Математика онлайн: Обучение и практика бесплатно
Математика онлайн для начальной школы
Наш проект Математика онлайн поможет Вашему ребенку лучше усвоить а укрепить знания по математике. Математика Онлайн разработана для учеников начальных школ.
Задачи и примеры по математике расчитаны на ученико срених школ начальных классов. Задачи включают в себя счет до 100, таблицу умножения и деления, задачи с картинками и основы действий с дробями.
Математика онлайн состоит из 5 уровней сложности по 9 виду задач в каждом уровне. Каждый вид задач генерируется случайным образом.
После практики решения задач и примеров, можете проверить свои знания посетив раздел тестов.
После прохождения теста по математике, Вам будет выставлена оценка.
Тест памяти
Определите уровень Вашей визуальной памяти, ответив на вопросы нашего бесплатного психологического онлайн теста
Тест: Соседние страны
Пройдите тест на знание соседних государств. Узнайте какие страны граничат со страной, куда планируете поехать на отдых
Тест по Флагам стран
Чем больше количесво вопросов, тем выше точность результата теста!
Тест пророка
Попробуйте пройти наш тест а узнайте больше о своих способностях!
Бесплатный IQ тест
IQ тест длится 30 минут и содержит 40 простых вопросов !
Тест по дорожным знакам
База данных содержит 285 дорожных знаков РФ, утвержденных правилами дорожного движения (ПДД)
IQ тест
У нас Вы можете пройти тест на IQ (тест на интеллект) бесплатно!
Материки и континенты
Вы знаете где лежит Ваша страна? А на какой континент собираетесь поехать на отдых?
Тест по географии
Тест на знание государств мира по флагам, расположению, площади, рекам, горам, морям, столицам, городам, населению, валютам
Free games online · Eng · CZ Hry · Игры онлайн бесплатно · Иконка на Ваш Web · Книга посетителей
· RoboStav
Copyright (c) 2020 by Topglobus.ru. Все права защищены!
Курсы по математике онлайн
Согласно статистике, собранной аналитиками TutorOnline, до 80 процентов школьников испытывают серьезные трудности при изучении математики. Именно этот предмет был назван учениками «самым трудным», «самым непонятным» и даже «самым неинтересным». Выводы специалистов неутешительны: школьники боятся математики, испытывают огромный психологический дискомфорт на каждом уроке, а на фоне переживаемого годами стресса у некоторых учеников формируются серьезные комплексы и даже неврозы. Проблема усложняется тем фактом, что математика является одним из обязательных предметов ЕГЭ и, кроме того, именно на этой дисциплине «завязаны» многие престижные факультеты, обучаться на которых мечтают сотни тысяч школьников по всей стране.Без математики никуда, но что делать, если не получается? Если уравнение не решается, ответ не сходится и формула не применяется? Для оправдания математических неудач мы часто прикрываемся теорией о каком-то нематематическом складе ума. Мол, не дано и все тут! Однако опытные педагоги в один голос утверждают:
Именно для того, чтобы каждый без исключения ученик имел шанс понять и полюбить математику, лучшие специалисты TutorOnline разработали свои КУРСЫ.
Чем курсы по математике отличаются от обычных занятий с онлайн-репетитором?
- Заранее разработанная преподавателем программа подготовки, которая впоследствии корректируется в соответствии с индивидуальными особенностями каждого ученика (с тематическим планом можно ознакомиться до момента принятия решения).
- Фиксированная по времени программа подготовки, что позволяет планировать расписание других активностей, прогнозировать результат и видеть реальный прогресс в каждый момент времени.
- Исключение из подготовительной работы долгого и мучительного процесса выбора репетитора (курсы разрабатываются лучшими специалистами, уровень подготовки и качество работы которых гарантируются проектом).
- Более низкая цена за курс по сравнению с одиночными занятиями.
- Уникальный формат работы: индивидуальные курсы – общепризнанный лидер среди учебных форматов (главный критерий – эффективность).
Чтобы знать математику, не нужно быть гением. Этот предмет может быть по-настоящему увлекательным, а процесс обучения может приносить удовольствие. Мы создали курсы по математике именно для того, чтобы эти простые тезисы стали аксиомами для каждого ученика и родителя.
| Пройти тест | 2-3 классы. Умножение и деление | Гилмуллина Ильсояр Габдраисовна, МБОУ «Бехтеревская СОШ», Татарстан. |
| Пройти тест | 2-3 классы. Задачи на движение | Сорокина Любовь Анатольевна, cредняя школа № 17, с. Шира, Республика Хакасия |
| Пройти тест | 4 класс. Курс математики начальной школы | Смыкалова Елена Владимировна, ФМЛ № 366, Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 4 класс. Математика, I полугодие | Староверова Валентина Васильевна, ГБОУ школа № 212 г. Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 4 класс. Единицы измерения | Чижова Яна Михайловна. Средняя школа № 849, г. Москва. |
| Пройти тест | 4-7 классы. Графы | Шагай Мария Алексеевна, магистрант РГПУ им. А. И. Герцена, Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 4-7 классы. Множества | Тубянская Екатерина Павловна, магистрант РГПУ им. А. И. Герцена, Санкт-Петербург, учитель математики ГБОУ СОШ № 635 |
| Пройти тест | 5 класс. Курс математики | Смыкалова Елена Владимировна, ФМЛ № 366, Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 5 класс. Нумерация натуральных чисел | Ямашева Лариса Николаевна, МБОУ «Верхнешипкинская СОШ», Татарстан |
| Пройти тест | 5 класс. Десятичные дроби | Рогожникова Анна Ивановна, Заинская СОШ № 6, Татарстан |
| Пройти тест | 5 класс. Сложение и вычитание натуральных чисел | Ямашева Лариса Николаевна, МБОУ «Верхнешипкинская СОШ», Татарстан |
| Пройти тест | 5 класс. Обыкновенные дроби | Суханова Татьяна Николаевна, Барабо-Юдинская средняя школа, Новосибирская область. |
| Пройти тест | 5 класс. Умножение и деление натуральных чисел | Цыгер Ольга Викторовна, МБОУ «СОШ № 87», Томская обл. |
| Пройти тест | 5 класс. Смешанные числа | Золотова Ольга Александровна, средняя школа № 30 г. Тамбова |
| Пройти тест | 5 класс. Уравнения | Васина Галина Александровна, Болдовская средняя школа, Республика Мордовия |
| Пройти тест | 5 класс. Задачи на сложение и вычитание натуральных чисел | Новикова Ольга Александровна, «Щеколдинская ООШ», д. Щеколдино Тверской области. |
| Пройти тест | 5 класс. Прямоугольный параллелепипед | Вершинина Анна Александровна, магистрант РГПУ им. А. И. Герцена, Санкт-Петербург, учитель математики ГБОУ СОШ № 553 |
| Пройти тест | 5-6 классы. Проценты | Мирончук Ирина Степановна, СОШ № 230, г. Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 5-6 классы. Сложение и вычитание десятичных дробей | Савельева Марина Эдуардовна, СОШ № 76, г. Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 5-6 классы. Умножение и деление десятичных дробей | |
| Пройти тест | 5-6 классы. Умножение и деление обыкновенных дробей | Перевалова Елена Валентиновна, МБОУ «ООШ № 5», г. Краснотурьинск |
| Пройти тест | 5-6 классы. Сложение и вычитание рациональных чисел | Гаврилова Лариса Альбертовна, СОШ им. К. Иванова, Башкортостан |
| Пройти тест | 5-6 классы. Периметр и площадь | Лукьянченко Людмила Рудольфовна, средняя школа № 7, Адыгея. |
| Пройти тест | 5-6 классы. Десятичныe дроби. Перевод, сравнение | Сащенко Лада Анатольевна. СОШ № 559, Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 5-6 классы. Умножение и деление обыкновенных, смешанных и десятичных дробей | Костюк Юлия Исфандияровна, магистрант РГПУ им. А. И. Герцена, Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 5-6 классы. Математический язык. Язык и логика. | 5-6 класс, Кучеренко Александра Дмитриевна, магистрант РГПУ им. А. И. Герцена, Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 5-6 классы. Целые числа. | Гаус Надежда Павловна, магистрант РГПУ им. А. И. Герцена, Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 5-6 классы. Сюжетные задачи на движение | Петрова Алёна Викторовна, практикант РГПУ им. А. И. Герцена, Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 5-6 классы. Решение задач на движение по реке | Трубиньш Инита Андреевна, практикант РГПУ им. А. И. Герцена, Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 5-6 классы. Геометрические фигуры | Райнова Дарья Сергеевна, практикант РГПУ им. А. И. Герцена, Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 5-6 классы. Делимость | Путова Лидия Вадимовна, магистрант РГПУ им. А. И. Герцена, Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 5-6 классы. Углы и их виды. Биссектриса угла | Петропавловская Анна Андреевна, магистрант РГПУ им. А. И. Герцена, г. Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 5-6 классы. Задачи про часы | Иванова Елена Алексеевна, магистрант РГПУ им. А. И. Герцена, г. Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 5-6 классы. Математические игры | Дрояронова Виолетта Анатольевна, магистрант РГПУ им. А. И. Герцена, Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 5-6 классы. Системы счисления | Павлов Дмитрий Александрович, магистрант РГПУ им. А. И. Герцена, Санкт-Петербург, учитель математики ГБОУ «Президентский ФМЛ №239» |
| Пройти тест | 5-9 классы. Круги Эйлера-Венна | Щербина Полина Алексеевна, магистрант РГПУ им. А. И. Герцена, Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 5-10 классы. Логические задачи. Часть 1 | Гаврилова Лариса Альбертовна, средняя школа 519, г. Санкт-Петербург. |
| Пройти тест | 5-10 классы. Логические задачи. Часть 2 | Гаврилова Лариса Альбертовна, средняя школа 519, г. Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 6 класс. Курс математики | Смыкалова Елена Владимировна, ФМЛ № 366, Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 6 класс. Делимость чисел | Ямашева Лариса Николаевна, МБОУ «Верхнешипкинская СОШ», Татарстан |
| Пройти тест | 6 класс. Сложение и вычитание обыкновенных дробей | Ямашева Лариса Николаевна, МБОУ «Верхнешипкинская СОШ», Татарстан |
| Пройти тест | 6 класс. Сравнение обыкновенных дробей | Антропова Эльза Валерьевна, ГБОУ СОШ № 539, г. Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 6 класс. Умножение и деление рациональных чисел | Тюлюкина Оксана Александровна, МК ОУ СОШ № 24, Иркутская область. |
| Пройти тест | 6 класс. Рациональные числа | Сычева Оксана Ивановна, МБОУ СОШ № 9 г. Усть-Илимска, Иркутской обл. |
| Пройти тест | 6 класс. Смешанные числа. Сложение и вычитание смешанных чисел | Елисеева Ольга Борисовна, ГБОУ СШ № 242, г. Санкт-Петербург. |
| Пройти тест | 6 класс. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное | Бугаева Марина Владиславовна, СОШ № 62, г. Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 6 класс. Координаты на плоскости | Некрасова Светлана Юрьевна, средняя школа с. Козьмино, Архангельская область. |
| Пройти тест | 6 класс. Уравнения с одним неизвестным | Рослякова Ирина Анатольевна, Средняя школа № 14, г. Братск |
| Пройти тест | 6 класс. Диаграммы и графики | Белова Ирина Александровна. Гимназия № 13, г. Алексин Тульской области. |
| Пройти тест | 6 класс. Положительные и отрицательные числа. Координатная прямая | Раджабова Рамзия Джураевна, МБОУ Поручиковская ООШ Заинского муниципального района Республики Татарстан |
| Пройти тест | 6 класс. Модуль числа | Федосеева Вероника Юрьевна, практикант РГПУ им. А. И. Герцена, Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 6-7 классы. Периодические дроби | Достовалова Анастасия, практикант РГПУ им. А. И. Герцена, Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 6-9 классы. Отношения и пропорции | Иванова Ирина Леонидовна, школа № 149, Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 7 класс. Одночлены и многочлены | Колесова Алла Олеговна, МОУ СОШ «Основная общеобразовательная школа № 9», г. Междуреченск |
| Пройти тест | 7 класс. Разложение многочленов на множители | Удалова Елена Михайловна, ГБОУ СОШ № 579, Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 7 класс. Соотношения между сторонами и углами треугольника | Пономарева Елена Владимировна, ГБОУ СОШ № 156 с углубленным изучением информатики Калининского района г. Санкт-Петербурга |
| Пройти тест | 7 класс. Свойства степени с натуральным показателем | Шелест Екатерина Юльевна, Андреевская общеобразовательная школа, Днепропетровская область |
| Пройти тест | 7 класс. Линейная функция и ее график | Соколова Ольга Евгеньевна, г. Кашира Московской области |
| Пройти тест | 7 класс. Треугольники | Нуранеева Гульшат Касимовна, «Чистопольская СОШ № 5», Татарстан |
| Пройти тест | 7 класс. Параллельные прямые | Толкачева Елена Сергеевна, Гимназия № 13 г. Алексина Тульской области |
| Пройти тест | 7 класс. Начальные геометрические сведения | Напалкова Татьяна Львовна, СОШ № 4 Алтайского края, г. Горняк |
| Пройти тест | 7 класс. Формулы сокращенного умножения | Рогожникова Анна Ивановна, школа № 6, г. Заинск |
| Пройти тест | 7 класс. Алгебра. Итоговый тест | Бугаева Марина Владиславовна, СОШ № 62, г. Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 7 класс. Формулы сокращенного умножения, разложение многочленов на множители | Ишмакова Ирина Евгеньевна. Гимназия «Альма Матер», Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 7 класс. Формулы сокращенного умножения. | Бильчугова Татьяна Сергеевна, магистрант РГПУ им. А. И. Герцена, Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 7 класс. Прямоугольные треугольники | Буйволова Кристина Сергеевна, магистрант РГПУ им. А. И. Герцена, Санкт-Петербург, учитель математики ГБОУ СОШ № 625 |
| Пройти тест | 7 класс. Деление с остатком и сравнение по модулю | Ильичева Светлана Вениаминовна, магистрант РГПУ им. А. И. Герцена, Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 7 класс. Треугольник и его элементы | Левина Алина Игоревна, магистрант РГПУ им. А. И. Герцена, Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 7 класс. Графики движения | Гаврикова Татьяна Анатольевна, магистрант РГПУ им. А. И. Герцена, Санкт-Петербург, учитель математики ГБОУ СОШ № 594 |
| Пройти тест | 7-8 классы. Задачи на движение по окружности | Лопатина Анна Сергеевна, магистрант РГПУ им. А. И. Герцена, Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 7-9 классы. Уравнения с одним неизвестным, сводящиеся к линейным | Иванова Ирина Леонидовна, школа № 149, Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 7-9 классы. Уравнения с одним неизвестным | Павлова Наталия Николаевна, СОШ № 43, г. Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 7-9 классы. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными | Гаврилова Лариса Альбертовна, СОШ им. К. Иванова, Башкортостан. |
| Пройти тест | 7-9 классы. Треугольники | Букина Олеся Алексеевна, Мешалкина Ольга Геннадьевна, МБОУ Лицей № 2, г. Барнаул |
| Пройти тест | 7-9 классы. Формулы сокращенного умножения | Бажанова Ирина Леонидовна, «Рассветовская общеобразовательная школа», п. Рассвет, Лодейнопольский район |
| Пройти тест | 7-9 классы. Простейшие квадратные уравнения | Трофимова Дарья Юрьевна, магистрант РГПУ им. А. И. Герцена, Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 7-9 классы. Системы нелинейных уравнений. | Гаврилова Лариса Альбертовна, средняя школа 519, г. Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 8 класс. Квадратные корни | Чикрин Евгений Александрович, лицей № 83 г. Казани |
| Пройти тест | 8 класс. Квадратные уравнения | Семенова Виктория Викторовна, ГБОУ Лицей № 226, Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 8 класс. Четырехугольники | Осипова Алла Владимировна, ГБОУ лицей № 373 «Экономический лицей», Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 8 класс. Окружность | Афанасьева Валентина Николаевна, «Альшеевская СОШ», Татарстан |
| Пройти тест | 8 класс. Числовые неравенства и их свойства | Середа Светлана Петровна, Верх-Чуманская школа, Алтайский край |
| Пройти тест | 8 класс. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника | Цыбульская Татьяна Дмитриевна, ГБОУ СОШ № 47, г. Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 8 класс. Теорема Пифагора | Цыбульская Татьяна Дмитриевна, средняя школа N 47, Санкт-Петербург. |
| Пройти тест | 8 класс. Площадь | Баталова Оксана Владимировна, «Сингапайская СОШ», г. Сингапай, Ханты-Мансийский автономный округ |
| Пройти тест | 8 класс. Подобные треугольники | Ладыгина Елена Арсеньевна, средняя школа № 164, г. Санкт-Петербург. |
| Пройти тест | 8 класс. Модуль действительного числа | Григорьева Ольга Васильевна, Судиславская СОШ Судиславского муниципального района Костромской области |
| Пройти тест | 8 класс. Степень с целым показателем. Стандартный вид числа. | Мамонова Виктория Викторовна, МБОУ ООШ № 6 н/п Щукозеро Мурманской обл. |
| Пройти тест | 8 класс. Площадь многоугольников | Джавадян Рузанна Рубеновна, магистрант РГПУ им. А. И. Герцена, Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 8 класс. Теорема Виета. | Николаева Алина Дмитриевна, магистрант РГПУ им. А. И. Герцена, Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 8 класс. Линейные неравенства. | Удалова Елена Михайловна, ГБОУ СОШ 579 г. Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 8 класс. Средняя линия треугольника | Рухлядко Валентина Васильевна, МБОУ Трубчевская гимназия им. М. Т. Калашникова, г. Трубчевск Брянской обл. |
| Пройти тест | 8-9 классы. Алгебраические дроби | Иванова Ирина Леонидовна, школа № 149, Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 8-9 классы. Квадратичная функция | Шишорик Елена Сергеевна, МОУ «Сертоловская СОШ № 2», Ленинградская область |
| Пройти тест | 8-9 классы. Площади четырёхугольников | Ковалева Ольга Александровна, КГУ Комплекс школа — детский сад № 33 города Караганды Казахстан |
| Пройти тест | 8-9 классы. Квадратные корни | Нестеренко Галина Ивановна, СОШ № 603, г. Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 8-9 классы. Квадратные неравенства | Данилович Татьяна Александровна, СОШ № 18, г. Апшеронск |
| Пройти тест | 8-9 классы. Многоугольники. | Санников Руслан Андреевич, практикант РГПУ им. А. И. Герцена, Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 8-9 классы. Комбинаторика | Боронина Анастасия, магистрант РГПУ им. А. И. Герцена, Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 8-9 классы. Векторы | Любимова Виктория Викторовна, ГБОУ СОШ № 454, г. Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 8-11 классы. Центральные и вписанные углы | Тихомирова Татьяна Борисовна, СОШ № 277, г. Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 8-11 классы. Вычисление площадей фигур на клетчатой бумаге | Туранова Ирина Николаевна, ГБОУ гимназия № 628, г. Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 9 класс. Неравенства | Воробьёв Василий Васильевич, лицей г. Калачинск Омской области |
| Пройти тест | 9 класс. Геометрическая прогрессия | Гриценко Давид, школа № 147 г. Еревана |
| Пройти тест | 9 класс. Свойства степени с рациональным показателем | Карасёва Вера Васильевна, МБОУ «СОШ № 38» г. Чебоксары |
| Пройти тест | 9 класс. Координатный метод | Мелихова Анна Геннадьевна, школа № 671, Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 9 класс. Элементы теории вероятностей | Любимова Виктория Сергеевна, ГБОУ школа № 454, Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 9 класс. Площадь | Букина Олеся Алексеевна, Мешалкина Ольга Геннадьевна, МБОУ Лицей № 2, г. Барнаул |
| Пройти тест | 9 класс. Площади фигур | Попова Лариса Георгиевна, гимназия № 17, г. Кемерово |
| Пройти тест | 9 класс. Скалярное произведение векторов | Шелест Екатерина Юльевна, Андреевская общеобразовательная школа, Днепропетровская область |
| Пройти тест | 9 класс. Правильные многоугольники | Прокофьева Юлия Викторовна, школа № 326, г. Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 9 класс. Cтепенная функция | Новожилова Марина Алексеевна, «Невский колледж имени А. Г. Неболсина», г. Санкт-Петербург. |
| Пройти тест | 9 класс. Алгебраические уравнения (повышенной сложности) | Кузнецова Наталья Викторовна, Первомайская средняя школа, п. Первомайский Воронежской области |
| Пройти тест | 9 класс. Подобные треугольники | Кузнецова Наталья Викторовна, Первомайская средняя школа, п. Первомайский Воронежской области |
| Пройти тест | 9 класс. Векторы на плоскости | Грищенко Игорь Михайлович, Областная специализированная школа-лицей для одарённых детей ЛОРД, г. Петропавловск, Республика Казахстан |
| Пройти тест | 9 класс. Длина окружности и площадь круга | Павленко Ольга Юрьевна, г. Санкт-Петербург, средняя общеобразовательная школа при Посольстве России в Румынии |
| Пройти тест | 9 класс. Решение треугольников | Арчибасова Елена Михайловна, гимназия № 1 г. Новосибирска |
| Пройти тест | 9 класс. Арифметическая прогрессия | Михалева Елена Александровна, гимназия № 13, г. Алексин, Тульская область |
| Пройти тест | 9 класс. Краткое повторение курса математики 9 класса | Рогожникова Анна Ивановна, МБОУ Заинская средняя общеобразовательная школа № 6 |
| Пройти тест | 9 класс. Векторы. | Лыс Анна Николаевна, средняя школа № 22 г. Коврова |
| Пройти тест | 9 класс. Векторы. Сложение и вычитание векторов | Данькова Валентина Николаевна, средняя школа № 2 г. Азова Ростовской области |
| Пройти тест | 9 класс. Углы в планиметрии. | Симоненко Яна Викторовна, магистрант РГПУ им. А. И. Герцена, Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 9 класс. Вычисления и алгебраические выражения | Напрушкина Елена Сергеевна, Средняя школа № 136, г. Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 9 класс. Векторы | Леонидов Артём Иванович, магистрант РГПУ им. А. И. Герцена, Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 9 класс. Начала теории вероятностей | Новик Дмитрий Вадимович, магистрант РГПУ им. А. И. Герцена, Санкт-Петербург, учитель математики ГБОУ СОШ № 594 |
| Пройти тест | 9 класс. Теория вероятностей | Гах Елена Викторовна, учитель математики ГБОУ СОШ № 136 Калининского района г. Санкт- Петербурга |
| Пройти тест | 9-11 классы. Проценты. Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ | Букина Олеся Алексеевна, Мешалкина Ольга Геннадьевна, МБОУ Лицей № 2, г. Барнаул |
| Пройти тест | 9-11 классы. Элементы комбинаторики | Судакова Анна Григорьевна, магистрант РГПУ им. А. И. Герцена, Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 10-11 классы. Преобразование выражений, содержащих тригонометрические и обратные тригонометрические функции | Воеводина Ольга Анатольевна, МАОУ «Лицей № 62», г. Саратов |
| Пройти тест | 10-11 классы. Метод координат в пространстве. Часть 1 | Бударина Анна Юрьевна, Волкова Виктория Александровна, МБОУ СОШ им. А. М. Горького, МБОУ СОШ им. С. М. Кирова, г. Карачев, Брянская обл. |
| Пройти тест | 10-11 классы. Метод координат в пространстве. Часть 2 | Бударина Анна Юрьевна, Волкова Виктория Александровна, МБОУ СОШ им. А. М. Горького, МБОУ СОШ им. С. М. Кирова, г. Карачев, Брянская обл. |
| Пройти тест | 10-11 классы. Логарифмы. Свойства логарифма. | Волчкова Татьяна Николаевна, МБОУ Краснополянская СОШ № 32, с. Красная Поляна Ростовской области |
| Пройти тест | 10-11 классы. Решение неравенств методом интервалов | Возная Оксана Анатольевна, Урожайновская школа, Симферопольский район, Республика Крым |
| Пройти тест | 10-11 классы. Показательные уравнения. | Любимова Виктория Викторовна, ГБОУ СОШ № 454, г. Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 11 класс. Итоговый тест | Викулина Елена Владимировна, Колледж «Красносельский», Санкт-Петербург |
| Пройти тест | 11 класс. Логарифмы и их свойства | Воеводина Ольга Анатольевна, МАОУ «Лицей № 62» г. Саратов |
| Пройти тест | 11 класс. Исследование логарифмических функций | Михалева Елена Александровна, гимназия № 13, г. Алексин, Тульская область |
| Пройти тест | 11 класс. Дифференцирование степенной и линейной функций | Мирончук Ирина Степановна, ГБОУ СОШ № 230, г. Санкт-Петербург |
Обзорные онлайн-курсы по математике / Stepik.org corporate blog / Habr
Часто на собеседованиях в магистратуру СПбАУ или CS центр ребята затрудняются ответить на вопросы об элементарных понятиях как из классической, так и из дискретной математики. А эти знания требуются для освоения курсов алгоритмов, машинного обучения и прочих Computer Science дисциплин. Чтобы облегчить подготовку, Академический университет совместно с Computer Science Center этой весной запускают два онлайн-курса:- Ликбез по дискретной математике. Преподаватель — А.В. Омельченко (СПбАУ РАН).
- Введение в математический анализ. Преподаватель — А.И. Храбров (СПбГУ, СПбАУ РАН, CS центр).
Цель этих курсов — рассмотреть самые элементарные понятия дискретной и классической математики. Они не нацелены на глубокое изучение вышеупомянутых наук, однако помогут получить необходимую базу и подготовиться к освоению курсов, требующих знания математических основ, а также научиться отвечать на математические вопросы на собеседованиях.
Курсы размещены на дружественной платформе Stepic.
Ликбез по дискретной математике
Курс стартует в первый понедельник марта. Преподаватель — Александр Владимирович Омельченко, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой математических и информационных технологий СПбАУ.
Курс разбит на четыре основные части:
- Линейная алгебра
- Комбинаторика
- Теория графов
- Дискретная вероятность
Цель первой части — напомнить самые фундаментальные понятия линейной алгебры и показать (на большом количестве примеров), как эти понятия помогают при решении конкретных задач. Во второй части будет рассказано об основных понятиях элементарной (ее часто называют школьной) комбинаторики, и объяснены общие подходы к решению простейших (но очень часто встречающихся на практике) комбинаторных задач. В разделе, посвящённом графам, пойдёт речь о том, что же такое ориентированный или неориентированный граф, дерево, цикл, двудольный граф, паросочетание и др., а также о самых важных утверждениях и фактах из этой науки. Наконец, в совсем небольшом четвёртом разделе будет рассказано о том, что же такое дискретная вероятность и дискретная случайная величина, пойдёт разговор об условной вероятности и формуле Байеса, определении математического ожидания и дисперсии дискретной случайной величины.
Никаких особых требований к предварительной подготовке слушателей нет, материал излагается с самых основ. Курс могут слушать даже школьники, которые учатся в старших классах и хотят стать программистами.
Введение в математический анализ
Курс читает Александр Игоревич Храбров, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа СПбГУ, преподаватель Академического Университета и CS центра.
Куда в наше время без матанализа? Улыбаетесь? А вы знаете, что такое непрерывность и чем она отличается от равномерной непрерывности? А вы помните, что такое производная? Без матанализа ни численных методов, ни компьютерного зрения, ни даже теории управления изучить не получится. Поэтому (а еще потому что раз курс есть по дискретной математике, то для симметрии должен быть и по непрерывной) было принято решение создать этот курс.
Для того чтобы проектировать манипуляторы и сажать спутники на кометы, конечно, материала из этого курса будет недостаточно. Но зато у слушателя будет крепкий фундамент для получения подобных знаний в будущем.
Для освоения курса слушателям необходимо владеть школьной программой по математике, желательно в объёме физ-мат классов.
40+ сайтов по математике | Семейное Образование — Все о внешкольном образовании в России и в мире: хоумскулинг, анскулинг, альтернативные школы, индивидуальный учебный план, заочная и очно-заочная форма обучения в школе.
Основная идея – сделать ребёнка максимально самостоятельным, но при этом всё же контролируемым. Данные ресурсы больше подойдут для средних классов, хотя и для малышей тоже есть, что подобрать. Все сайты бесплатные или с бесплатной версией.
И так, программа №1 — это XtraMath. Это всего одна единственная программа, без которой у нас не обходится ни одного дня с математикой.
Суть этой программы — наработать скорость в простейших вычислениях: +,-,/,*. Для этого вы регистрируете вашего ребенка и себя, как родителя. Ребенок самостоятельно выполняет задания, а потом на почту родителям приходит подробнейший отчет об успехах. Отчёт можно смотреть и онлайн. Сайт на английском, но всё предельно понятно и просто. Можно выбирать разный режим — скорость, с которой будут подаваться примеры. Мы сначала прошли обычный, а сейчас делаем тоже самое, но быстрее. После прохождения блока ребенку выдается сертификат, который вы можете себе распечатать.
Алгоритм построения занятий
Далее, хочу рассказать об основном алгоритме, по которому строятся наши занятия дома. Здесь основной перечень сайтов, который подходит для ежедневных тренировок, связанных с освоением школьной программы по базовым темам. Мы не пользуемся ни учебниками, ни тетрадями, распечатками и пр., в равной степени, как и калькулятором.
- Новую тему мы смотрим, используя канал MathTutor на сайте Интерурок. Альтернативным вариантом (или дополнительным) подходит Академия Хана — с украинским или русским переводом. В русской версии роликов больше.
- Далее мы нарешиваем примеры для закрепления услышанного, используя тренажер на сайте Rastu. На этом же сайте найдёте и краткую информацию по теме (например формула или принцип расчета). Если пример сделан неправильно, то сверху над ним появится подсказка. Ребёнок занимается самостоятельно, так как на любом этапе видно сколько примеров решено и сколько сделано ошибок. По этому результату всегда понятно: или мы переходим к следующей подтеме, или стоит ещё порешать эту.
- Когда уже есть понимание темы, и она закреплена на тренажере, мы используем сайт ozenoknet. Этот сайт подходит именно для закрепления материала, а не для нарешивания в связи с тем, что примеров по каждому разделу не так много. Но зато там есть другие интересности: за выполненные задания ребёнок получает виртуальную коллекцию «призов» и «кубков». Они будут отражаться на его страничке в соответствующих разделах. Кроме этого здесь есть электронный журнал, где отражены все данные отдельно по каждой теме и присвоен уровень: «хорошо», «отлично» и «неплохо».
- Ну и напоследок самое приятное — это компьютерные игры на сайтах jmathpage.com и mathplayground.com. Игр необыкновенное множество и все они математические!
Перечень дополнительных ресурсов
1. Математические тренажёры
- www.mathgames.com/skills — это супер тренажёр, но требует минимальные знания английского. Мой сын от него в восторге! На личной страничке отображается вся статистика о проделанной работе: время затраченное на каждое задание, начало и конец занятий, результаты по каждой теме. Очень удобно использовать, так как выдаёт списки заданий либо по классу (наша программа немного не совпадает) либо по темам.
- www.ck12.org — ещё один тренажёр на английском. Отдельно для младшей школы, геометрия, алгебра, вычисления и пр.
- www.buzzmath.com — тренажёр на английском с очень интересной подачей заданий! Уверена вашим деткам он понравится!! На сайте указано, что задания рассчитаны на 6-9-й классы, но на мой взгляд, можно смело решать с 5-го. Сайт платный. Но если заходить как «визитор», то можно заниматься бесплатно. Единственный минус — ваши результаты сохраняться не будут.
- eu.ixl.com — это отличный сайт, тоже на английском. Этот сайт требует платной регистрации, но если не регистрироваться, то вы ежедневно можете проходить на нём ограниченное число заданий.
- www.splashmath.com — очень интересный тренажёр с мультяшной анимацией для 1-5 классов на английском языке. Уверена, что с ним математику полюбит любой ребёнок! Сайт платный, но есть и открытая версия, которая позволяет без оплаты решать по 20 вопросов ежедневно. Кроме этого, после каждого занятия вашего чада, с сайта на ваш электронный адрес будет приходить подробный отчёт о проделанной работе: с чем дитё отлично справилось, а по каким темам есть трудности.
- www.adaptedmind.com — очень весёленький тренажёр с «чудищами», участвующими в решении задачек. Сайт на английском языке для 1-6 классов.
- www.khanacademy.org/math — тренажёры от Академии Хана. На английском языке. Для того чтобы здесь заниматься, необходимо пройти небольшой тест, который определит, над какими темами стоит работать.
- www.tenmarks.com — тренажёр на английском языке с предварительным тестированием.
- www.yaklas.com.ua — отличный сайт, но только с 7-го класса.
Можно выбрать как украинский язык, так и русский. Есть много разных предметов, кроме математики. Каждая тема делится на теоретическую часть и практическую. Бесплатно можно делать только несколько заданий. - bitclass.ru/math — сайт на русском языке. Похож, в общем, на предыдущий, но охватывает темы начиная с 5-го.
- school-assistant.ru/?class=matematika — сайт на русском языке. Сначала идёт теория, а после — несколько задач на закрепление материала.
- www.knewton.com/learn — тренажёр на английском, интересная система, построенная на анализе индивидуальной успеваемости: в зависимости от допущенных ошибок — отсылает к тому или иному видео с теорией. К сожалению, большинство заданий рассчитаны на 7-й класс и старше.
- www.uchportal.ru/load/29-1-2 — тренажеры на русском языке (предварительно скачать по указанным ссылкам)
- www.kokch.kts.ru/math/index.html — тесты на русском языке
2. Генераторы случайных примеров
- egeurok.ru — на русском языке. Сначала формируете список заданий, потом ребёнок решает, а после нажимаете ответы и сверяете с ответами вашего чада. Можно распечатывать, а можно и не печатать — кому как удобно.
- www.math-aids.com — аналогичный вариант на английском языке.
- www.mathinenglish.com/menuWorksheets.php — примеры на сайте с английским языком.
- www.math-drills.com/ — отличный сайт на английском.
- www.worksheetworks.com/math.html — примеры формируете сами исходя из установленных вами ограничений.
- www.bymath.net — сайт на русском языке. Много теории. По каждой теме есть задания.
3. Математические игры онлайн
На русском языке:
На английском языке:
4. Занимательная математика
Сайты на русском языке.
- www.problems.ru — сайт для продвинутых математиков — разобранные решения олимпиад и пр.
- domzadanie.ru — много интересных задачек.
- nazva.net/rubric/all — отличная копилка для тех, кто любит думать.
5. Программы помощники
- loviotvet.ru — помогает решать примеры и уравнения с отображением этапов решения, производит наглядно вычисления «в столбик». Сайт на русском языке.
- www.nigma.ru/index.php?t=math — поможет с уравнениями. Сайт на русском языке.
- math-prosto.ru — охватывает всего несколько тем как онлайн-решатель, но зато довольно доступно подаётся теория. Сайт на русском языке.
- www.mathway.com — проверит правильность составления уравнений. Англоязычный ресурс, но всё очень просто и понятно.
- znanija.com/predmet/matematika — русскоязычный сайт, на котором вы можете задать любой интересующий вас вопрос и получить ответ онлайн от помощника. Есть возможность и для других предметов.
6. Списки полезных ссылок (на английском языке)
Надеюсь, что ваши ежедневные занятия математикой теперь будут ещё увлекательнее!
Источник
Репетитор по математике онлайн
Укажите ваш часовой пояс:Выберите из списка(UTC-12:00) Линия перемены дат(UTC-11:00) Время в формате UTC -11(UTC-10:00) Алеутские острова(UTC-10:00) Гавайи(UTC-09:30) Маркизские острова(UTC-09:00) Аляска(UTC-09:00) Время в формате UTC -09(UTC-08:00) Нижняя Калифорния(UTC-08:00) Время в формате UTC -08(UTC-08:00) Тихоокеанское время (США и Канада)(UTC-07:00) Аризона(UTC-07:00) Ла-Пас, Мазатлан, Чихуахуа(UTC-07:00) Горное время (США и Канада)(UTC-06:00) Центральная Америка(UTC-06:00) Центральное время (США и Канада)(UTC-06:00) о. Пасхи(UTC-06:00) Гвадалахара, Мехико, Монтеррей(UTC-06:00) Саскачеван(UTC-05:00) Богота, Кито, Лима, Рио-Бранко(UTC-05:00) Четумаль(UTC-05:00) Восточное время (США и Канада)(UTC-05:00) Гаити(UTC-05:00) Гавана(UTC-05:00) Индиана (восток)(UTC-04:00) Острова Теркс и Кайкос(UTC-04:00) Асунсьон(UTC-04:00) Атлантическое время (Канада)(UTC-04:30) Каракас(UTC-04:00) Куяба(UTC-04:00) Джорджтаун, Ла-Пас, Манаус, Сан-Хуан(UTC-04:00) Сантьяго(UTC-03:30) Ньюфаундленд(UTC-03:00) Арагуаяна(UTC-03:00) Бразилия(UTC-03:00) Кайенна, Форталеза(UTC-03:00) Буэнос-Айрес(UTC-03:00) Гренландия(UTC-03:00) Монтевидео(UTC-03:00) Пунта-Аренас(UTC-03:00) Сен-Пьер и Микелон(UTC-03:00) Сальвадор(UTC-02:00) Время в формате UTC -02(UTC-02:00) Среднеатлантическое время — старое(UTC-01:00) Азорские о-ва(UTC-01:00) О-ва Зеленого Мыса(UTC) Время в формате UTC(UTC) Дублин, Лиссабон, Лондон, Эдинбург(UTC) Монровия, Рейкьявик(UTC+01:00) Сан-Томе и Принсипи(UTC+01:00) Амстердам, Берлин, Берн, Вена, Рим, Стокгольм(UTC+01:00) Белград, Братислава, Будапешт, Любляна, Прага(UTC+01:00) Брюссель, Копенгаген, Мадрид, Париж(UTC) Касабланка(UTC+01:00) Варшава, Загреб, Сараево, Скопье(UTC+01:00) Западная Центральная Африка(UTC+02:00) Амман(UTC+02:00) Афины, Бухарест(UTC+02:00) Бейрут(UTC+02:00) Каир(UTC+02:00) Восточная Европа(UTC+02:00) Дамаск(UTC+02:00) Сектор Газа, Хеврон(UTC+02:00) Хараре, Претория(UTC+02:00) Вильнюс, Киев, Рига, София, Таллин, Хельсинки(UTC+02:00) Иерусалим(UTC+02:00) Калининград (RTZ 1)(UTC+02:00) Khartoum(UTC+02:00) Триполи(UTC+01:00) Виндхук(UTC+03:00) Багдад(UTC+02:00) Стамбул(UTC+03:00) Кувейт, Эр-Рияд(UTC+03:00) Минск(UTC+03:00) Волгоград, Москва, Санкт-Петербург (RTZ 2)(UTC+03:00) Найроби(UTC+03:30) Тегеран(UTC+04:00) Абу-Даби, Мускат(UTC+04:00) Астрахань, Ульяновск(UTC+04:00) Баку(UTC+04:00) Ижевск, Самара (RTZ 3)(UTC+04:00) Порт-Луи(UTC+04:00) Саратов(UTC+04:00) ТбилисиVolgograd Standard Time(UTC+04:00) Ереван(UTC+04:30) Кабул(UTC+05:00) Ашхабад, Ташкент(UTC+05:00) Екатеринбург (RTZ 4)(UTC+05:00) Исламабад, КарачиQyzylorda Standard Time(UTC+05:30) Колката, Мумбаи, Нью-Дели, Ченнай(UTC+05:30) Шри-Джаявардене-пура-Котте(UTC+05:45) Катманду(UTC+06:00) Астана(UTC+06:00) Дакка(UTC+06:00) Омск(UTC+06:30) Янгон(UTC+07:00) Бангкок, Джакарта, Ханой(UTC+07:00) Барнаул, Горно-Алтайск(UTC+07:00) Ховд(UTC+07:00) Красноярск (RTZ 6)(UTC+06:00) Новосибирск (RTZ 5)(UTC+07:00) Томск(UTC+08:00) Гонконг, Пекин, Урумчи, Чунцин(UTC+08:00) Иркутск (RTZ 7)(UTC+08:00) Куала-Лумпур, Сингапур(UTC+08:00) Перт(UTC+08:00) Тайбэй(UTC+08:00) Улан-Батор(UTC+08:45) Юкла(UTC+09:00) Чита(UTC+09:00) Осака, Саппоро, Токио(UTC+08:30) Пхеньян(UTC+09:00) Сеул(UTC+09:00) Якутск (RTZ 8)(UTC+09:30) Аделаида(UTC+09:30) Дарвин(UTC+10:00) Брисбен(UTC+10:00) Канберра, Мельбурн, Сидней(UTC+10:00) Гуам, Порт-Морсби(UTC+10:00) Хобарт(UTC+10:00) Владивосток, Магадан (RTZ 9)(UTC+10:30) Лорд-Хау(UTC+11:00) Остров Бугенвиль(UTC+11:00) Чокурдах (RTZ 10)(UTC+10:00) Магадан(UTC+11:00) Остров Норфолк(UTC+11:00) Сахалин(UTC+11:00) Соломоновы о-ва, Нов. Каледония(UTC+12:00) Анадырь, Петропавловск-Камчатский (RTZ 11)(UTC+12:00) Веллингтон, Окленд(UTC+12:00) Время в формате UTC +12(UTC+12:00) Фиджи(UTC+12:00) Петропавловск-Камчатский — устаревшее(UTC+12:45) Чатем(UTC+13:00) Время в формате UTC +13(UTC+13:00) Нукуалофа(UTC+13:00) Самоа(UTC+14:00) О-в Киритимати
Математика онлайн — Трансляции, онлайн уроки и инструменты математика для работы в онлайн
Серединный перпендикуляр к отрезку
Определение 1. Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).
Рис.1
Теорема 1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.
Доказательство. Рассмотрим произвольную точку D, лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.
Рис.2
Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB. Теорема 1 доказана.
Теорема 2 (Обратная к теореме 1). Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
Доказательство. Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D.
Рис.3
Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB. Действительно,
Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.
Рис.4
Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE. Действительно,
Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2
Окружность, описанная около треугольника
Определение 2. Окружностью, описанной около треугольника, называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником.
Рис.5
Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
| Фигура | Рисунок | Свойство |
| Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника | Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке. Посмотреть доказательство | |
| Окружность, описанная около треугольника | Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника. Посмотреть доказательство | |
| Центр описанной около остроугольного треугольника окружности | Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника. | |
| Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности | Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы. Посмотреть доказательство | |
| Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности | Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника. | |
| Теорема синусов | Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):,где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.Посмотреть доказательство | |
| Площадь треугольника | Для любого треугольника справедливо равенство:S = 2R2 sin A sin B sin C ,где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.Посмотреть доказательство | |
| Радиус описанной окружности | Для любого треугольника справедливо равенство:где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.Посмотреть доказательство |
Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
Теорема 3. Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Доказательство. Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC, и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).
Рис.6
Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
CO = AO .
Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
AO = BO .
Следовательно, справедливо равенство:
CO = BO ,
откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.
Следствие. Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Доказательство. Рассмотрим точку O, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).
При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:
AO = OB = OC ,
из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA, OB, OC проходит через все три вершины треугольника ABC, что и требовалось доказать.
Теорема 4 (теорема синусов). Для любого треугольника (рис. 7)
Рис.7
справедливы равенства:
.
Доказательство. Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R, на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:
Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).
Рис.8
Угол MPN, как угол,опирающийся на диаметр, является прямым углом, и равенство (1) вытекает из определения синуса угла прямоугольного треугольника.
Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.
Формула (1) доказана.
Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):
Теорема синусов доказана.