15.07.2020

Арифметика чем отличается от математики: Математика или Арифметика — разница и общее? —Узнайка369 – Разница между алгеброй и арифметикой

Разница между алгеброй и арифметикой

Ключевое отличие: арифметика и алгебра — это две ветви математики. Арифметика, являясь самой основной из всех областей математики, имеет дело с базовым вычислением чисел, используя такие операции, как сложение, умножение, деление и вычитание. С другой стороны, алгебра использует числа и переменные для решения задач. Он основан на применении обобщенных правил для решения проблем.

Арифметика и алгебра — это две разные ветви математики. Арифметика, сам термин был получен из греческого слова, означающего число. Это самая основная отрасль математики. Это все о числах, и поэтому обычно используется всеми в повседневной жизни. Элементарная арифметика работает вокруг четырех основных операций: сложение, вычитание, деление и умножение. Он просто использует числа для различных типов расчетов

Высшая арифметика также известна как теория чисел. Это касается характеристик целых чисел, рациональных чисел, иррациональных чисел и действительных чисел.

С другой стороны, алгебра является еще одним разделом математики. Слово происходит от арабского слова al-jabr, которое является древним медицинским термином, означающим «воссоединение сломанных частей». Это можно рассматривать как следующий уровень математики после основания арифметики. В отличие от арифметики, он имеет дело с неизвестными величинами в сочетании с числами. Можно легко идентифицировать алгебраическую операцию с символами X, Y, a, b и т. Д. Она в основном касается правил для манипулирования арифметической операцией.

Он включает в себя полномочия, алгоритм и комплексные числа также. Алгебра использует произведения и факторинг, квадратичные формальные и биномиальные теоремы и т. Д., Чтобы найти решение. Основные алгебраические свойства используются для оценки алгебраических уравнений.

Например, 3 + 7 = 7 + 3, это арифметическое выражение

Принимая во внимание, что a + b = b + a является алгебраическим уравнением, потому что оно будет справедливо для ряда ситуаций. Арифметика может показывать некоторую регулярность, тогда как алгебра дает выражение для определения этих закономерностей на основе закономерностей. Таким образом, арифметику можно рассматривать как вычисление определенных чисел, тогда как алгебра — это обобщение некоторых условий, которые будут выполняться для всех чисел, или целых чисел, или целых чисел и т. Д.

В отличие от элементарной арифметики, элементарная алгебра использует букву для решения задач. Тем не менее, высшая арифметика использует буквы так же, как и в остальной части математики.

Сравнение между алгеброй и арифметикой:

арифметика

Алгебра

Определение

Арифметика, являясь самой основной из всех областей математики, имеет дело с базовым вычислением чисел, используя такие операции, как сложение, умножение, деление и вычитание.

Алгебра использует числа и переменные для решения задач. Он основан на применении обобщенных правил для решения проблем.

уровень

Вообще, связанные с математикой начальной школы

Вообще, связано с математикой средней школы

Метод расчета

Вычисление с конкретными числами

Вводит общие понятия и понятия, связанные с абстракцией

Основное внимание

Четыре операции (сложение, вычитание, умножение и деление)

Алгебра использует числа и переменные для решения задач. Он основан на применении обобщенных правил для решения проблем

Решение проблем

На основании информации, представленной в задаче (запоминаются результаты для небольших значений чисел)

На основе стандартных ходов элементарной алгебры

Связь

Номер связан

Переменная связана

Чем отличается алгебра от математики?

МАТЕМАТИКА — научная дисциплина о пространственных формах и количественных отношениях действительного мира. АЛГЕБРА — раздел математики, изучающий свойства переменных числовых величин и общих методов решения задач при помощи уравнений. То есть, с точки зрения лингвистики (науки о языке) , МАТЕМАТИКА — это ГИПЕРОНИМ — слово с более широким значением, выражающее общее, родовое понятие, название класса (множества) предметов (свойств, признаков) , а АЛГЕБРА -это ГИПОНИМ, так называют слово с более узким значением, называющее предмет (свойство, признак) как элемент класса (множества).

математика это и геометрия и алгебра вмете (обобщенно)

Алгебра — это всего лишь часть математики.

Математика, как учебная дисциплина, включает в себя арифметику, алгебру, геометрию и др.

Алгебра — область математики

2+2=4 это математика.. . 2ab x 3bc= ? это уже алгебра))

Дорогой Артемий, как говорилось выше — алгебра это часть такой обширной дисциплины как математика. Я просто вижу, что Вы многим поставили малое число голосов? За что? Они же правы. Или Вы путаете математику и арифметику? Кстати спискок дисциплин, который включает в себя математика (сперто из википедии) : Математический анализ Дифференциальные уравнения Математическая физика Геометрия и топология Теория вероятностей и математическая статистика Математическая логика, алгебра и теория чисел Вычислительная математика Дискретная математика и математическая кибернетика А то что изучается в школе на алгебре — это элементарная алгебра. Ибо их тоже огромное количество. Различных алгебр всмысле.

Таблица математических символов — Википедия

Символ (TeX)
(Команда (TeX))		Символ (Юникод)НазваниеЗначениеПример
Произношение
Раздел математики
⇒{\displaystyle \Rightarrow }
(\Rightarrow)
→{\displaystyle \rightarrow }
(\rightarrow)
⊃{\displaystyle \supset }
(\supset)		⇒

→

⊃

Импликация, следованиеA⇒B{\displaystyle A\Rightarrow B} означает «если A{\displaystyle A} верно, то B{\displaystyle B} также верно».
(→ может использоваться вместо ⇒ или для обозначения функции, см. ниже.)
(⊃ может использоваться вместо ⇒ или для обозначения надмножества, см. ниже.).		x=2⇒x2=4{\displaystyle x=2\Rightarrow x^{2}=4} верно, но x2=4⇒x=2{\displaystyle x^{2}=4\Rightarrow x=2} неверно (так как x=−2{\displaystyle x=-2} также является решением).
«влечёт» или «если…, то» или

«отсюда следует»

везде
⇔{\displaystyle \Leftrightarrow }
(\Leftrightarrow)		⇔РавносильностьA⇔B{\displaystyle A\Leftrightarrow B} означает «A{\displaystyle A} верно тогда и только тогда, когда B{\displaystyle B} верно».x+5=y+2⇔x+3=y{\displaystyle x+5=y+2\Leftrightarrow x+3=y}
«если и только если» или «равносильно»
везде
∧{\displaystyle \wedge }
(\wedge)		∧КонъюнкцияA∧B{\displaystyle A\wedge B} истинно тогда и только тогда, когда A{\displaystyle A} и B{\displaystyle B} оба истинны.(n>2)∧(n<4)⇔(n=3){\displaystyle (n>2)\wedge (n<4)\Leftrightarrow (n=3)}, если n{\displaystyle n} — натуральное число.
«и»
Математическая логика
∨{\displaystyle \vee }
(\vee)		∨ДизъюнкцияA∨B{\displaystyle A\vee B} истинно, когда хотя бы одно из условий A{\displaystyle A} и B{\displaystyle B} истинно.(n⩽2)∨(n⩾4)⇔n≠3{\displaystyle (n\leqslant 2)\vee (n\geqslant 4)\Leftrightarrow n\neq 3}, если n{\displaystyle n} — натуральное число.
«или»
Математическая логика
¬{\displaystyle \neg }
(\neg)		¬Отрицание¬A{\displaystyle \neg A} истинно тогда и только тогда, когда ложно A{\displaystyle A}.¬(A∧B)⇔(¬A)∨(¬B){\displaystyle \neg (A\wedge B)\Leftrightarrow (\neg A)\vee (\neg B)}
x∉S⇔¬(x∈S){\displaystyle x\notin S\Leftrightarrow \neg (x\in S)}
«не»
Математическая логика
∀{\displaystyle \forall }
(\forall)		∀Квантор всеобщности∀x,P(x){\displaystyle \forall x,P\left(x\right)} обозначает «P(x){\displaystyle P\left(x\right)} верно для всех x{\displaystyle x}».∀n∈N,n2⩾n{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\;n^{2}\geqslant n}
«Для любых», «Для всех», «Для всякого»
Математическая логика
∃{\displaystyle \exists }
(\exists)		∃Квантор существования∃x,P(x){\displaystyle \exists x,\;P\left(x\right)} означает «существует хотя бы один x{\displaystyle x} такой, что верно P(x){\displaystyle P\left(x\right)}»∃n∈N,n+5=2n{\displaystyle \exists n\in \mathbb {N} ,\;n+5=2n} (подходит число 5)
«существует»
Математическая логика
={\displaystyle =}=Равенствоx=y{\displaystyle x=y} обозначает «x{\displaystyle x} и y{\displaystyle y} обозначают одно и то же значение».1 + 2 = 6 − 3
«равно»
везде
:={\displaystyle :=}

:⇔{\displaystyle :\Leftrightarrow }
(:\Leftrightarrow)
=def{\displaystyle {\stackrel {\rm {def}}{=}}}
(\stackrel{\rm{def}}{=})

:=

:⇔

 

Определениеx:=y{\displaystyle x:=y} означает «x{\displaystyle x} по определению равен y{\displaystyle y}».
P:⇔Q{\displaystyle P:\Leftrightarrow Q} означает «P{\displaystyle P} по определению равносильно Q{\displaystyle Q}»		ch(x):=12(ex+e−x){\displaystyle {\rm {ch}}\left(x\right):={1 \over 2}\left(e^{x}+e^{-x}\right)} (определение гиперболического косинуса)
A⊕B:⇔(A∨B)∧¬(A∧B){\displaystyle A\oplus B:\Leftrightarrow (A\vee B)\wedge \neg (A\wedge B)} (определение исключающего «ИЛИ»)
«равно/равносильно по определению»
везде
{,}{\displaystyle \{,\}}{ }Множество элементов{a,b,c}{\displaystyle \{a,\;b,\;c\}} означает множество, элементами которого являются a{\displaystyle a}, b{\displaystyle b} и c{\displaystyle c}.N={1,2,…}{\displaystyle \mathbb {N} =\{1,\;2,\;\ldots \}} (множество натуральных чисел)
«Множество…»
Теория множеств
{|}{\displaystyle \{|\}} {|}Множество элементов, удовлетворяющих условию{x|P(x)}{\displaystyle \{x\,|\,P\left(x\right)\}} означает множество всех x{\displaystyle x} таких, что верно P(x){\displaystyle P\left(x\right)}.{n∈N|n2<20}={1,2,3,4}{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} \,|\,n^{2}<20\}=\{1,\;2,\;3,\;4\}}
«Множество всех… таких, что верно…»
Теория множеств
∅{\displaystyle \varnothing }
(\varnothing)
{}{\displaystyle \{\}}
 		∅

{}

Пустое множество{}{\displaystyle \{\}} и ∅{\displaystyle \varnothing } означают множество, не содержащее ни одного элемента.{n∈N|1<n2<4}=∅{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} \,|\,1<n^{2}<4\}=\varnothing }
«Пустое множество»
Теория множеств
∈{\displaystyle \in }
(\in)
∉{\displaystyle \notin }
(\notin)		∈

∉

Принадлежность/непринадлежность к множествуa∈S{\displaystyle a\in S} означает «a{\displaystyle a} является элементом множества S{\displaystyle S}»
a∉S{\displaystyle a\notin S} означает «a{\displaystyle a} не является элементом множества S{\displaystyle S}»		2∈N{\displaystyle 2\in \mathbb {N} }
12∉N{\displaystyle {1 \over 2}\notin \mathbb {N} }
«принадлежит», «из»
«не принадлежит»
Теория множеств
⊆{\displaystyle \subseteq }
(\subseteq)
⊂{\displaystyle \subset }
(\subset)		⊆

⊂

ПодмножествоA⊆B{\displaystyle A\subseteq B} означает «каждый элемент из A{\displaystyle A} также является элементом из B{\displaystyle B}».
A⊂B{\displaystyle A\subset B} обычно означает то же, что и A⊆B{\displaystyle A\subseteq B}. Однако некоторые авторы используют ⊂{\displaystyle \subset }, чтобы показать строгое включение (то есть ⊊{\displaystyle \subsetneq }).		(A∩B)⊆A{\displaystyle (A\cap B)\subseteq A}
Q⊆R{\displaystyle \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} }
«является подмножеством», «включено в»
Теория множеств
⊇{\displaystyle \supseteq }
(\supseteq)
⊃{\displaystyle \supset }
(\supset)		⊇

⊃

НадмножествоA⊇B{\displaystyle A\supseteq B} означает «каждый элемент из B{\displaystyle B} также является элементом из A{\displaystyle A}».
A⊃B{\displaystyle A\supset B} обычно означает то же, что и A⊇B{\displaystyle A\supseteq B}. Однако некоторые авторы используют ⊃{\displaystyle \supset }, чтобы показать строгое включение (то есть ⊋{\displaystyle \supsetneq }).		(A∪B)⊇A{\displaystyle (A\cup B)\supseteq A}
R⊇Q{\displaystyle \mathbb {R} \supseteq \mathbb {Q} }
«является надмножеством», «включает в себя»
Теория множеств
⊊{\displaystyle \subsetneq }
(\subsetneq)		⊊Собственное подмножествоA⊊B{\displaystyle A\subsetneq B} означает A⊆B{\displaystyle A\subseteq B} и A≠B{\displaystyle A\neq B}.N⊊Q{\displaystyle \mathbb {N} \subsetneq \mathbb {Q} }
«является собственным подмножеством», «строго включается в»
Теория множеств
⊋{\displaystyle \supsetneq }
(\supsetneq)		⊋Собственное надмножествоA⊋B{\displaystyle A\supsetneq B} означает A⊇B{\displaystyle A\supseteq B} и A≠B{\displaystyle A\neq B}.Q⊋N{\displaystyle \mathbb {Q} \supsetneq \mathbb {N} }
«является собственным надмножеством», «строго включает в себя»
Теория множеств
∪{\displaystyle \cup }
(\cup)		∪ОбъединениеA∪B{\displaystyle A\cup B} означает множество, содержащее все элементы из A{\displaystyle A} и B{\displaystyle B}A⊆B⇔A∪B=B{\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow A\cup B=B}
«Объединение … и …», «…, объединённое с …»
Теория множеств
∩{\displaystyle \cap }
(\cap)		⋂ПересечениеA∩B{\displaystyle A\cap B} означает множество одинаковых элементов, принадлежащих и A{\displaystyle A}, и B{\displaystyle B}.{x∈R|x2=1}∩N={1}{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \,|\,x^{2}=1\}\cap \mathbb {N} =\{1\}}
«Пересечение … и … «, «…, пересечённое с …»
Теория множеств
∖{\displaystyle \setminus }
(\setminus)		\Разность множествA∖B{\displaystyle A\setminus B} означает множество элементов, принадлежащих A{\displaystyle A}, но не принадлежащих B{\displaystyle B}.{1,2,3,4}∖{3,4,5,6}={1,2}{\displaystyle \{1,\;2,\;3,\;4\}\setminus \{3,\;4,\;5,\;6\}=\{1,\;2\}}
«разность … и …», «минус», «… без …»
Теория множеств
→{\displaystyle \to }
(\to)		→Функция (отображение)f:X→Y{\displaystyle f\colon X\to Y} означает функцию f{\displaystyle f} с областью определения X{\displaystyle X} и областью значений Y{\displaystyle Y}.Функция f:Z→N∪{0}{\displaystyle f\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {N} \cup \{0\}}, определённая как f(x)=x2{\displaystyle f\left(x\right)=x^{2}}
«из … в …»,
везде
↦{\displaystyle \mapsto }
(\mapsto)		↦Отображениеf:x↦f(x){\displaystyle f\colon x\mapsto f\left(x\right)} означает, что образом x{\displaystyle x} после применения функции f{\displaystyle f} будет f(x){\displaystyle f\left(x\right)}.Функцию, определённую как

Чем отличается математика от прикладной математики

Математика – это фундаментальная наука, которая занимается изучением разных структур, их отношений и порядков. Математика, как наука, появилась очень давно, наверное, с возникновением человечества. Уже в раннем палеолите люди были знакомы с основами счета. У людей всегда была необходимость что-то подсчитать или пересчитать. Известно, что для счета люди пользовались и пальцами, и камнями, и палками и различными метками. Историю развития математики отсчитывают именно с того момента, как люди научились считать.

Для того чтобы понять, чем отличается прикладная математика от математики, нужно рассмотреть основные понятия, которыми оперирует одна и вторая наука.

Математика

Если посмотреть определение математики в различных словарях и энциклопедиях, то можно заметить, что единого точного определения математики не существует. Однако мы все интуитивно понимаем, что такое математика. Наилучшее определение было дано, наверное, Бурбаки.

Математика

Бурбаки – это псевдоним группы математиков, которые написали серию книг по математике. По определению Бурбаки, математика изучает отношения между какими-то объектами. Каждый объект описывается с точки зрения его количественных характеристик. Сущностью математики является описание некоторого набора абстрактных структур.

Из этого определения становится понятно, чем занимается теоретическая математика. Она должна описать отношения различных структур данных.

Математика делится на элементарную и высшую части. Элементарную математику изучают в школе.

Она включает в себя такие разделы, как:

  1. Арифметика.
  2. Начала алгебры.
  3. Геометрия.

Геометрия

Высшая математика состоит из:

  • Математического анализа.
  • Алгебры.
  • Аналитической геометрии.
  • Дифференциальных уравнений.
  • Теории вероятности.
  • Математической статистики.
  • Теории чисел.
  • Функционального анализа.

В теоретической математике разработан математический аппарат, основу которого составляют обозначения, аксиомы, утверждения. А на базе уже этого аппарата развивается дальнейшая теория, доказываются теоремы и выводятся определенные правила.

Наука математика

Например, в математическом анализе используются такие понятия, как бесконечно малая величина, дифференциал, функция. Алгебра оперирует понятиями множество, группа, кольцо и т.д. Дифференциальные уравнения работают с производной и интегралом. Таким образом, видно, что теоретическая математика разрабатывает некий понятийный аппарат. Английский математик Годфри Харди говорил, что чистая математика не приносит никакой практической пользы.

Прикладная математика

Прикладная математика является частью математики. Если говорить обычным языком, прикладная математика – это математика, которая используется на практике. Прикладная математика изучает и разрабатывает способы применения теоретической математики в других дисциплинах. Если вернуться к словам математика Харди, то в отличие от чистой математики, прикладная математика приносит практическую пользу.

Прикладная математика

Разделы прикладной математики

  1. Численные методы.
  2. Математическая физика.
  3. Программирование.
  4. Оптимизация вычислений.
  5. Теория игр.
  6. Криптография.
  7. Теория оптимального управления.
  8. Биоматематика.
  9. Биоинформатика и др.

Предметом исследования прикладной математики является применение теоретических математических методов чистой математики в других науках. Например, строятся экономические модели и с помощью методов теории оптимального управления вырабатываются наилучшие управленческие решения.

Использование прикладной математики

В физике или химии для проведения каких-либо экспериментов или опытов, не всегда представляется возможным провести испытания на реальном объекте. Поэтому строится его модель. Модель – это уменьшенная или увеличенная копия реального объекта, которая имеет точно такие же свойства.

Модели бывают математическими. Модель может быть создана и на компьютере с помощью графических редакторов. Моделирование разных физических или химических процессов заканчивается решением с использованием численных методов.

Криптография – это наука, которая занимается шифрованием. В шифровании используются различные математические методы и алгоритмы.

Таким образом, из вышеприведенного понятно, что и чистая математика, и прикладная математика использует одни и те же методы. Но чистая математика использует эти методы для дальнейшего развития теории, а прикладная математика использует математические методы и теорию чистой математики для того, чтобы можно было решать реальные задачи в физике, химии, биологии, статистике, экономике и в других науках.

Арифметическая прогрессия — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 31 июля 2019; проверки требуют 20 правок. Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 31 июля 2019; проверки требуют 20 правок. У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.

Арифмети́ческая прогрессия — числовая последовательность вида

a1, a1+d, a1+2d, …, a1+(n−1)d, …{\displaystyle a_{1},\ a_{1}+d,\ a_{1}+2d,\ \ldots ,\ a_{1}+(n-1)d,\ \ldots },

то есть последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа d{\displaystyle d} (шага, или разности прогрессии):

an=an−1+d{\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d\quad }

Любой (n-й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

an=a1+(n−1)d{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При d>0{\displaystyle d>0} она является возрастающей, а при d<0{\displaystyle d<0} — убывающей. Если d=0{\displaystyle d=0}, то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения an+1−an=d{\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=d} для членов арифметической прогрессии.

Общий член арифметической прогрессии[править | править код]

Член арифметической прогрессии с номером n{\displaystyle n} может быть найден по формуле

an=a1+(n−1)d{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}
где a1{\displaystyle a_{1}} — первый член прогрессии, d{\displaystyle d} — её разность.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии[править | править код]

Последовательность a1,a2,a3,…{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots } есть арифметическая прогрессия ⇔{\displaystyle \Leftrightarrow } для любого её элемента выполняется условие an=an−1+an+12,n⩾2{\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}},n\geqslant 2}.

Доказательство
Необходимость:

Поскольку a1,a2,a3,…{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots } — арифметическая прогрессия, то для n⩾2{\displaystyle n\geqslant 2} выполняются соотношения:

an=an−1+d{\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d}

an=an+1−d{\displaystyle a_{n}=a_{n+1}-d}.

Сложив эти равенства и разделив обе части на 2, получим an=an−1+an+12{\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}}.

Достаточность:

Имеем, что для каждого элемента последовательности, начиная со второго, выполняется an=an−1+an+12{\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}}. Следует показать, что эта последовательность есть арифметическая прогрессия. Преобразуем эту формулу к виду an+1−an=an−an−1{\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=a_{n}-a_{n-1}}. Поскольку соотношения верны при всех n⩾2{\displaystyle n\geqslant 2}, с помощью математической индукции покажем, что a2−a1=a3−a2=…=an−an−1=an+1−an{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{n}-a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n}}.

База индукции (n=2){\displaystyle (n=2)} :

a2−a1=a3−a2{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}} — утверждение истинно.

Переход индукции:

Пусть наше утверждение верно при n=k{\displaystyle n=k}, то есть a2−a1=a3−a2=…=ak−ak−1=ak+1−ak{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{k}-a_{k-1}=a_{k+1}-a_{k}}. Докажем истинность утверждения при n=k+1{\displaystyle n=k+1}:

ak+1−ak=ak+2−ak+1{\displaystyle a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}}

Но по предположению индукции следует, что a2−a1=a3−a2=…=ak−ak−1=ak+1−ak{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{k}-a_{k-1}=a_{k+1}-a_{k}}. Получаем, что a2−a1=a3−a2=…=ak−ak−1=ak+1−ak=ak+2−ak+1{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{k}-a_{k-1}=a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}}

Итак, утверждение верно и при n=k+1{\displaystyle n=k+1}. Это значит, что an=an−1+an+12,n⩾2⇒a2−a1=a3−a2=…=an−an−1=an+1−an{\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}},n\geqslant 2\Rightarrow a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{n}-a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n}}.

Обозначим эти разности через d{\displaystyle d}. Итак, a2−a1=a3−a2=…=an−an−1=an+1−an=d{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{n}-a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n}=d}, а отсюда имеем an+1=an+d{\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+d} для n∈N{\displaystyle n\in \mathbb {N} }. Поскольку для членов последовательности a1,a2,a3,…{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots } выполняется соотношение an+1=an+d{\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+d}, то это есть арифметическая прогрессия.

Сумма первых n{\displaystyle n} членов арифметической прогрессии[править | править код]

Сумма первых n{\displaystyle n} членов арифметической прогрессии Sn=∑i=1nai=a1+a2+…+an{\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}} может быть найдена по формулам

Sn=a1+an2⋅n{\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n} , где a1{\displaystyle a_{1}} — первый член прогрессии, an{\displaystyle a_{n}} — член с номером n{\displaystyle n}, n{\displaystyle n} — количество суммируемых членов.
Sn=a1+an2⋅(an−a1a2−a1+1){\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot ({\frac {a_{n}-a_{1}}{a_{2}-a_{1}}}+1)} — где a1{\displaystyle a_{1}} — первый член прогрессии, a2{\displaystyle a_{2}} — второй член прогрессии ,an{\displaystyle ,a_{n}} — член с номером n{\displaystyle n}.
Sn=2a1+d(n−1)2⋅n{\displaystyle S_{n}={\frac {2a_{1}+d(n-1)}{2}}\cdot n} , где a1{\displaystyle a_{1}} — первый член прогрессии, d{\displaystyle d} — разность прогрессии, n{\displaystyle n} — количество суммируемых членов.
Доказательство
Запишем сумму двумя способами:

Sn=a1+a2+a3+…+an−2+an−1+an{\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n}}

Sn=an+an−1+an−2+…+a3+a2+a1{\displaystyle S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+a_{n-2}+\ldots +a_{3}+a_{2}+a_{1}} — та же сумма, только слагаемые идут в обратном порядке.

Теперь сложим оба равенства, последовательно складывая в правой части слагаемые, которые стоят на одной вертикали:

2Sn=(a1+an)+(a2+an−1)+(a3+an−2)+…+(an−2+a3)+(an−1+a2)+(an+a1){\displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+(a_{3}+a_{n-2})+\ldots +(a_{n-2}+a_{3})+(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1})}

Покажем, что все слагаемые (все скобки) полученной суммы равны между собой. В общем виде каждое слагаемое можно подать в виде ai+an−i+1,i=1,2,…,n{\displaystyle a_{i}+a_{n-i+1},i=1,2,\ldots ,n}. Воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии:

ai+an−i+1=a1+(i−1)d+a1+(n−i+1−1)d=2a1+(n−1)d,i=1,2,…,n{\displaystyle a_{i}+a_{n-i+1}=a_{1}+(i-1)d+a_{1}+(n-i+1-1)d=2a_{1}+(n-1)d,i=1,2,\ldots ,n}

Получили, что каждое слагаемое не зависит от i{\displaystyle i} и равно 2a1+(n−1)d{\displaystyle 2a_{1}+(n-1)d}. В частности, a1+an=2a1+(n−1)d{\displaystyle a_{1}+a_{n}=2a_{1}+(n-1)d}. Поскольку таких слагаемых n{\displaystyle n}, то

2Sn=(a1+an)⋅n⇒Sn=a1+an2⋅n{\displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})\cdot n\Rightarrow S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n}

Третья формула для суммы получается подстановкой 2a1+(n−1)d{\displaystyle 2a_{1}+(n-1)d} вместо a1+an{\displaystyle a_{1}+a_{n}}. Что и так непосредственно следует из выражения для общего члена.

Замечание:

Вместо a1+an{\displaystyle a_{1}+a_{n}} в первой формуле для суммы можно взять любое из других слагаемых ai+an−i+1,i=2,3,…,n{\displaystyle a_{i}+a_{n-i+1},i=2,3,\ldots ,n}, так как они все равны между собой.

Сходимость арифметической прогрессии[править | править код]

Арифметическая прогрессия a1,a2,a3,…{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots } расходится при d≠0{\displaystyle d\neq 0} и сходится при d=0{\displaystyle d=0}. Причём

limn→∞an={+∞, d>0−∞, d<0a1, d=0{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\left\{{\begin{matrix}+\infty ,\ d>0\\-\infty ,\ d<0\\a_{1},\ d=0\end{matrix}}\right.}
Доказательство
Записав выражение для общего члена и исследуя предел limn→∞(a1+(n−1)d){\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }(a_{1}+(n-1)d)}, получаем искомый результат.

Связь между арифметической и геометрической прогрессиями[править | править код]

Пусть a1,a2,a3,…{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots } — арифметическая прогрессия с разностью d{\displaystyle d} и число a>0{\displaystyle a>0}. Тогда последовательность вида aa1,aa2,aa3,…{\displaystyle a^{a_{1}},a^{a_{2}},a^{a_{3}},\ldots } есть геометрическая прогрессия со знаменателем ad{\displaystyle a^{d}}.

Доказательство
Проверим характеристическое свойство для образованной геометрической прогрессии:
aan−1⋅aan+1=aan,n⩾2{\displaystyle {\sqrt {a^{a_{n-1}}\cdot a^{a_{n+1}}}}=a^{a_{n}},n\geqslant 2}

Воспользуемся выражением для общего члена арифметической прогрессии:

aan−1⋅a

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *