоздать как малобюджетные занятия в классе в течение учебного года.(Бек потратила большую часть своего бюджета в размере 15000 долларов на зарплату учителей, обработку пленки и несколько поблажек во время экскурсий.) Все, что действительно нужно учителям, — говорит она, — это несколько одноразовых фотоаппаратов, некоторые основные принадлежности и несколько взрослых добровольцев.
Начните с основ
Предпосылка программы Бека проста: научите студентов науке и искусству фотографии, а затем помогите им применить полученные знания в других предметах. Итак, первые несколько уроков A Picture-Perfect Summer были фотоцентрическими, в них преобладали разговоры об основах оптики и химии.Как работают 35-мм камеры? Как перемещается свет и почему это так важно для фотографии? Что же происходит в этих лотках с жидкостью в темной комнате? Бек дал студентам рабочий словарь таких терминов, как передний план, фон, тень, свет, фокус и вспышка.
Бек также нанял Хизер Штумпф, профессионального фотографа и преподавателя Art Resources in Teaching, чтобы представить такие концепции, как свет и тень, а также позитивное и негативное пространство. «Если вы не профессиональный фотограф, это отличная возможность пригласить члена сообщества в класс, если этот человек может объяснять концепции в терминах, соответствующих возрасту», — объясняет Бек.
Предоставлено: любезно предоставлено Хизер Стампф.Темная комната «Сделай сам». Студенты и преподаватели вместе работали над превращением переработанных коробок холодильников, скотча, красного геля, безопасного света и мешков для мусора в работающую фотолабораторию.
Штумпф и Бек руководили студентами в проекте, который всем нравился: построение темной комнаты. Взрослые вскрыли две переработанные коробки холодильника, подаренные местным магазином бытовой техники, и ученики выкрасили внутреннюю часть в черный цвет. Затем группа склеила коробки вместе, чтобы создать светонепроницаемое пространство, достаточно большое, чтобы пара учеников и учитель могли стоять внутри.Вверху они вырезали небольшое отверстие и покрыли его красным гелем (можно купить в магазинах фототехники), чтобы в темную комнату попадало небольшое количество «безопасного» света. Для двери они сделали отверстие в боковой стенке ящика и повесили на него черные мешки для мусора, чтобы в комнате было темно.
Шестиклассник Романус объясняет: «Мы знали, как камера создает изображение, пропуская или блокируя свет через линзу и химические вещества на пленке. Поэтому мы должны были быть уверены, что в нашей темной комнате не будет световых трещин. .«
Штумпф говорит, что ученики могли проявить черно-белую пленку в темной комнате с помощью опытного учителя или добровольного фотографа. Но ради экономии времени она попросила учеников сделать фотографии. Эти изображения создаются путем размещения объектов на фоточувствительной бумаге (также доступной в магазинах фототоваров) и последующего воздействия на бумагу света путем быстрого включения и выключения фонарика. Студенты окунули бумагу в лотки с проявителем, остановили ванну и исправили раствор для проявления изображений, затем промойте страницы в воде и повесите их сушиться.Обработка фотограммы от начала до конца занимает около десяти минут.
«Это было круто, потому что мы узнали о непрозрачности, полупрозрачности и прозрачных объектах», — вспоминает Романус. «Это как негатив. Если свет не может пройти через объект, который вы используете, он весь белый на бумаге. Он выглядел как рентгеновский снимок».
Расширяйте контент в новые области
После знакомства с фотографией ученики A Picture-Perfect Summer получили более разнообразные задания, которые включали искусство, математику и компьютеры.Бек дал каждому ученику одноразовый фотоаппарат на тридцать шесть экспозиций со вспышкой. Студенты проводили три дня в неделю в классах с разными инструкторами и два дня в неделю на экскурсиях. Вместо экскурсий студенты могут фотографировать кампус. «Вы можете изменить производственные практики, возможно, пригласив спикера в класс, что мы тоже сделали», — говорит Бек. (См. Боковую панель, чтобы узнать больше об альтернативных экскурсиях.)
Кредит: Предоставлено Хизер СтампфЭффект тени: чтобы лучше понять, как свет или его отсутствие могут изменить наше восприятие, студент рисует на бумаге очертания. предметов, освещенных сзади.Чем дальше объект находился от страницы, тем более абстрактным он становился.
Например, Штумпф привел студентов к разговорам о фотографии как искусстве. «Было довольно легко вступить в дискуссию о художественных элементах фотографии, потому что дети знали, что нет правильных или неправильных ответов», — говорит Бек. Простые вопросы могут вызвать живой диалог: что вы чувствуете при этой картинке? Как вы думаете, почему фотограф сделал такой снимок? Что бы произошло, если бы он или она отказались от деталей?
Бек также пригласила местного скульптора рассказать о том, как она использует фотографию в своей работе.Во время этого урока каждый ученик создал скульптуру из пластилина и сфотографировал ее. «К концу программы скульптуры растаяли, а фотографии — нет», — говорит Бек. «Мы говорили о том, как фотографии сохраняют моменты времени».
После разговора о фотографии как искусстве Бек провела простой поэтический семинар, на котором она дала студентам изображения и попросила их написать стихи о фотографиях. «Они узнают об изображениях как о средстве доступа к своим эмоциональным ядрам», — объясняет Бек. «Это может быть действительно мощно.«Студенты также вели дневники на протяжении четырехнедельной программы, в которых они каждый день записывали размышления о своем опыте.
Для концептуальных заданий учителя предоставили фотографии, но Бек подчеркивает важность предоставления студентам возможности делать свои собственные снимки. «Это занятие, которое им нравится, и они начинают думать о том, что происходит в их камерах, как составить фотографию, как фотография вызовет у людей чувства», — отмечает она. «Это связывает их обучение вместе». она предлагает использовать одноразовые камеры — в идеале, одну модель 400 ISO с тридцатью шестью экспозициями со вспышкой на каждого ученика, хотя небольшие группы могут использовать одну камеру, если это необходимо.Совместное использование цифровой камеры, компьютера и принтера также будет работать в крайнем случае.
Бек использовал фотографии зданий, сделанные студентами во время архитектурного круиза по реке Чикаго, для обучения математике. (По ее словам, подойдут фотографии любого интересного для детей здания.) Бек начала урок с обсуждения геометрических свойств конструкций. Она призвала студентов учитывать масштаб и пропорции, которые, как она объясняет, «очень хорошо соотносятся с фотографическими концепциями увеличения и уменьшения».После этого она перешла на уроки, посвященные концепции создания изображений в масштабе. Бек попросила учащихся нарисовать сетку своих изображений, увеличивая или уменьшая изображения на определенную величину.
Студенты также узнали, что есть более простые способы манипулирования изображениями, чем сетка, бумага и карандаш. С помощью учителя информатики Нитин Хеммади студенты научились сканировать изображения, чтобы они могли использовать Adobe Photoshop для их изменения (цель компьютерной работы заключалась в том, чтобы познакомить студентов с технологиями, которые они, возможно, не использовали раньше.) Каждый ученик также создал анимированный музыкальный набор. Шестиклассник Романус оживил человека, падающего в яму. «Это был вкус того, что настоящие художники делают с компьютерами», — говорит он. Бек предлагает другим учителям расширить школьную программу, включив в нее настольные издательские системы.
Привлекайте внимание сообщества
Поскольку у Бек было 15 000 долларов, она сделала внешние впечатления ключевой частью «Летнего идеального изображения». «Дети в нашем сообществе часто не имеют доступа к большему и лучшему», — отмечает она.«Я действительно хотел, чтобы наши дети увидели, что за четырьмя стенами классной комнаты есть жизнь, и научили их, что есть работа, которая им нравится».
Бек пригласил четырех докладчиков, по одному каждую неделю, рассказать о своей работе и о том, как они используют фотографию на работе. Чтобы найти их, она разместила заметку на Craigslist и нашла четырех профессионалов, которые соответствовали ее критериям: вышеупомянутого скульптора, графического дизайнера Chicago Cubs, судебного поверенного и автора детских книг.
Бек говорит, что позаботилась о том, чтобы приглашенные докладчики понимали, что изучают студенты.Она сформулировала четкие ожидания и попросила каждого специалиста включить в свой визит соответствующее мероприятие. Например, адвокат рассказал о том, как он использует фотографии для построения своих дел. Затем он дал студентам сценарий и попросил их выбрать лучшие фотографии, чтобы представить его. «Мне нравилось, когда к нам приходил поговорить адвокат, — говорит пятиклассница Разия. «Когда у вас есть фотографии, вы можете отличить правду от лжи. А фотографии помогают рассказывать истории так, чтобы люди их понимали».
Автор детской книги рассказала о том, как она выбирает картинки для своих рассказов, затем помогла ученикам написать свои собственные сказки и выбрать фотографии из журналов, чтобы дополнить их слова.Графический дизайнер Chicago Cubs показал студентам, как превратить изображение игрока в плакат и как сделать бейсбольные карточки. «Важнее всего то, что выступающие могут четко общаться со студентами независимо от их возраста», — говорит Бек. «Дети любят новые лица, новые истории, новые голоса».
Бек также хотел дать студентам возможность поделиться своими новыми знаниями с другими. В конце программы они представили свои работы родителям, администраторам и однокурсникам летней школы.Они превратили свои многочисленные фотографии в альбомы для вырезок, которые они создали для посетителей в стиле научной ярмарки. Они открыли темную комнату для гостей и использовали складные доски, чтобы объяснить некоторые научные концепции, которым они научились. Венцом стал первый публичный просмотр видеоклипов, снятых Беком во время четырехнедельной программы с помощью одноразового видеомагнитофона VHS. Фото-бригада в аптеке, где она купила видеокамеру, смонтировала клипы до трехминутного видеоклипа под музыку.
Жанин Хатчинс, мать Романуса и Разии, была в восторге от увиденного. «Это не то, чему родители могут научить ребенка, если вы не увлекаетесь фотографией», — говорит она. «Для них это был обширный опыт, и мы все очень ценили возможность».
Бек тоже благодарен за опыт. Она говорит, что формат программы имел меньшее значение, чем характер инструкции. «Не обязательно иметь много денег или месяц летом, чтобы проделать большую часть этой работы», — говорит она.Фактически, Бек продолжает использовать уроки математики на основе фотографий в своих обычных классах. Результаты одни и те же: студенты изучают основы академической науки и испытывают радость открытий. «Мы хотим, чтобы этот дух всегда присутствовал в наших классах», — отмечает Бек, будь то летняя программа повышения квалификации или урок геометрии в понедельник после обеда.
Хилари Мазелл Освальд живет в Денвере и пишет на такие разные темы, как городское образование, политика здравоохранения и тенденции в искусстве и архитектуре.Воссоздание опыта, на месте или вне дома: полевые поездки и альтернативы
Лиз Бек использовала экскурсии в дополнение к своей летней учебной программе, но учителям, ресурсы которых требуют, чтобы они оставались на месте, она предлагает классные альтернативы ее за пределами кампуса приключения. Вот список обоих типов событий:
WGN-TV Station: Студенты смотрели запись утренних новостей в прямом эфире и осматривали студии. Операторы рассказали им, как они составляют разные кадры.Сценаристы объяснили студентам, как они редактируют рассказ и используют изображения, чтобы показать зрителям, что сообщает репортер. Альтернатива: Почти в каждом сообществе есть местный отдел новостей. Если вы не можете пойти туда, пригласите в кампус репортера новостей и оператора. «Не бойтесь просить о том, что вам нужно, у местных групп», — говорит Бек.
Музей хирургических наук: Студенты узнали о медицинской визуализации, от первых грубых рентгеновских снимков до современных медицинских устройств, таких как аппараты МРТ. Альтернатива: Позвоните в местный центр медицинской визуализации и попросите рентгенолога прийти, поговорить со студентами о визуализации и принести образцы.
Кулинарный тур: Студенты и учителя ели свой путь через центр Чикаго до Линкольн-парка, района, который обожают любители еды. Они пробовали продукты разных культур, фотографировали блюда и писали отзывы, как будто они были ресторанными критиками. Альтернатива: Пригласите пару местных поваров принести блюда в класс и поговорите об их истории и культурных корнях.Или приготовьте обед в одном ресторане в нескольких минутах ходьбы, где шеф-повар готов поговорить со студентами. Попросите учащихся попробовать, сфотографировать и написать о своей еде. Отправляйте их отзывы в рестораны в качестве благодарственных записок.
Архитектурный круиз по реке Чикаго: Студенты изучали историю архитектурных жемчужин Чикаго, плавая по реке. Они сделали фотографии зданий для использования на уроках математики. Альтернатива: Студенты фотографируют любые здания, которые им интересны, на территории кампуса или за его пределами.Или учителя могут предоставить изображения некоторых из самых известных построек в мире, чтобы использовать их при обсуждении композиции фотографий или геометрии и масштаба зданий.