Математика для взрослых читать онлайн, Кьяртан Поскитт
Эту книгу хорошо дополняют:
Магия чисел
Артур Бенджамин, Майкл Шермер
Удовольствие от x
Стивен Строгац
Красота в квадрате
Алекс Беллос
Теория игр
Авинаш Диксит, Барри Нейлбафф
Kjartan Poskitt
EVERYDAY MATHS FOR GROWN-UPS:
GETTING TO GRIPS WITH THE BASICS
Michael O’Mara Books Limited
Кьяртан Поскитт
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ВЗРОСЛЫХ
ЛАЙФХАКИ ДЛЯ ПОВСЕДНЕВНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Москва
«Манн, Иванов и Фербер»
2016
Информация
от издательства
Н а у ч н ы й р е д а к т о р Александр Минько
Издано с разрешения Michael O’Mara Books LimitedНа русском языке публикуется впервые
Поскитт, Кьяртан
ISBN 978-5-00100-126-3
Эта книга — самый дружелюбный и доступный ликбез по математике. После ее прочтения вы разберетесь в большинстве базовых терминов и вычислений, сможете применять их в жизни и даже узнаете несколько математических трюков, которыми можно произвести впечатление на друзей. Глоссарий в конце книги позволит вам быстро освежить в памяти любое определение.
Книга будет полезна широкому кругу читателей.
Все права защищены.
Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских прав.
Правовую поддержку издательства обеспечивает юридическая фирма «Вегас-Лекс».
© Kjartan Poskitt, 2010
Перевод на русский язык, издание на русском языке, оформление. ООО «Манн, Иванов и Фербер», 2016
Посвящается Мэрилин Мэлин, которая более двадцати лет помогает мне самоорганизовываться и никогда не ошибается в счете, хотя и не пользуется калькулятором
ПОЧЕМУ Я НАПИСАЛ ЭТУ КНИГУ
Не так давно ко мне подошел Блэйки, мой приятель, и, похоже, он был в отчаянии. Как оказалось, несмотря на то что ему уже почти сорок и он весьма умен, ему никак не удается поступить на курс менеджмента — и все из-за экзамена по арифметике, который он постоянно проваливает. Блэйки признался: «Складывать и вычитать я умею, но совершенно теряюсь, когда дело доходит до умножения: не могу понять, верно ли я сосчитал, даже проверив результат на калькуляторе». Я дал ему почитать мою книгу The Awesome Arithmeticks («Потрясающая арифметика»), написанную для детей-восьмилеток, и через пару недель Блэйки сдал экзамен.
Если вы тоже из числа тех, кому, как и Блэйки, не дается математика, скорее всего, вы упустили что-то важное в самом начале ее изучения, поэтому и в остальном разобраться не получается. Вот почему я сперва остановлюсь на сложении чисел, а затем буду постепенно переходить к вещам посложнее, чтобы вы могли усвоить материал с азов и понять, что и как взаимосвязано. Если первые главы покажутся вам слишком простыми, можете их пропустить; в случае необходимости вы всегда сможете к ним вернуться, если понадобится что-то уточнить.
Не волнуйтесь, это не учебник! Конечно, здесь много чисел, диаграмм и даже некоторых особенных штучек вроде π, x2 и т. п., но зато нет никаких тестов и экзаменов и никто не станет вас ругать, если во время чтения вы уснете. Главная цель этой книги — дать вам дружеские рекомендации по использованию математики в повседневной жизни. Например, как рассчитать, сколько краски понадобится для ремонта комнаты или сколько времени уйдет на поездку. Я также дам советы по более сложным темам, таким как алгебра и работа с процентами, чтобы вы не чувствовали себя неловко, если дети будут обсуждать при вас домашнее задание по математике. Попутно мы рассмотрим ряд забавных вещей наподобие искривленного пространства и комбинаций в покере и даже несколько фокусов, чтобы вы могли козырнуть ими перед друзьями!
Вот вам один трюк для начала (при желании воспользуйтесь калькулятором).
Загадайте любое трехзначное число; все его цифры должны быть разными.
Запишите его задом наперед.
Вычтите одно из другого.
Второй цифрой результата всегда будет 9, а первая и третья цифры дадут 9 в сумме (в случае, если получится 99, добавьте спереди ноль, чтобы вышло три знака).
Если у вас есть впечатлительный друг по имени Малькольм, можете сразить его этим фокусом наповал. Попросите Малькольма, ничего ему не объясняя, задумать трехзначное число, чтобы все три знака были разными, затем записать его задом наперед и вычесть одно из другого. Поинтересуйтесь, с какой цифры начинается результат, и вы сможете назвать ему остальные цифры, не зная, какое число он изначально загадал!
Если Малькольм скажет, что первая цифра 9, значит, у него получилось 99, если первая цифра 5, то ответ равен 594. Запомните: в середине всегда будет девятка, а цифры по краям в сумме должны давать 9!
СЛОЖЕНИЕ
Сложение — в числе первых навыков, которым учат в школе, однако не принимайте это как должное! Сложение кажется простым благодаря использованию гениальной индо-арабской системы счисления, которая может оперировать числами любой величины, хотя в ней фигурируют всего десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Давайте вспомним, как она устроена.
Система разрядов
Предположим, вы провели три незабываемых дня, торгуя на ярмарке. Ваша выручка соответственно составила 173, 585 и 234 фунта. Но вот досада: вы по ошибке продали свой калькулятор. Так сколько же всего денег вы заработали?
Цифры в числах расположены по системе разрядов, так что в числе 173 3 означает три единицы, 7 — семь десятков, а 1 — одну сотню. Для того чтобы подсчитать сумму 173 + 585 + 234, вам нужно просто записать числа так, чтобы сотни, десятки и единицы находились в столбцах друг под другом.
Индо-арабская система против римской
Мы пользуемся индо-арабской системой счисления, которая появилась в Индии около 2400 лет назад. Примерно 1100 лет назад на нее перешли арабские математики и астрономы, а около 800 лет назад Леонардо Фибоначчи из Пизы способствовал ее распространению в Европе (приблизительно в то же время была построена знаменитая Пизанская падающая башня).
Трудно оценить всю элегантность этой числовой системы, пока вы не рассчитаете ту же сумму, записанную римскими цифрами. Цифры у римлян обозначались буквами следующим образом:
M = 1000
D = 500
C = 100
L = 50
X = 10
V = 5
I = 1
Обычно числа представляли собой последовательности этих букв, от наибольших значений до наименьших. Например, CLXXIII = 100 + 50 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 173. Однако записывать подобным способом такие числа, как 9 (получилось бы VIIII), было неудобно, и тогда меньшие значения ставили перед большими, при этом их следовало не прибавлять, а вычитать, и 9 записывалось как IX.
Римские цифры до сих пор используются людьми в случае, когда нужно придать чему-то стильный или элегантный вид. На циферблатах старого образца часы обозначаются римскими цифрами от I до XII, а во многих фильмах и телепрограммах после титров римскими цифрами пишут год выпуска, например MMX, то есть 2010-й. В фундаменте известных строений или статуй часто заложен камень с выбитой римскими цифрами датой. Статуя Свободы в Нью-Йорке держит в руке табличку, где вырезана дата принятия Декларации независимости — JULY IV MDCCLXXVI (4 июля 1776 года).
Ноль? Ноль!
У древних римлян не было обозначения для 0. Лишь после введения системы разрядов 0 стал важен для написания таких чисел, как 10 и 100.
Единственное место, где нынче не встретишь римские цифры, — это математика. Представьте, как бы вы рассчитывали выручку на ярмарке во времена древних римлян…
Индо-арабская система счисления сделает самую тяжелую работу за вас, достаточно лишь записать числа так, чтобы единицы, десятки и сотни выстроились в столбцы. Более того, вычисление сумм таким образом поможет вам развить чутье на правильный ответ — способность, которая никогда не появится, если полагаться на калькулятор!
Иногда суммы уже рассчитаны за вас, и это повод проверить свое чутье на практике.
Как быстро проверить кассовый чек
Случалось ли вам, выходя из магазина с длиннющим чеком в руке, испытывать стойкое ощущение, что вас обсчитали? Но когда вы обвешаны переполненными сумками, меньше всего хочется останавливаться и тратить время на подсчеты. К счастью, есть способ очень быстро узнать приблизительную сумму чека.
Вот чек, от которого оторван кусочек с общей суммой. Нам нужно сделать всего две вещи.
Сложим фунты, не обращая внимания на пенсы, — получится 58.
Согнем чек так, чтобы разделить перечень покупок пополам, и прибавим 1 к сумме каждой покупки, отображенной на выбранной нами стороне чека.
У нас получилось 10 покупок, так что прибавляем 10 к 58 — выйдет 68 фунтов. Это число должно приблизительно соответствовать точной сумме. Давайте-ка проверим… Ну, совсем неплохо!
Советы
Если в магазине проходит акция «два по цене одного» или есть еще какие-нибудь скидки, в чеке могут встретиться отрицательные числа. Лучше игнорировать их при первоначальном сложении и вычесть в самом конце. Кроме того, если на кассе ваши покупки раскладывают по пакетам, в некоторых магазинах в чеке пишут «сумму за пакет» – эти числа учитывать не нужно.
Как это работает
Числа в колонке пенсов могут колебаться от 0 до 99. У одних цен число пенсов невелико (например, 25), тогда как у других бывает довольно большим (например, 80). В среднем выходит около 50 пенсов на покупку, поэтому, чтобы получить приблизительную сумму пенсов, можно сосчитать количество покупок и прибавить 50 пенсов на каждую. Однако гораздо проще уменьшить число покупок вдвое (для этого мы и согнули чек пополам) и добавить на каждую покупку по 1 фунту (50 + 50 пенсов).
Еще больше советов покупателю! Раздел «Деньги и проценты» полностью посвящен процентам, экономии средств и скидкам.
ВЫЧИТАНИЕ
Несмотря на то что складывать можно по несколько чисел одновременно, никогда не пытайтесь вычитать более чем по одному числу за раз. Давайте сначала рассмотрим традиционный способ вычитания, а затем познакомимся с отличным новым способом, который сегодня преподают в школах.
Старый способ
Ключ к вычитанию — помнить о том, что число, скажем 73, это то же самое, что и 70 + 3.
Вычислить, сколько будет 73 – 2, несложно. Достаточно вычесть единицы, чтобы получить 3 – 2 = 1. Вторую часть (70) трогать при этом не надо, она войдет в …
Читать книгу Математика для взрослых. Лайфхаки для повседневных вычислений Кьяртана Поскитт : онлайн чтение
Кьяртан Поскитт
Математика для взрослых. Лайфхаки для повседневных вычислений
Kjartan Poskitt
EVERYDAY MATHS FOR GROWN-UPS:
GETTING TO GRIPS WITH THE BASICS
Научный редактор Александр Минько
Издано с разрешения Michael O’Mara Books Limited
Правовую поддержку издательства обеспечивает юридическая фирма «Вегас-Лекс».
© Kjartan Poskitt, 2010
Перевод на русский язык, издание на русском языке, оформление. ООО «Манн, Иванов и Фербер», 2016
* * *
Эту книгу хорошо дополняют:
Магия чисел
Артур Бенджамин, Майкл Шермер
Удовольствие от x
Стивен Строгац
Красота в квадрате
Алекс Беллос
Теория игр
Авинаш Диксит, Барри Нейлбафф
Посвящается Мэрилин Мэлин, которая более двадцати лет помогает мне самоорганизовываться и никогда не ошибается в счете, хотя и не пользуется калькулятором
Почему я написал эту книгу
Не так давно ко мне подошел Блэйки, мой приятель, и, похоже, он был в отчаянии. Как оказалось, несмотря на то что ему уже почти сорок и он весьма умен, ему никак не удается поступить на курс менеджмента – и все из‑за экзамена по арифметике, который он постоянно проваливает. Блэйки признался: «Складывать и вычитать я умею, но совершенно теряюсь, когда дело доходит до умножения: не могу понять, верно ли я сосчитал, даже проверив результат на калькуляторе». Я дал ему почитать мою книгу The Awesome Arithmeticks («Потрясающая арифметика»), написанную для детей-восьмилеток, и через пару недель Блэйки сдал экзамен.
Если вы тоже из числа тех, кому, как и Блэйки, не дается математика, скорее всего, вы упустили что-то важное в самом начале ее изучения, поэтому и в остальном разобраться не получается. Вот почему я сперва остановлюсь на сложении чисел, а затем буду постепенно переходить к вещам посложнее, чтобы вы могли усвоить материал с азов и понять, что и как взаимосвязано. Если первые главы покажутся вам слишком простыми, можете их пропустить; в случае необходимости вы всегда сможете к ним вернуться, если понадобится что-то уточнить.
Не волнуйтесь, это не учебник! Конечно, здесь много чисел, диаграмм и даже некоторых особенных штучек вроде π, x² и т. п., но зато нет никаких тестов и экзаменов и никто не станет вас ругать, если во время чтения вы уснете. Главная цель этой книги – дать вам дружеские рекомендации по использованию математики в повседневной жизни. Например, как рассчитать, сколько краски понадобится для ремонта комнаты или сколько времени уйдет на поездку. Я также дам советы по более сложным темам, таким как алгебра и работа с процентами, чтобы вы не чувствовали себя неловко, если дети будут обсуждать при вас домашнее задание по математике. Попутно мы рассмотрим ряд забавных вещей наподобие искривленного пространства и комбинаций в покере и даже несколько фокусов, чтобы вы могли козырнуть ими перед друзьями!
Вот вам один трюк для начала (при желании воспользуйтесь калькулятором).
• Загадайте любое трехзначное число; все его цифры должны быть разными.
• Запишите его задом наперед.
• Вычтите одно из другого.
Второй цифрой результата всегда будет 9, а первая и третья цифры дадут 9 в сумме (в случае, если получится 99, добавьте спереди ноль, чтобы вышло три знака).
Если у вас есть впечатлительный друг по имени Малькольм, можете сразить его этим фокусом наповал. Попросите Малькольма, ничего ему не объясняя, задумать трехзначное число, чтобы все три знака были разными, затем записать его задом наперед и вычесть одно из другого. Поинтересуйтесь, с какой цифры начинается результат, и вы сможете назвать ему остальные цифры, не зная, какое число он изначально загадал!
Если Малькольм скажет, что первая цифра 9, значит, у него получилось 99, если первая цифра 5, то ответ равен 594. Запомните: в середине всегда будет девятка, а цифры по краям в сумме должны давать 9!
Сложение
Сложение – в числе первых навыков, которым учат в школе, однако не принимайте это как должное! Сложение кажется простым благодаря использованию гениальной индо-арабской системы счисления, которая может оперировать числами любой величины, хотя в ней фигурируют всего десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Давайте вспомним, как она устроена.
Система разрядов
Предположим, вы провели три незабываемых дня, торгуя на ярмарке. Ваша выручка соответственно составила 173, 585 и 234 фунта. Но вот досада: вы по ошибке продали свой калькулятор. Так сколько же всего денег вы заработали?
Цифры в числах расположены по системе разрядов, так что в числе 173: 3 означает три единицы, 7 – семь десятков, а 1 – одну сотню. Для того чтобы подсчитать сумму 173 + 585 + 234, вам нужно просто записать числа так, чтобы сотни, десятки и единицы находились в столбцах друг под другом.
Индо-арабская система против римской
Мы пользуемся индо-арабской системой счисления, которая появилась в Индии около 2400 лет назад. Примерно 1100 лет назад на нее перешли арабские математики и астрономы, а около 800 лет назад Леонардо Фибоначчи из Пизы способствовал ее распространению в Европе (приблизительно в то же время была построена знаменитая Пизанская падающая башня).
Трудно оценить всю элегантность этой числовой системы, пока вы не рассчитаете ту же сумму, записанную римскими цифрами. Цифры у римлян обозначались буквами следующим образом:
M = 1000
D = 500
C = 100
L = 50
X = 10
V = 5
I = 1
Обычно числа представляли собой последовательности этих букв, от наибольших значений до наименьших. Например, CLXXIII = 100 + 50 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 173. Однако записывать подобным способом такие числа, как 9 (получилось бы VIIII), было неудобно, и тогда меньшие значения ставили перед бо́льшими, при этом их следовало не прибавлять, а вычитать, и 9 записывалось как IX.
Римские цифры до сих пор используются людьми в случае, когда нужно придать чему-то стильный или элегантный вид. На циферблатах старого образца часы обозначаются римскими цифрами от I до XII, а во многих фильмах и телепрограммах после титров римскими цифрами пишут год выпуска, например MMX, то есть 2010‑й. В фундаменте известных строений или статуй часто заложен камень с выбитой римскими цифрами датой. Статуя Свободы в Нью-Йорке держит в руке табличку, где вырезана дата принятия Декларации независимости – JULY IV MDCCLXXVI (4 июля 1776 года).
Ноль? Ноль!
У древних римлян не было обозначения для 0. Лишь после введения системы разрядов 0 стал важен для написания таких чисел, как 10 и 100.
Единственное место, где нынче не встретишь римские цифры, – это математика. Представьте, как бы вы рассчитывали выручку на ярмарке во времена древних римлян…
Индо-арабская система счисления сделает самую тяжелую работу за вас, достаточно лишь записать числа так, чтобы единицы, десятки и сотни выстроились в столбцы. Более того, вычисление сумм таким образом поможет вам развить чутье на правильный ответ – способность, которая никогда не появится, если полагаться на калькулятор!
Иногда суммы уже рассчитаны за вас, и это повод проверить свое чутье на практике.
Как быстро проверить кассовый чек
Случалось ли вам, выходя из магазина с длиннющим чеком в руке, испытывать стойкое ощущение, что вас обсчитали? Но когда вы обвешаны переполненными сумками, меньше всего хочется останавливаться и тратить время на подсчеты. К счастью, есть способ очень быстро узнать приблизительную сумму чека.
Вот чек, от которого оторван кусочек с общей суммой. Нам нужно сделать всего две вещи.
1. Сложим фунты, не обращая внимания на пенсы, – получится 58.
2. Согнем чек так, чтобы разделить перечень покупок пополам, и прибавим 1 к сумме каждой покупки, отображенной на выбранной нами стороне чека.
У нас получилось 10 покупок, так что прибавляем 10 к 58 – выйдет 68 фунтов. Это число должно приблизительно соответствовать точной сумме. Давайте-ка проверим… Ну, совсем неплохо!
Советы
Если в магазине проходит акция «два по цене одного» или есть еще какие-нибудь скидки, в чеке могут встретиться отрицательные числа. Лучше игнорировать их при первоначальном сложении и вычесть в самом конце. Кроме того, если на кассе ваши покупки раскладывают по пакетам, в некоторых магазинах в чеке пишут «сумму за пакет» – эти числа учитывать не нужно.
Как это работает
Числа в колонке пенсов могут колебаться от 0 до 99. У одних цен число пенсов невелико (например, 25), тогда как у других бывает довольно большим (например, 80). В среднем выходит около 50 пенсов на покупку, поэтому, чтобы получить приблизительную сумму пенсов, можно сосчитать количество покупок и прибавить 50 пенсов на каждую. Однако гораздо проще уменьшить число покупок вдвое (для этого мы и согнули чек пополам) и добавить на каждую покупку по 1 фунту (50 + 50 пенсов).
Еще больше советов покупателю! Раздел «Деньги и проценты» полностью посвящен процентам, экономии средств и скидкам.
Вычитание
Несмотря на то что складывать можно по несколько чисел одновременно, никогда не пытайтесь вычитать более чем по одному числу за раз. Давайте сначала рассмотрим традиционный способ вычитания, а затем познакомимся с отличным новым способом, который сегодня преподают в школах.
Старый способ
Ключ к вычитанию – помнить о том, что число, скажем 73, это то же самое, что и 70 + 3.
Вычислить, сколько будет 73 − 2, несложно. Достаточно вычесть единицы, чтобы получить 3–2 = 1. Вторую часть (70) трогать при этом не надо, она войдет в ответ без изменений (удобно использовать бумагу в клеточку, чтобы видеть, где единицы, десятки и т. д.).
Все становится интереснее, если надо от 73 отнять 9. Это то же самое, что и 70 + 3–9, однако с 3–9 так просто уже не разделаться.
Нам нужно сделать вот что: представим 73 как 60 + 13. Для этого придется поменять 7 на 6 и приписать перед 3 маленькую единичку. Поэтому я и пользуюсь бумагой в клеточку – тогда видно, что число сверху это 60 + 13, а не 613.
Далее вычисляем 13 − 9 = 4, и с единицами на этом покончено. От 70 же осталось 60, так что окончательный ответ: 60 + 4 = 64.
Теперь, уяснив основной принцип, перейдем к насущным задачам. Предположим, что вы решили построить модель линкора из 6305 спичек, но на данный момент у вас всего 1847 спичек – сколько еще спичек понадобится?
Вот пример, который нужно решить, и хитрость состоит в том, что начать следует с единиц и двигаться к старшим разрядам. Сначала придется разобраться с 5–7. Нам понадобится еще десяток, но у числа 6305 в столбце десятков стоит нуль, так что нам будет нужна еще и тройка в столбце сотен. Тогда мы получим требуемый десяток, вычислив 30 − 1 = 29.
Вы видите, что мы заменили 30 на 29 и добавили 1 перед 5. Теперь можно подсчитать: 15 − 7 = 8.
Разделавшись с единицами, закроем их бумажкой и сосредоточимся на остальной части выражения, а именно на вычитании 629–184. Поскольку 9–4 = 5, сразу запишем 5 в результат. Получается, что со столбцом десятков мы разобрались без проблем.
Учитывая, что от 2 восемь так просто не отнять, займем 1 из 6 (в столбце тысяч останется 5) и запишем 1 перед 2. Это даст нам 12 − 8 = 4. И наконец, в столбце тысяч будет 5–1 = 4.
Итак, вот что у нас получилось:
Теперь мы знаем, что, для того чтобы построить линкор, нам понадобится еще 4458 спичек. (И придется где-то их раздобыть или же найти себе другое хобби.)
Новый способ
В наши дни детей учат вычитать, взяв меньшее число и увеличивая его до тех пор, пока оно не сравняется с бо́льшим числом. Джанет, продавщица в кондитерской, именно так и поступает, когда выдает сдачу. Если вы дадите ей 5 фунтов за пирог, который стоит 2,23 фунта, она должна будет дать вам 2,77 фунта сдачи (5–2,23). Чтобы убедиться, что это так, Джанет комментирует свои подсчеты: сперва она говорит, сколько стоит пирог, затем прибавляет номинал каждой монеты (начиная с самых мелких), отсчитывая их, пока сумма не достигнет 5 фунтов.
Этот подход можно использовать и для вычитания чисел. Давайте опять вернемся к спичкам: нам нужно подсчитать, сколько будет 6305–1847. Начнем понемногу прибавлять спички к 1847, по ходу дела отслеживая, что происходит.
Это и есть ответ: 6305–1847 = 4458. На первый взгляд тут задействовано слишком много чисел, но потренировавшись, вы освоитесь с этим методом. Изящно, не правда ли?
Отрицательные числа
Перед отрицательными числами всегда стоит знак «минус», а перед положительными «плюс» обычно не пишут, разве что в таких выражениях: 3 + 6–4 = 5. Здесь числа 3, 6 и 5 – положительные, а 4 – отрицательное.
Всякое число будет либо положительным (+), либо отрицательным (–).
Иногда сумма может давать отрицательный результат, особенно если речь идет о деньгах.
Величина долга всегда вычитается, то есть она отрицательна.
Вычитание большего числа из меньшего поначалу может сбивать с толку. Для простоты понимания представьте себе линейку с нулем посередине. Положительные числа возрастают в одном направлении, отрицательные – в противоположном.
Когда женщина находит 5 фунтов, она продвигается на 5 шагов в положительном направлении.
Но когда мальчик требует 7 фунтов, это отбрасывает ее назад – до нуля и дальше, на отрицательную сторону линейки. Она лишилась своих 5 фунтов и должна еще 2 фунта.
В случае больших чисел уже не столь очевидно, сколько еще вы должны. Предположим, вы играете в «Монополию» и у вас есть 623 фунта. Вы останавливаетесь на Пикадилли, там четыре дома, и с вас причитается арендная плата 1025 фунтов. Вы отдаете все свои деньги, но понятно, что этого не хватает для полной уплаты аренды. Сколько еще осталось заплатить? Надо вычислить 623 фунта – 1025 фунтов.
Для простоты разобьем вычитание на два шага.
1. Если отрицательное число больше положительного, ответ будет отрицательным. Поэтому в конце вычислений убедитесь, что перед результатом стоит знак «минус».
2. Находим разность между двумя числами. Для этого вычитаем меньшее число из большего: 1025 − 623 = 402.
Не забудьте поставить знак «минус»! Ответ равен – 402 фунта, именно столько вы должны. Так что либо раскошеливайтесь, либо просто возьмите всю эту «Монополию», швырните ее в стену и любуйтесь, как разлетаются по комнате бумажки и пластиковые фишки. Вас за это, конечно, не похвалят, но зато вы получите определенное удовольствие.
Умножение
Трижды семь – двадцать один, четырежды семь – двадцать восемь… Чего уж скрывать, зазубривание таблицы умножения – на редкость утомительное занятие, однако эта таблица имеет слишком большую практическую ценность, чтобы просто забыть о ней как о страшном сне. Работать с ней будет гораздо легче, если вы освоите несколько трюков, быстрых приемчиков и прочих секретов взаимосвязи чисел в таблице.
Тайны таблицы умножения
В этой таблице показаны все результаты умножения от 1 × 1 до 10 × 10. Всего здесь 100 результатов. Первым делом давайте избавимся от некоторых из них.
При умножении на 10 в конец числа просто добавляется ноль. Это слишком легко и при переходе к умножению больших чисел нам не понадобится. Так что исключим из таблицы 10‑ю строку и 10‑й столбец.
Если поменять множители местами, ответ останется тем же. Например, и 3 × 7 и 7 × 3 равно 21. Поэтому уберем из таблицы все повторяющиеся результаты.
Итак, мы избавились от более чем половины ячеек. Посмотрим, что осталось.
Числа в серых ячейках называются квадратами целых чисел, или просто квадратами. Это результаты умножения каждого числа на само себя. Например, вдоль каждой стороны шахматной доски 8 клеток, поэтому полное количество клеток на доске будет равняться восьми в квадрате. Записывают это так: 82, что соответствует 8 × 8 = 64.
Если вы ненавидите зубрить таблицу умножения, можете заполнить ее ячейки еще одним способом. Сначала можно просто складывать нечетные числа 1, 3, 5, 7 и т. д. Начинаем с 1 + 3 = 4. Затем прибавляем 5, получаем 9, затем 7, получаем 16… Так вы вычислите квадраты всех чисел.
Если взять любую ячейку с квадратом числа и вычитать из нее нечетные числа, начиная с 1, то получатся значения по диагонали, идущей в другую сторону от исходной ячейки.
Таким образом, начав с 36 и отняв 1, получим 35, отняв 3, получим 32, вычтя 5, получим 27.
(Сравнив эту диаграмму с таблицей умножения, вы убедитесь, что все совпадает.)
Аналогичным способом, но с помощью четных чисел (2, 4, 6, 8…) можно заполнить и остальные ячейки. Посмотрите на диагональ, идущую ниже диагонали квадратов, ту, где стоят числа 2, 6, 12, 20… Эти значения можно получить, начав с 2, затем прибавив 4, затем 6, потом 8 и т. д. А взяв любое из этих чисел (например, 20), можно найти значения вдоль идущей в другую сторону диагонали – вычитая 2, затем 4, потом 6 (например, 20 − 2 = 18, 18 − 4 = 14 и 14 − 6 = 8).
Такие последовательности нечетных и четных чисел позволяют вывести всю таблицу умножения, ни разу при этом не выполнив умножения как такового!
Фокус с тремя числами
Возьмите три любых последовательных числа: при перемножении первого и последнего всегда получится значение на единицу меньше, чем квадрат числа посередине.
Взяв числа 6, 7, 8 и сверившись с таблицей умножения, мы убедимся, что 6 × 8 = 48, а 7 × 7 (или 72) = 49.
Так будет с любыми последовательно идущими числами. Если известно, что 1482 = 21 904, можете быть уверены, что 147 × 149 = 21 903.
(Почему так происходит? Это одна из тех маленьких загадок, которые мы научимся решать когда перейдем к разделу «Алгебра».)
Простые числа
Простое число делится только на само себя и единицу. Например, число 10 не является простым (оно делится на 1, 2, 5 и 10), число 12 тоже (делится на 1, 2, 3, 4, 6, 12), а вот число 11 – простое (делится только само на себя и на 1). Если попробовать упаковать числа в ящики, не оставляя пустых мест, с простыми числами возникнут сложности, поскольку разделить их на равные части не получится.
Наименьшее простое число – это 2. Также это единственное четное простое число, поскольку все остальные четные числа делятся на 2. Следующие простые числа: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23… и так далее до бесконечности.
Здесь представлены все числа от 1 до 100, причем числа в белых квадратиках – простые. Легко понять, где простое число наверняка не встретится: со второй строки и ниже простые числа не могут заканчиваться на 2, 4, 6, 8 или 0 (тогда они делились бы на 2) и на 5 (тогда они делились бы на 5). Что никому до сих пор не удалось выяснить, так это где обязательно должно появиться простое число. Был момент всеобщей радости из‑за числа 31, так как поскольку оно простое, простыми также являются 331, 3331, 33 331, 333 331 и т. д. Казалось, любая последовательность троек с единицей в конце даст простое число, и так считали до тех пор, пока кто-то не обнаружил, что 19 607 843 × 17 = 333 333 331. Кстати, если вам удастся найти между простыми числами общую закономерность, ваше имя будут помнить еще долго после того, как имена всех знаменитостей, которыми переполнена сейчас земля, канут в Лету.
Умножение на пальцах
Таблица умножения для числа 9 – одна из самых сложных, но в наши дни почти каждому школьнику знаком изящный способ запоминания.
Поднимите ладони перед собой и представьте, что пальцы пронумерованы от 1 до 10 слева направо. Согните палец, соответствующий числу, которое вы хотите умножить на 9. Посчитайте, сколько пальцев находится слева и справа от согнутого пальца. Это и будет ответ (см. рисунок).
Но есть трюки и похитрее…
Зная таблицу умножения вплоть до 5 × 5, вы можете посчитать на пальцах любое произведение от 6 × 6 до 10 × 10. Сперва представьте, что пальцы каждой руки пронумерованы как 6, 7, 8, 9, 10.
Умножение больших чисел
Вы проехали 693 мили, чтобы устроить палаточный лагерь где-то у черта на куличках, и по возвращении домой обнаружили, что нет ключей от входной двери, которые вы, скорее всего, выронили, когда разбирали тент. Съездив за ними обратно, вы в итоге проехали по одной и той же дороге четыре раза. Сколько всего миль вы преодолели?
Честно говоря, после таких приключений вряд ли кому-то захочется садиться за подсчеты, но если вы все же решитесь, окажется, что числа выходят далеко за пределы таблицы умножения. Хитрость в том, чтобы умножать небольшими частями, к тому же (о радость!) вам ничего не придется умножать больше чем на 9. Рассмотрим по пунктам, как умножить 693 на 4.
1. Запишем выражение так:
2. Умножим на 4 сначала 3, затем 9 и наконец 6, следя за тем, чтобы результаты были записаны в нужных местах. Начнем справа, с единиц. Считаем: 3 × 4 = 12. Пишем 2 под 4 и ставим маленькую единичку над пустым местом слева.
3. Теперь умножаем 9 × 4 = 36 и, прибавив маленькую единичку, получаем 37. Пишем 7 в ответ, а маленькую тройку ставим над следующим пустым местом.
4. И наконец, считаем 6 × 4 = 24. Прибавив маленькую тройку, получаем 27. Больше умножать нечего, так что пишем внизу 27 и получаем ответ! Вышло довольно изящно. (Надеюсь, это поднимет вам настроение после неурядиц с ключами.)
Теперь перейдем к умножению бо́льших чисел. Допустим, нужно умножить 517 на 38. Традиционный способ – умножить 517 на 30, затем 517 на 8 и сложить оба полученных числа. Пусть и неуклюже, но зато работает.
1. Запишем выражение так, как показано, и проведем внизу несколько дополнительных линий. Сначала умножим 517 на 30. Запишем 0 под 8 для того, чтобы остальная часть ответа оказалась в правильном месте.
2. Теперь умножаем 517 на 3. Начнем с 7 × 3 = 21. Единицу записываем в тот столбец, где стоит 3, а маленькую двойку добавляем в следующий столбец. Обратите внимание, дальше нужно считать 1 × 3 = 3! (По невнимательности легко пропустить цифру.) Прибавляем 2 к 3 и, получив 5, записываем 5 в ответ. Наконец, 5 × 3 = 15: пишем это число спереди.
3. Теперь вычисляем 517 × 8, записывая ответ линией ниже. При умножении 7 × 8 = 56 шестерка попадает в тот столбец, где стоит 8.
4. Выяснив, сколько будет 517 × 30 и 517 × 8, складываем оба результата. Получается 15 510 + 4136 = 19 646. Это и есть окончательный ответ!
Математика для взрослых. Лайфхаки для повседневных вычислений
Привет всем! 🙂
Хотел начать рецензию буквально с самого фундамента, но вот беда, прочел единственный отзыв на лайвлибе и не могу носом не ткнуть даму, прямо в прелое сидение водителя икаруса.
Читатель пишет следующее:
— пока проставила на пальцах номера — запуталась.
Хочется добавить к этому, что с самого начала отзыва, человек написал и расхвалил себя тем, что очень любит математику и учился на факультете, где АЖ ДВАДЦАТЬ! ее разновидностей. Этакий Анатоле, да, Вассерман? Можно премию выдавать. А теперь вернемся к цитате:
— пока проставила на пальцах номера — запуталась.
Серьезно? Запуталась?
Все это на столько забавно, что можно сравнить вот с чем.
Если бы я был ученым, который доказал существование черной дыры (не путайте, еще ни один из человекаф не доказал её существование, люди наблюдают, люди выдвигают гипотезы, но доказательств того, что такой объект существует — нет), так вот, я — ученый, который доказал её существование. Получил Нобелевскую. До одури приятно, а потом меня пригласили на очередной симпозиум и спросили:
— Тут еще один ученый доказал существование черной дыры, посмотрите пожалуйста.
Вот я беру папочку со скоросшивателем и смотрю как девушка в капот автомобиля такой.
Нобелевская. Открытие самое значимое в мире.
И выдаю:
— Ой, я кажись запутался. Тут у меня получилась морковь, а здесь велосипед.
Люди, пожалуйста, если вы хотите хвалить себя в отзыве, делайте это так, чтобы в дальнейшем не перечило вашему же тексту.
Если вы пишите, что любите зеленый цвет, то пару абзацев спустя не набирайте текст, что купили оранжевую ветровку, потому что оранжевый — любимый цвет.
Теперь о книге.
Я, не математик, не профессор наук. Математику в школе знал на «хорошо», но получил трояк. Геометрию же, не знал вообще, дальше чем «дано, найти» не заходил, при этом имел по ней твердую 4ку. Как так вышло, я не в куррсе ррэебят, прошу понять и простить. Я не изучал 20 видов математики на факультете в университете, но! НО! Я не запутался в десяти пальцах!
Что касается цифер на пальцах, ежу было понятно, что их не нужно было рисовать ручкой, это все проворачивается мысленно. А потом, наниматели на работах мотают головами с сожалениями от глупости людей, претендующих на должность в их фирме. Двадцать разновидностей математики! Столько вообще бывает? Ну ладно, поверю «специалисту». Самое печальное, что этот отзыв приблизительно в 15 строк, набрал 24 плюса. Ну хоть не 24 000, уже радует.
Я обещал о книге.
Если посмотреть на переплет, то взгляд упадет на название «Математика для взрослых». Честно? Это обман. Это обычная математика, её начала, так сказать. Очень хорошо подойдет вашему ребенку. Почему?
Автор с первой страницы объясняет читателю, зачем он её написал. У него есть друг, который уже взрослый, но не бум-бум в этой области. После прочтения его книги, друг сдал предмет. ЭМ… вопрос, какой ай-кью у друга? Ведь в книге прописаны простейшие примеры и разобраны основы, вроде: как складывать дроби, как умножать десятичные дроби, формула площади квадрата и объема куба. Я не знаю… его друг в школе не учился что ли?
В общем, вы догадались уже, хотя я открытым текстом написал, что название не соответствует содержанию.
Дальше…
Если мы опустим глаза на обложку чуть ниже, то встретимся с «лайфхаки для повседневных вычислений»
Правда на половину. Они там есть, но скорее не лайфхаки, а обычные примеры вычислений.
У меня на факультете не было двадцать разновидностей математики, поэтому что-то новенькое я для себя увидел все-таки. Иногда челюсть отвисала, попадались действительно крутые приколюшки.
Книга не плохая, абсолютно не плохая. Из минусов только то, что название не соответствует содержанию. И все. Все остальное весьма достойно, начиная от юмора автора (тот еще Мартиросян) заканчивая грамотными примерами, которые что-то сложное для восприятия демонстрировали с более разборчивого ракурса, скажем так.
Было в книге много ляпов.
Я не считаю эти ляпы минусами, ибо ошибаться могут все.
Дальше прогуляемся по моим закладкам коих я налепил в книгу достаточно.
Первая напоминашка говорит мне о том, что я на начальных страницах повстречался с прикольным фокусом, которым можно удивить друга, ну или хотя бы заставить улыбнуться, а то мало ли, у вашего друга на факультете было двадцать разновидностей математики и он посмотрит на вас как на глупое говно, мол, че, кинг-конг, думаешь я об этом не знаю?
Кстати, о Конге. Вы ведь в курсе, что весной 2017 на экраны выйдет фильм «Конг. Остров черепа»? Я ооочень жду этот фильм, у него такой крыше сносящий трейлер. У кого актер сыгравший Локи в любимчиках — обрадую, он там снимается. Мне нравится Сэмюэл Л. Джексон и он тоже там есть! Фильм обещает быть крутым! Фух, вспомнил и мурашки по коже.
Так, отвлеклись. Нет, мне не заплатили за рекламу.
Дальше по стикерам идем.
«Попадаются советы, которыми лучше не пользоваться». Дело вот в чем. Так как автор рассказывают и объясняет с самых начал, то некоторыми его советами лучше действительно не пользоваться. Они прекрасны для понимания, но у уже знающего тонкости человека будут отнимать много времени, ибо способы… мягко говоря … нуу-у-у, их можно сравнить с объездом чего-либо на дороге, да. Объезжая вы затратите больше времени, транспорт сожрет больше бенза, но в итоге вы вернетесь к той же дороге потеряв время, которое могли бы не упустить не объезжая ситуацию.
Следующий стикер такой: очень классный способ умножения. Он действительно крутой, я о нем не знал, он интересный и симпатично выглядит на листе бумаги. Этот способ касается умножения больших чисел друг на друга и располагается на 37 странице.
Ага. Вот, собственно, мы добрались до ошибки.
Объясняя почему отрицательное число умножая на отрицательное будет положительным, автор показал читателю для надежности рисунок.
Вот текст:
Представьте, что на улице густой туман и вы бежите к дому от автобусной остановки (на рисунке она по середине). Ваша скорость +3 мили/ч. Это положительная скорость, поэтому через час вы приблизитесь к дому на три мили.
Допустим, что вы бежите со скоростью 3 мили/ч, но в противоположную сторону. Это отрицательная скорость — 3 мили/ч, и через час вы окажитесь на 3 мили дальше от дома.
Где накосячил автор? Правильно, в последнем предложении, последнем слове. Если вы от остановки, которая находится по серединке по оси икс будете бежать в противоположную сторону со скорость -3 мили/ч, то вы окажитесь на 3 мили дальше — да, но не от дома, как сказано в тексте, а от остановки. Вы убежите за час на три мили от остановки. А от дома вы убежите таким образом на 6 миль (три мили до остановки + три мили от остановки до дома). Автор, ты объясняешь «взрослым» математику, не делай таких ошибок.
Ну и последнее. Стикер смотрит на меня следующим текстом:
Как такое находят? Как такой открывают?
Речь идет о способах. Оказывается есть такие крутые способы подсчета чисел, которые просто не укладываются в голове, они кажутся магией и очень сильно отличаются от обыденных методов. Это ведь нужно залипнуть, включить лампу, сесть за стол и начать искать новые методы решения задач на вычисление.
Вот такой примерчик вам крутой, не знаю, удастся его отобразить тут…
Как умножить 326 на 28, пользуясь только таблицей умножения на два.
1. Записываем числа, которые нужно перемножить (326 и 28), вверху листа бумаги и проводим между ними вертикальную линию.
2. Делим первое число (326) на 2, игнорируя остаток (если он есть), и записываем ответ ниже. Продолжаем делить на 2 и записывать числа сверху вниз, пока наконец не получим 1.
3. Теперь последовательно умножаем второе число (28) на 2, записывая ответы рядом с ответами в первой колонке, пока не дойдем до 1.
4. Вычеркиваем из второй колонки числа, стоящие напротив четных чисел в первой колонке.
5. Складываем оставшиеся во второй колонке числа.
Готово!
Я в шоке.
Это пример моих слов о том, что методы долгие, но как они нереалистичны просто жуть! Ну магия же! Чистой воды магия!
Что в целом можно сказать про книжечку. Она тонкая, в ней около 180 страниц и очень много изображений. Поэтому, если вы за нее сядете и будете вдумчиво читать и рассматривать примеры, рассчитывать вместе с автором, то утром же и закончите.
В книге есть своя закладка, я читал без нее, полагаясь на память, а когда перевернул очередную страницу, то обнаружил что тут она есть! и память расслабилась. ))
Что еще… в конце есть пара листов в клеточку для ваших вычислений, ну так, скорее для удобства. Я ее не стал чиркать, не люблю чиркать в книгах, даже если в них отведено для этого дела место.
Иногда книга скучновата, потому что… ну она для ребенка… Но иногда читать очень интересно. Например, главу про проценты и кредиты, как работают банки с процентами и как легко клиент может оказаться в жопе, читал с нескрываемым интересом. Понравилась и финальная часть книги, когда речь шла о вероятности. Примеры на картах, игральных костях и много чем еще. Как думаете, какова вероятность, что из тридцати человек запертых в комнате, у двоих из них окажется рождение в один день? Ответ вас удивит! 😉
Книга «Математика для взрослых. Лайфхаки для повседневных вычислений»
Добавить- Читаю
- Хочу прочитать
- Прочитал
Жанр: Математика
ISBN: 978-5-00100-126-3
Год издания: 2010
Издательство: Манн
Фрагмент книги
Оцените книгу
Скачать книгу
520 скачиваний
Читать онлайн
1 планируeт, 1 прочитал и 1 читаeт
О книге «Математика для взрослых. Лайфхаки для повседневных вычислений»
Эта книга – самый дружелюбный и доступный ликбез по математике. После ее прочтения вы разберетесь в большинстве базовых терминов и вычислений, сможете применять их в жизни и даже узнаете несколько математических трюков, которыми можно произвести впечатление на друзей. Глоссарий в конце книги позволит вам быстро освежить в памяти любое определение.
Книга будет полезна широкому кругу читателей.
На русском языке публикуется впервые.
На нашем сайте вы можете скачать книгу «Математика для взрослых. Лайфхаки для повседневных вычислений» Поскитт Кьяртан бесплатно и без регистрации в формате fb2, rtf, epub, pdf, txt, читать книгу онлайн или купить книгу в интернет-магазине.Отзывы читателей
Подборки книг
Похожие книги
Другие книги автора
Информация обновлена:
Репетиторы по математике для взрослых в Москве
Популярные категории репетиторов математики: Подготовка к ЕГЭ Подготовка к ОГЭ (ГИА) Школьный курс Репетиторы на дом Занятия по скайпу Высшая математика
У репетитора или ученика
У репетитора
У ученика
Дистанционно
Только с фото
Только с отзывами
Только проверенные
Студент
Аспирант
Школьный преподаватель
Преподаватель вуза
Частный преподаватель
Носитель языка
До года
1—5 лет
5—10 лет
Больше 10 лет
Мужчина
Женщина
До 30 лет
30—50 лет
Старше 50 лет
Статистика:
1902 репетитора
8629 отзывов
Средняя оценка: 4,6 5 1
Найдено 1902 репетитора
Сбросить фильтры
Иосиф МенделевичПреподаватель вуза Стаж 48 лет
от 1 500 руб / час
свободен СвязатьсяРепетитор по математике
У ученика
Окончил школу с золотой медалью, при этом перешел из восьмого в десятый класс, сдав за девятый класс экстерном, поэтому не учился в девятом. Был Ленинским Развернуть
Отзывы
Замечательный преподаватель, с моей дочерью Юлией сразу нашли общий язык, занятия проходили интересно и эффективно, объяснял он очень понятно и доступно. Развернуть Дочь долго болела до этого, очень поздно мы обратились на ваш сайт с поисками репетитора. Мы занимались чуть больше месяца по 2 раза в неделю, но результат занятий был очень ощутим (алгебра и геометрия, ГИА, 9 класс). Мы с дочерью очень рады и благодарны Иосифу Менделевичу! В дальнейшем планируем продолжить сотрудничать с Иосифом Менделевичем в следующем учебном году. Все отзывы (48)
Галина ВикторовнаЧастный преподаватель Стаж 24 года
от 2 000 руб / час
свободен СвязатьсяРепетитор по математике
У ученика
Тьютор.Передаю опыт Учения.Сопрвождаю изучение предметов.Поддерживаю процесс самообразования.Полученное в МГУ фундаментальное советское Развернуть
Отзывы
Галина Викторовна — лучший тренер Москвы по математике! Благодаря ей моя дочь получила высокий балл на ЕГЭ и теперь очень довольна результатом! Занимались Развернуть интенсивно несколько лет, теперь ностальгируем по нашим занятиям, которые всегда проходили в доброжелательной атмосфере. Как преподаватель Галина Викторовна строгая и требовательная, однако, она и хвалила, и шутила и всегда поддерживала мою дочь. Мы очень благодарны ей за все — за наш результат по ЕГЭ, за профессиональный подход к делу и за приятное общение! От всей души желаем успехов ей и ее будущим ученикам!!! Все отзывы (61)
Мария ЛеонидовнаЧастный преподаватель Стаж 18 лет
от 2 500 руб / час
свободен СвязатьсяРепетитор по математике
У репетитора, дистанционно
Занимаюсь подготовкой к ОГЭ и ЕГЭ, помощью по школьной и вузовской программе, повышение успеваемости, подготовкой к олимпиадам.Подготовка к Развернуть
Отзывы
Наша семья благодарна Марии Леонидовне за организацию занятий с нашим сыном! Нашему сыну 14 лет, сложный подростковый возраст, преподаватель полностью Развернуть нашла с ним контакт. Успешно заполняются пробелы в знаниях по алгебре, геометрии и физике. Преподаватель всегда в теме, всегда в курсе школьной программы. Всё всегда вовремя, все наработки актуальны, постоянно распечатываются и прорабатываются новые задания, успеваем своевременно подготовиться к контрольным, к диагностическим раб
Математика для взрослых читать онлайн, Кьяртан Поскитт
… пор, пока кто-то не обнаружил, что 19 607 843 × 17 = 333 333 331. Кстати, если вам удастся найти между простыми числами общую закономерность, ваше имя будут помнить еще долго после того, как имена всех знаменитостей, которыми переполнена сейчас земля, канут в Лету.Умножение на пальцах
Таблица умножения для числа 9 — одна из самых сложных, но в наши дни почти каждому школьнику знаком изящный способ запоминания.
Поднимите ладони перед собой и представьте, что пальцы пронумерованы от 1 до 10 слева направо. Согните палец, соответствующий числу, которое вы хотите умножить на 9. Посчитайте, сколько пальцев находится слева и справа от согнутого пальца. Это и будет ответ (см. рисунок).
Но есть трюки и похитрее…
Зная таблицу умножения вплоть до 5 × 5, вы можете посчитать на пальцах любое произведение от 6 × 6 до 10 × 10. Сперва представьте, что пальцы каждой руки пронумерованы как 6, 7, 8, 9, 10.
Умножение больших чисел
Вы проехали 693 мили, чтобы устроить палаточный лагерь где-то у черта на куличках, и по возвращении домой обнаружили, что нет ключей от входной двери, которые вы, скорее всего, выронили, когда разбирали тент. Съездив за ними обратно, вы в итоге проехали по одной и той же дороге четыре раза. Сколько всего миль вы преодолели?
Честно говоря, после таких приключений вряд ли кому-то захочется садиться за подсчеты, но если вы все же решитесь, окажется, что числа выходят далеко за пределы таблицы умножения. Хитрость в том, чтобы умножать небольшими частями, к тому же (о радость!) вам ничего не придется умножать больше чем на 9. Рассмотрим по пунктам, как умножить 693 на 4.
Запишем выражение так:
Умножим на 4 сначала 3, затем 9 и наконец 6, следя за тем, чтобы результаты были записаны в нужных местах. Начнем справа, с единиц. Считаем: 3 × 4 = 12. Пишем 2 под 4 и ставим маленькую единичку над пустым местом слева.
Теперь умножаем 9 × 4 = 36 и, прибавив маленькую единичку, получаем 37. Пишем 7 в ответ, а маленькую тройку ставим над следующим пустым местом.
И наконец, считаем 6 × 4 = 24. Прибавив маленькую тройку, получаем 27. Больше умножать нечего, так что пишем внизу 27 и получаем ответ! Вышло довольно изящно. (Надеюсь, это поднимет вам настроение после неурядиц с ключами.)
Теперь перейдем к умножению больших чисел. Допустим, нужно умножить 517 на 38. Традиционный способ — умножить 517 на 30, затем 517 на 8 и сложить оба полученных числа. Пусть и неуклюже, но зато работает.
Запишем выражение так, как показано, и проведем внизу несколько дополнительных линий. Сначала умножим 517 на 30. Запишем 0 под 8 для того, чтобы остальная часть ответа оказалась в правильном месте.
Теперь умножаем 517 на 3. Начнем с 7 × 3 = 21. Единицу записываем в тот столбец, где стоит 3, а маленькую двойку добавляем в следующий столбец. Обратите внимание, дальше нужно считать 1 × 3 = 3! (По невнимательности легко пропустить цифру.) Прибавляем 2 к 3 и, получив 5, записываем 5 в ответ. Наконец, 5 × 3 = 15: пишем это число спереди.
Теперь вычисляем 517 × 8, записывая ответ линией ниже. При умножении 7 × 8 = 56 шестерка попадает в тот столбец, где стоит 8.
Выяснив, сколько будет 517 × 30 и 517 × 8, складываем оба результата. Получается 15 510 + 4136 = 19 646. Это и есть окончательный ответ!
Надежный способ умножения
Хотя этот способ требует большей подготовки, чем традиционный, зато он гарантирует, что все нужные числа будут перемножены, а ответ окажется в правильных столбцах.
Чтобы вычислить, сколько будет 517 × 38, нарисуем сетку, через клетки которой проходят диагональные линии. Запишем числа, которые нужно перемножить: одно вдоль верхней стороны, другое сверху вниз вдоль боковой.
Заполняем каждую ячейку, умножая число над ней на число сбоку. Например, чтобы заполнить верхнюю левую ячейку, посчитаем: 5 × 3 = 15. Записываем результат: 1 над диагональю, 5 под ней.
Если при умножении получается одноразрядное число (например, 1 × 3 = 3), пишем его как 03 — 0 над диагональю, 3 под ней.
После того как заполним все ячейки, просто сложим числа вдоль диагоналей. (Обратите внимание: 8 + 5 + 1 = 14, поэтому пишем внизу 4 и добавляем маленькую единичку в следующую колонку.)
Возможно, приверженцам традиционного подхода милее старый способ, но и они, пожалуй, согласятся, что с ним легко запутаться при умножении неудобных десятичных дробей1, например 64,29 × 27,3. С новым же способом все просто.
Чтобы узнать, где в ответе поставить запятую, ищем место пересечения линий, идущих от запятых в перемножаемых числах, и двигаемся оттуда по диагонали до самого низа.
Если запятая есть только в одном из чисел, записываем его справа и смотрим, куда приходит диагональ, начинающаяся возле этой запятой, у самого края сетки.
Умножение сотен и тысяч
Сколько будет 3000 × 900? Все просто: перемножаем числа, стоящие спереди (3 × 9 = 27), а затем складываем количество нулей в конце обоих чисел и приписываем их в конец ответа. Поскольку здесь нулей пять, получаем 2 700 000.
Но вычисляя, сколько будет 7500 × 80, надо быть чуть осторожнее. Сперва перемножаем 75 × 8 = 600. Теперь добавляем еще три нуля, по числу нулей в обоих первоначальных числах. Ответ: 600 000.
Чтобы 1030 умножить на 50, сперва берем 103 × 5 = 515. Затем добавляем два нуля и получаем 51 500. Ноль между 1 и 3 в числе 1030 учитывать не надо, он уже сыграл свою роль при умножении 103 на 5.
Умножение отрицательных чисел
Если только одно из перемножаемых чисел отрицательное, ответ будет отрицательным. Если отрицательные оба числа, ответ будет положительным.
3 × 2 = 6
3 × −2 = −6
−3 × 2 = −6
−3 × −2 = +6
Почему отрицательное × отрицательное = положительное?
Проще всего объяснить это на наглядном примере… Представьте, что на улице густой туман и вы бежите к дому от автобусной остановки. Ваша скорость: +3 мили/ч. Это положительная скорость, поэтому через час вы приблизитесь к дому на 3 мили.
Допустим, что вы бежите со скоростью 3 мили/ч, но в противоположную сторону. Это отрицательная скорость –3 мили/ч, и через час вы окажетесь на 3 мили дальше от дома.
Теперь вы опять стартуете от автобусной остановки, но на этот раз решаете бежать вдвое быстрее. Если вы бежите в сторону дома, ваша скорость: 3 × 2 = 6 миль/ч, если — в противоположную, то –3 × 2 = –6 миль/ч.
Давайте в последний раз устроим забег от остановки, но поскольку — внимание! — на улице до сих пор густой туман, вам приходит в голову, что, возможно, вы бежите не в ту сторону. Поэтому вы решаете не только удвоить скорость, но и бежать задом наперед. Это соответствует умножению вашей скорости на –2. Если вы смотрите в сторону дома, то будете удаляться от него с удвоенной скоростью: 3 × –2 = –6 миль/ч. А если смотрите в противоположном от дома направлении, то скорость составит –3 × –2 = +6 миль/ч. Фактически вы будете приближаться к дому вдвое быстрее!
(Итак, только что мы доказали, что смотреть в сторону, противоположную цели, и бежать задом наперед ничуть не хуже, чем смотреть в правильную сторону и бежать вперед. Однако это лишь математический пример. Автор и издатель не несут ответственности за травмы, полученные при… В общем, вы поняли.)
Отрицательные знаки отменяют друг друга не только в математических расчетах. Порой в газетных заметках содержится столько отрицаний, что и не поймешь, о чем речь. Вот пример:
Миссис Бомонт отрицает, что она отказалась опротестовать апелляцию против отмены запрета футболистам срывать с себя футболки.
Так нравятся миссис Бомонт голые по пояс футболисты или нет? Я подскажу: она хранит свой сезонный абонемент на футбол в той же сумочке, что и бинокль.
Три фокуса с калькулятором
Возьмите калькулятор и введите 12345679 (цифру 8 пропускаете). Теперь умножьте это число на любое число из таблицы умножения для числа 9 (например, 9, 18 или 27…).
Возьмите любое число от 100 до 999 и введите его в калькулятор. Теперь умножайте его, нажимая на следующие кнопки: × 7 × 11 × 13 =
Возьмите любое число от 10 до 99 и введите его в калькулятор. Теперь нажимайте кнопки × 3 × 7 × 13 × 37 =
А если вы знаете лишь таблицу умножения на два…
Невероятно, но факт! Вы можете перемножить два любых числа исключительно путем умножения и деления на 2! Этот способ называют «русским народным умножением», хотя его также использовали древние египтяне, и он до сих пор применяется в некоторых компьютерных системах, а уж инопланетные формы жизни, как известно, вообще жить без него не могут. Вот как умножить 326 на 28, пользуясь только таблицей умножения на два.
Записываем числа, которые нужно перемножить (326 и 28), вверху листа бумаги и проводим между ними вертикальную линию.
Делим первое число (326) на 2, игнорируя остаток (если он есть), и записываем ответ ниже. Продолжаем делить на 2 и записывать числа сверху вниз, пока наконец не получим 1.
Теперь последовательно умножаем второе число (28) на 2, записывая ответы рядом с ответами в первой колонке, пока не дойдем до 1.
Вычеркиваем из второй колонки числа, стоящие напротив четных чисел в первой колонке.
Складываем оставшиеся во второй колонке числа.
Готово!
ДЕЛЕНИЕ
Без деления математические задачи были бы куда проще. Если взять два числа и применить к ним операции +, − и ×, а затем ÷, станет ясно, почему. Давайте возьмем числа 9 и 7.
9 + 7 = 16… легко! 9 − 7 = 2 … проще простого!
9 × 7 = 63… не проблема.
Однако на вопрос, сколько будет …
5 занимательных математических уловок | Блог издательства «Манн, Иванов и Фербер»
Кругозор
5 занимательных математических уловок3 августа 2016 7 736 просмотров
Сергей Капличный
Как у вас обстоят дела с математикой? Любили ли вы в школе решать примеры или у вас возникали проблемы при сложении и вычитании? Насколько вы уверены в знаниях и готовы ли вы прокачать свои навыки?
«Математика для взрослых» — самый дружелюбный и доступный учебник по математике. Книга поможет разобраться с базовыми терминами и вычислениями, научит применять их в жизни, а также расскажет о математических трюках, которыми можно удивить друзей. Остановимся на трюках.
Умножение на пальцах
Таблица умножения для числа 9 — одна из самых сложных, но в наши дни почти каждому школьнику знаком изящный способ запоминания.
Иллюстрация из книги «Математика для взрослых»
Поднимите ладони перед собой и представьте, что пальцы пронумерованы от 1 до 10 слева направо. Согните палец, соответствующий числу, которое вы хотите умножить на 9. Посчитайте, сколько пальцев находится слева и справа от согнутого пальца. Это и будет ответ.
Лишние нули
Запомните следующий прием. Положим, вам нужно посчитать, сколько будет 6000 ÷ 200. Задачу можно существенно упростить, убрав с конца каждого числа одинаковое количество нулей. То есть 6000 ÷ 200 можно упростить до 60 ÷ 2, что равняется 30. Так проще!
Укрощение процентов
Проценты многих отталкивают, однако достаточно один раз разобраться и всё становится на свои места. Взгляните на изображение:
Иллюстрация из книги «Математика для взрослых»
Владелец магазина явно хотел снизить цену обратно до 20 фунтов, что же пошло не так? Когда вы берете некую цену и выполняете с ней более чем одно действие, помните, что 100% — это изначальная цена и все вычисления процентов должны отталкиваться именно от нее. Продавщица подняла цену на 40%, и новая цена составила 140% от исходной (20 × 140% = 28 фунтов).
Когда продавщица уменьшала цену на 40%, ей нужно было взять 40% от исходной цены и вычесть это значение из новой цены. Тогда бы цена вернулась обратно к 100%. Ошибка состояла в том, что продавщица приняла новую цену за 100% и взяла 40% от нее.
Метры
Знаете ли вы, что изначально метр был определен как 1/10 000 000 расстояния от экватора до Северного полюса вдоль линии, проходящей через Париж. Таким образом, расстояние от экватора до Северного полюса равно 10 000 км, а длина окружности экватора — приблизительно 40 000 км. В действительности же Земля не идеально круглая, и длина экватора равна примерно 40 075 км.
Иллюстрация из книги «Математика для взрослых»
Умножение сотен и тысяч
Сколько будет 3000 × 900? Все просто: перемножаем числа, стоящие спереди (3 × 9 = 27), а затем складываем количество нулей в конце обоих чисел и приписываем их в конец ответа. Поскольку здесь нулей пять, получаем 2 700 000.
Но вычисляя, сколько будет 7500 × 80, надо быть чуть осторожнее. Сперва перемножаем 75 × 8 = 600. Теперь добавляем еще три нуля, по числу нулей в обоих первоначальных числах. Ответ: 600 000.
Чтобы 1030 умножить на 50, сперва берем 103 × 5 = 515. Затем добавляем два нуля и получаем 51500. Ноль между 1 и 3 в числе 1030 учитывать не надо, он уже сыграл свою роль при умножении 103 на 5.
P.S. Понравилось? Подписывайтесь на нашу полезную рассылку. Раз в две недели присылаем подборку лучших статей из блога.