Отличия алгебры от арифметики
Алгебра (так же, как и арифметика) занимается нахождением решений различных вопросов, относящихся к числам. Но между этими двумя науками есть существенная разница:
- Алгебра имеет дело не с числами, а с буквами, которые могут обозначать какие угодно числа.
- В арифметике мы стараемся найти решение только одного данного вопроса с известными определенными числами. В алгебре — найти общее решение всех вопросов одного рода, какие бы числа не были даны.
Чтобы выяснить, что такое общее решение численного вопроса, решим задачу:
Два путешественника в одно и то же время выходят навстречу друг другу из двух городов, находящихся на расстоянии 240 километров. Первый проходит в день 25 километров, второй 35 километров. Через сколько дней после своего отправления они встретятся?
Каждый день они приближаются друг к другу на 25 + 35 = 60 километров; следовательно, они пройдут весь разделяющий их путь и встретятся через 240 : 60 = 4 дня.
Предположим теперь, что требуется решить ту же задачу, но не над тремя данными числами 240, 25 и 25 километров, а над какими угодно числами. Это часто делается для того, чтобы решение вопроса имело более общее значение, то есть годилось бы для всех одинакового рода задач, какие бы целые или дробные числа не были даны. В таком случае мы уже не можем обозначать данные величины цифрами, имеющими одно известное числовое значение, а должны пользоваться какими-нибудь другими знаками, под которыми можно было бы подразумевать какие угодно числа. За такие знаки берут буквы латинского алфавита.
Назовем поэтому число километров между двумя городами буквой a, количество километров, проходимых в день первым путешественником, буквой b, а вторым c.
Решая задачу в этом общем виде, найдем, что оба путешественника каждый день приближаются друг к другу на b + c километров и, следовательно, встретятся через столько дней, сколько раз сумма b + c километров заключается в километрах разделяющего их пути, то есть через 
дней. Полученное выражение представляет общее решение данного вопроса. Подставив вместо букв числа и произведя действия, найдем прежний ответ: 
.
Буквенное или общее решение имеет следующие преимущества перед числовым или частным решением:
- Оно пригодно не для одной предложенной задачи, а для всех однотипных задач, какие бы числа в них не были даны. Например, если вместо 240, 25 и 35 даны числа 360, 20 и 40, то, подставив их в полученное выражение вместо a, b, и c
и так далее. - Из буквенного выражения ясно видно, какие действия и в каком порядке надо совершить над данными величинами для получения искомого ответа.
- Легко заметить, что при решении вопросов, подобных данному, имеет существенное значение не «именование» предметов или понятий, данных в задаче, но количественная их величина, а потому прямо переходим к тому, что нашу задачу можно обобщить.
и так далее.Например, два предмета одновременно начинают двигаться из двух мест, находящихся на расстоянии a единиц длины (всё равно каких: метры, километры, футы и т.д.). Первый предмет проходит в каждую единицу времени (сутки, час, секунду) b, а второй c таких единиц длины. Через сколько единиц времени они встретятся? Решение, очевидно, будет прежнее: через
Эта запись называется общей формулой, она дает нам возможность любую новую задачу с подобными условиями решить без повторения рассуждений — одним вычислением.
Итак, алгебра имеет целью находить общие решения вопросов, относящихся к числам, а также обобщать эти вопросы.
Кроме того, алгебра занимается тем, чтобы эти общие решения представлять в наиболее простом и ясном виде, также она учит, как преобразовывать одно буквенное выражение в другое, тождественное с ним, то есть в такое, которое остается равным первому при каких угодно числах.
Разница между алгеброй и арифметикой | Разница Между
Ключевая разница: Арифметика и алгебра — две ветви математики. Арифметика, являясь самой основной из всех областей математики, имеет дело с базовым вычислением чисел, используя такие операции, как сложение, умножение, деление и вычитание. С другой стороны, алгебра использует числа и переменные для решения задач. Он основан на применении обобщенных правил для решения проблем.
Высшая арифметика также известна как теория чисел. Это касается характеристик целых чисел, рациональных чисел, иррациональных чисел и действительных чисел.
С другой стороны, алгебра является еще одним разделом математики. Слово происходит от арабского слова al-jabr, которое является древним медицинским термином, означающим «воссоединение сломанных частей». Это можно рассматривать как следующий уровень математики после основания арифметики. В отличие от арифметики, он имеет дело с неизвестными величинами в сочетании с числами. Можно легко отождествить алгебраическую операцию с символами X, Y, a, b и т. Д. Она в основном связана с правилами манипулирования арифметической операцией. Он включает в себя полномочия, алгоритм и комплексные числа также. Алгебра использует произведения и факторинг, квадратичные формальные и биномиальные теоремы и т. Д., Чтобы найти решение. Основные алгебраические свойства используются для оценки алгебраических уравнений.Например, 3 + 7 = 7 + 3, это арифметическое выражение
Принимая во внимание, что a + b = b + a является алгебраическим уравнением, потому что оно будет справедливо для ряда ситуаций. Арифметика может показывать некоторую регулярность, тогда как алгебра дает выражение для определения этих закономерностей на основе закономерностей. Таким образом, арифметику можно рассматривать как вычисление определенных чисел, тогда как алгебра — это обобщение некоторых условий, которые будут выполняться для всех чисел, или целых чисел, или целых чисел и т. Д.
В отличие от элементарной арифметики, элементарная алгебра использует букву для решения задач. Однако в высшей арифметике буквы используются так же, как и в остальной части математики.
Сравнение между алгеброй и арифметикой:
арифметика | Алгебра | |
Определение | Арифметика, являясь самой основной из всех областей математики, имеет дело с базовым вычислением чисел, используя такие операции, как сложение, умножение, деление и вычитание. | Алгебра использует числа и переменные для решения задач. Он основан на применении обобщенных правил для решения проблем. |
уровень | Вообще, связанные с математикой начальной школы | Вообще, связано с математикой средней школы |
Метод расчета | Вычисление с конкретными числами | Вводит общие понятия и понятия, связанные с абстракцией |
Основное внимание | Четыре операции (сложение, вычитание, умножение и деление) | Алгебра использует числа и переменные для решения задач. Он основан на применении обобщенных правил для решения проблем |
Решение проблем | На основании информации, представленной в задаче (запоминаются результаты для небольших значений чисел) | На основе стандартных ходов элементарной алгебры |
Связь | Номер связан | Переменная связана |
Две ветви математики, их отличия и общие правила
Обе науки являются разными сторонами одной медали. Арифметика досконально владеет цифрами, что дает возможность использовать ее в быту для любых расчетов. Азы арифметики закладываются в раннем детстве родителями, когда они учат малышей счету. В школе ребенок овладевает элементарной арифметикой и с помощью четырех основных действий, хорошо известных всем, может решить задачу разной степени сложности. Алгебра – изучает объективные свойства идеализированных объектов, используя числа и буквы. Это вторая математическая ступень по степени сложности.
В чем разница
Арифметика переводится с греческого как «число», что полностью раскрывает ее сущность. Она изучает числа, анализирует действия с ними. Высшая арифметика, которая использует действительные, иррациональные числа, известна как теория чисел.
Алгебра – арабский термин, заимствованный в медицине. Он переводится как «соединение нарушенных частей». Эта наука занимается не просто числами, а самыми разными множествами (не обязательно числовые, но и буквенные). Она решает уравнения, системы уравнений, изучает симметрию, константы, логические операции (булева алгебра).
Иными словами – алгебра – родная сестра арифметики, имеющая дело с более сложными объектами. Правила решения задач у них общие. Найти решение онлайн дифференциальных уравнений сегодня можно на любом сервисе, популярном у школьников и их родителей, студентов и абитуриентов.
Пример:
1+3 =3+1. Это чисто арифметическое числовое равенство, показывающее определенную регулярность.
а+b = b+а. Это алгебраическое уравнение, которое подходит для целого ряда ситуаций на основе определенных закономерностей. Алгебра – ряд условий, справедливых для любых чисел.
Основные сравнительные характеристики
1. Арифметика – важнейшая часть математики, апеллирующая цифрами, складывая, умножая, вычитая и деля их. Алгебра – иная математическая ветвь, которая решает поставленные задачи, используя не только числа, но и буквы (неизвестные величины), опираясь на общие правила вычислений.
2. Арифметика – первая ступень, математика начальных классов школы. Алгебра – вторая, связанная с образованием в средних классах школы.
3. Арифметика в качестве методики использует действия с известными числами. Алгебра – это действия с абстрактными величинами, имеющими общее значение.
4. Арифметика в качестве инструмент решения пользуется четырьмя основными математическими действиями: сложением, вычитанием, умножением, делением. Алгебра – это действия с числами и буквами (множества, переменные) на основе общих правил математики.
5. Способ решения арифметики – поиск ответа по условиям задачи с итогом в виде небольших чисел. Алгебра – использование стандартных алгоритмов элементарной алгебры (алгебраические формулы).
Арифметика и алгебра – две ступени самой точной науки математики, действующие в одном направлении.
Почему математика, а не арифметика? |
Для того чтобы понять, чем отличается курс арифметики от математики, показать разницу между тем, как учили арифметике раньше и как изучают математику сейчас, вспомним свои школьные годы.
Учительница спрашивала: сколько будет 1 + 2 ? Весь класс хором отвечал: три! А сколько будет 2 + 2? Четыре!
И так до тех пор происходило обучение, пока действие сложения не закреплялось всеми учениками. Затем переходили к вычитанию. После этого учились умножать, а затем делить. Это был метод, при котором больше времени отводилось на запоминание результата каждого отдельного действия сложения, чем на развитие мышления младших школьников.
Целостность знания разбивалась на отдельные части — сложение, вычитание, деление, умножение, и каждая часть усваивалась отдельно. В первом классе элементы знания подавались как отдельные единицы, а во втором классе и в третьем эти умения и навыки соединялись в целостное знание.
Только после того, как первоклассники усваивали каждое математическое действие в отдельности, они начинали складывать их в единое целое, приступая к изучению математических отношений и связей.
От детей требовали, чтобы они внимательно слушали учительницу и запоминали приемы решения задачи или примера. Считалось, что такой традиционный подход к изучению математики отвечал особенностям психики младших школьников. Даже учебник назывался “Арифметика”. Тем самым подчеркивался тот факт, что в начальных классах изучается только один из разделов науки математики.
Современная программа начальной школы предусматривает иной подход к обучению детей основам математических знаний. Она позволяет приблизить школьный курс математики к современной науке, полнее использовать умственные возможности детей и развить их способности.
Теперь в младших классах используется более содержательный метод обучения математике. В новой программе предусматривается обучение детей одновременно сложению и вычитанию, умножению и делению.
Новый школьный курс математики объединяет арифметику с элементами геометрии и алгебры. Дети уже с первого класса узнают, как взаимосвязаны математические действия. Это более содержательный путь обучения, и он дает больше, чем простая сумма знаний о сложении, вычитании, делении и умножении.
Усвоение математических знаний становится более емким и приводит к пониманию сути математических действий.
Например, вот какие преобразования можно произвести с простым примером:
1 + 2 = 3, но и 2 + 1 = 3.
Значит, уже в первом классе школьники узнают переместительный закон сложения: от перемены мест слагаемых сумма не изменяется.
С этими же числами можно произвести вычитание: 3-2=1.
И закончит целостную единицу математического знания решение примера:
3-1 = 2.
Усвоение школьниками этих четырех примеров помогает им разобраться во взаимосвязи математических отношений.
Знакомство с элементами алгебры приходит с решением простейших уравнений, которые даются в виде практических задач.
Например:
В коробке было несколько (х) конфет. Наташа положила в коробку еще 3 конфеты, и в ней стало 10 конфет. Сколько конфет было в коробке сначала ?
Простое вычитание 10 — 3 = 7 позволяет найти значение загадочного х. Можно записать решение в таком виде: х = 10 – 3; х = 7.
Новая методика преподавания математики основывается на противопоставлении сложения и вычитания, увеличения и уменьшения. У детей появляется представление о связях между предметами и явлениями. Ведь все в математике подчинено взаимосвязи понятий, логических построений, математических действий.
Чем арифметика отличается от математики?
Арифме́тика — раздел математики, изучающий числа, их отношения и свойства.
Так же, как гинекология от медицины…
Арифметика — бабушка математики.
Математика — общее название науки, а арифметика — её раздел, изучающий числа и их свойства
Чем Алгебра отличается от арифметики? Какие сходства, различия?
Арифметика — раздел математики, изучающий числа (все, кроме комплексных и иррациональных) и действия над ними (+, -*, /) Алгебра — расширенная арифметика. Она включает в себя не только работу с числами, но и над различными множествами, не обязательно числовыми. Алгебра занимается решением уравнений и их систем, изучением симметрии (теория групп) . Так же, может слышали, есть т. н. булева алгебра — алгебра с логичискими операциями (и, или, не, исключающее или) (1 and 0 = 0) и т. д. В теории групп, структурные контсанты группы образовывают её алгебру — т. е. показывают как группа замыкается (точнее её генераторы) . В общем, алгебра = арифметика, только с более сложными объектами.
Ну, арифметика — это просто действия с числами, а если школьная алгебра, то это действия не только с просто числами, а и с буквами, обозначающими известные и неизвестные числа, чтобы найти неизвестные числа.
Арифметика учит точности, а алгебре развивае еще и абстрактное мышление, учит обобщать.
Мир/пространств — это «явление» четырёхмерное. (…) Геоматрия — трёхмерное ( Фактора «время» не хватает …) Математика ( ка наука) — двухмерное. ( X Y Z = геометрия или трёхмерное — в действительности 3(X Y) = тройная поляризация пространства. Как бы не интерпретировалось — это плоскость и всегда плоскостью остаётся. ) Алгебра — это одномерное. Тоесть: абсолютно всё разбирается и вытягивается в одну линию/цэпочку. Арифметика — это наука «цыфр».
Чем арифметика отличается от математики ?
арихметика — когда все действия укладываются в четыре знака: +,-/,*. математика предполагает остальные действия, а также использование неизвестных.
арифметика — малая часть большой науки — математики.
Арифметика — малая часть математики, которая занимается только числами. В математику помимо чисел включается еще множество других вещей.
>> Арифметика — малая часть математики Мал, да удал.
Ну в арифметике нельзя вычислять отрицательные значения под корнем =)