Математика в уме как называется: Эта японская методика научит любого ребенка быстро считать в уме

Содержание

Методика быстрого счета без калькулятора

Цифры окружают нас с детства. Еще до школы или в первом классе человек учится складывать и вычитать, решать простые примеры и задачи. Позже он осваивает таблицу умножения, переходя к более сложной части математических упражнений. Большинство людей может производить в уме только простые вычисления. А вот умножение и деление больших значений приходится выполнять на бумаге или с помощью калькулятора. Но можно ли как-то научиться хорошо считать без использования подручных средств?

Быстрый счет без калькулятора

Жизнь любого современного человека неотрывно связана с числами. Без умения считать невозможно выполнять самые простые повседневные задачи. Конечно, сегодня у людей появились умные помощники – калькуляторы, смартфоны, компьютеры, но даже они могут иногда подвести – сломаться или не вовремя разрядиться. Да и не всегда можно полагаться на гаджеты, ведь на экзаменах в школе или в ВУЗе они не помогут.

Именно поэтому многие люди стремятся научиться хорошо считать без помощи подручных средств. Особенно это актуально для школьников, ведь если с детства освоить техники быстрого устного счета, то и учеба в школе, и различные задачи во взрослой жизни будут даваться легче.

Есть еще одна серьезная причина для того, чтобы начать тренироваться хорошо считать в уме. Устный счет развивает человеческий мозг и способствует росту уровня интеллекта. Поэтому даже те студенты, которые обучаются на гуманитарных специальностях, все равно изучают такие точные науки, как высшая математика и математический анализ. Упражнения, направленные на устный счет больших чисел, являются отличной зарядкой для ума. Так развитие интеллекта и удобство в быту – это две самые главные причины научиться хорошо считать без калькулятора.

Человечество еще с древности стремилось найти такие способы быстрого счета. И речь не только о простых вычислениях, таких как сложение и вычитание, но и о более сложных – об умножении и делении. Пусть это и занимает много времени, но складывать и вычитать большие значения все же можно без предварительной подготовки, а вот такие действия, как умножение двузначных чисел, недоступны большинству людей.

Но, благодаря труду математиков со всего земного шара, сегодня появились некоторые математические хитрости, позволяющие считать в уме не только однозначные, но и двузначные числа. Чтобы понять принцип их работы, лучше рассмотреть каждый из этих приемов отдельно.

Популярная система быстрого счета

Существует несколько видов основных математических операций – сложение, вычитание, умножение и деление. И если с нахождением суммы и разности все более или менее понятно, то другие вычисления производить намного сложнее. Рассмотрим самые популярные математические хитрости, направленные на удобное умножение и деление в уме.

Умножение любого числа на 9

Решать устно такие примеры очень легко. Для этого достаточно умножить нужное значение на 10 и вычесть из получившегося ответа это же число.

Например, нам нужно найти результат умножения 19 и 9. Пример будет выглядеть так: 19*10-19= 190-19=171. Этот прием достаточно легко применять на практике.

Умножение любого числа на 11

Похожим образом выглядит умножение любого значения на 11: мы находим произведение нашего числа и 10, а затем прибавляем к получившемуся выражению наше число. Допустим, мы ищем сколько будет 67*11, так у нас получается следующий пример: 67*10+67=670+67=737.

Умножение двузначного числа на однозначное

Проще всего производить такую операцию методом разбора множителей на десятки и единицы. Допустим, нам требуется перемножить 56 и 8. Для этого мы разделяем 56 на составные части, получается 50 и 6. Теперь мы отдельно перемножаем наши десятки и единицы на однозначное число и ищем их сумму. Получается 50*8+6*8=400+48=448. Но чем больше знаков в каждом из перемножаемых значений, тем сложнее производить подобные операции в уме.

Умножение двузначного числа на двузначное

Нахождение результата умножения двузначных чисел похоже на предыдущий метод. К примеру, необходимо найти произведение 24 и 52. Для этого мы разбиваем одно из чисел на десятки и единицы и перемножаем их на наш множитель, а затем складываем полученные выражения: 20*52+4*52=1040+208=1248. Чем больше каждое из чисел, тем сложнее находить результат умножения.

Нахождение процента от числа

Чтобы найти процент от любого значения, нужно умножить данное число на размер искомого процента и разделить на сто. Лучше рассмотреть данный подход на примере. Допустим, требуется найти 12% от 74. Мы производим умножение 12 и 74, разбирая это выражение на составные части. Получается 10*74+2*74=740+148=888. Теперь мы делим наш результат на 100 и получаем ответ – 8,88%. Так удается легко находить процент от любого значения без помощи калькулятора.

Деление многозначного числа на однозначное

Чтобы найти ответ на такой пример, нужно вспомнить таблицу умножения. Допустим, нам требуется разделить число 138 на 6. Для этого мы разбиваем делимое на части, получается 13 десятков и 8 единиц. Делим 13 на 6, получаем 2 и 1 в остатке. Это значит, что десятком в нашем ответе будет число 2. Остаток, а это 1 десяток, мы складываем с единицей делимого, получается 18. Делим 18 на 6, получается 3. Теперь складываем получившиеся десятки и единицы: 20+3=23. Целое выражение будет выглядеть так: 120/6+(10+8)/6=20+18/6=23.

Существуют и другие, более сложные приемы устных математических вычислений, которые позволяют выполнять операции с многозначными числами. Но и освоить эти техники труднее, так как они требуют высокой концентрации и хорошо развитой памяти.

К плюсам всех подобных приемов можно отнести уже то, что такому счету можно научиться достаточно быстро. Перечисленные способы имеют множество вариаций от простых до более сложных, поэтому некоторые из них охотно используют даже дети. Но все эти методы имеют один существенный недостаток, который не позволяет им называться полноценной системой счета в уме.

Такие способы вычислений подразумевают соблюдение целого ряда условий.

Например, правила для умножения трехзначных чисел отличаются от правил для двузначных. Поэтому приходится запоминать большое количество условий, чтобы можно было применять в быту такие способы счета. Все это делает подобные методы сложения, вычитания, умножения и деления скорее зарядкой для ума, чем продуктивным подходом к вычислениям.

Но существуют и кардинально иные техники, позволяющие развить навыки человека и научиться очень хорошо считать без подручных средств. Одной из самых популярных методик быстрого устного счета является ментальная арифметика. Рассмотрим ее преимущества подробнее.

Как научить ребенка считать в уме

Ментальная арифметика – это далеко не новая система быстрого счета, ведь она зародилась еще в древности, около пяти тысяч лет назад. С тех пор данная методика не претерпела серьезных изменений и дошла до нас в практически первозданном виде. В ее основе лежат вычисления на абакусе – специальных счётах. Сначала человек учится решать простейшие примеры на них, а затем постепенно переходит к более сложному этапу обучения – учится представлять абакус в уме и производить вычисления на нем в своем воображении.

Лучше всего ментальная арифметика подходит именно детям. Нет, взрослые также могут ее освоить, но для этого им придется абстрагироваться от привычных методов операций с числами, а ребенок справляется с этим намного легче. Для него ментальная арифметика является не только помощником на уроках математики, но и способом развить свои интеллектуальные способности до очень высокого уровня.

Весь секрет этой методики в том, что она подразумевает разностороннее развитие человека. За логику и анализ отвечает правое полушарие мозга, именно оно задействуется на обычных уроках математики, когда мы решаем примеры или задачи. Правое полушарие, отвечающее за креативное мышление и фантазию, в этом случае к работе почти не подключается, а значит и не развивается должным образом. А ведь все области человеческого интеллекта необходимо тренировать.

Так как ментальная арифметика задействует и аналитическое мышление, и воображение, она является даже не столько способом быстро решать математические задачи, сколько средством для всестороннего развития.

Другие методики чаще всего направлены на тренировку какой-то одной способности, а данная техника работает комплексно. Именно это выделяет ее среди прочих и делает одной из самых популярных систем развития интеллекта ребенка.

Обучение ментальной арифметике занимает достаточно много времени, но те преимущества, которые она дает, оправдывают затраченные усилия. Когда речь идет об обучении ребенка по данной методике, важно подобрать правильную программу тренировок. Ключевым фактором успеха является соблюдение плана занятий и контроль их регулярности. Несмотря на то, что в открытых источниках в интернете можно найти много информации по этому запросу, не всегда удается самостоятельно освоить ментальную арифметику. Поэтому большинство родителей предпочитают обучать ребенка этой технике в детских центрах дополнительного образования.

Как выбрать эффективную методику

Сегодня многие учебные заведения предлагают пройти курсы ментальной арифметики. Но детское образование – это очень сложный и многогранный процесс, поэтому родители должны походить к нему внимательно, и выбирать такие занятия, которые точно принесут пользу.

Выбирая школу ментальной арифметики, обращайте внимание на то, чтобы обучение велось по проверенной методике и учитывало возрастные особенности каждого ребенка. Нельзя, чтобы в одной группе обучались дети из начальной школы и старшеклассники, ведь в каждом возрасте своя скорость освоения, запоминания и закрепления материала.

К тому же, маленьким детям лучше всего преподавать любой предмет в игровой форме. Так они не будут уставать учиться и смогут сохранять концентрацию в течение всего урока. Внедрение игры в образовательный процесс способствует повышению интереса ребенка к математике.

Очень важно, чтобы тренер успевал уделить внимание каждому ученику в процессе занятия, но это возможно только в небольших группах. Поэтому стоит отдавать предпочтение тем детским центрам, где педагог обучает не более десяти детей единовременно. Только тогда удастся заниматься с максимальной продуктивностью.

Если учебный план организован правильно, то ребенку удастся приобрести полезные навыки, благодаря которым математика станет для него интересным и любимым предметом. Все это положительно скажется на успеваемости в школе, ведь, когда учеба дается легко, заниматься намного веселее.

Все это делает обучение ментальной арифметике самым продуктивным способом освоения быстрого устного счета.Ребенку больше не придется прибегать к различным математическим хитростям, чтобы легко справляться с задачами и примерами. Ученик приобретает навыки, которые сохраняются на всю жизнь, а значит они пригодятся ему не только в учебе, но и в карьерной деятельности. Все это делает обучение данной технике отличным вкладом в будущее своего ребенка.

Дети-калькуляторы: тверские математики используют тысячелетнюю методику для развития IQ школьников

Корреспондент Tverigrad.ru выяснил, каких успехов добиваются дети после обучения в Центре ментальной арифметики.

Как мне кажется, мало кто в Твери слышал о ментальной арифметике. Между тем это древнейшая методика, развивающая IQ у детей, была основана несколько тысяч лет назад в Японии. И она даёт колоссальный эффект. У школьников в разы повышается успеваемость, они становятся более самостоятельными, им гораздо легче даются уроки. Мистика, скажете вы. Корреспондент Tverigrad.ru убедился, что методика действительно работает. Так что же такое ментальная арифметика?

Эта методика учит детей за секунды решать в уме математические задачи — сложение, вычитание, умножение, деление. Ребята выдают ответ настолько быстро, что не успеваешь достать калькулятор. Со стороны это кажется невероятным. В чём же секрет фокуса? На этот вопрос Tverigrad.ru ответили отец и сын Былинкины, которые вот уже несколько лет учат тверских детей ментальному счёту.

— Это не фокусы, не шоу по телевизору, где всё подстроено. Для непосвящённого всё кажется «Вау!», а для посвящённого — картина ясна, — говорит Былинкин младший, которого зовут Сергей.

Неизвестная математика

Согласитесь, математическая грамотность нужна абсолютно всем. В повседневной жизни нам приходится решать множество незамысловатых арифметических задач: расплачиваясь в магазине, рассчитывая время, занимаясь ремонтом квартиры и так далее. Большинство из нас делают вычисления в уме одинаково, как учили в школе. Легко вычитать и складывать числа, состоящие из одной цифры. С двузначными тоже многие обращаются в уме неплохо. Трёхзначные можно разбить на меньшие, проще решаемые. Однако на всё это уходит время. А порой цифры приводят к тому, что голова идёт кругом.

Ментальная арифметика учит представлять в голове не цифры, а образы. Мастера быстрого счёта уверены, что это делает вычисления в уме более простыми.

На занятиях детей учат счёту с помощью специальной доски, которая называется абакус. Она похожа на счёты из советских магазинов, те самые с костяшками, обозначающими десятки и единицы. Дети перебирают эти костяшки пальцами, и шаг за шагом у них развивается воображение. Когда всё отрабатывается до автоматизма, абакус убирается и дети считают в уме. Они представляют образ японских счетов и решают вычислительные примеры.

К слову, при подсчёте крупных чисел используются специальные формулы. Так что таблицу умножения всё равно нужно учить. Без неё никуда.

В первом классе дети осваивают счёт только до 30. Младший брат Сергея в свои шесть лет уже бегло считает сотни. Взрослому человеку научиться ментальному счёту, мягко говоря, непросто, поскольку надо напрочь перенастроить свой мозг. Поэтому выполнять математические операции столь необычным способом учат в основном детей.

— У нас занимаются 168 детей от шести лет. Их мозг в отличие от взрослых людей ещё не забит лишней информацией. Мы наполняем его только самыми необходимыми и нужными для учёбы и жизни, — говорит Былинкин старший, которого зовут Андрей.

По словам математика, проблемы успеваемости детей в современной школе связаны с тем, что они уже с раннего возраста пользуются смартфонами и планшетами. Гаджеты откровенно захламляют мозг и воруют время учеников. У них появляется вялость, понижается уровень энергии.

Гармония полушарий

Есть одна особенность в работе с абакусом. Перебирать костяшки обязательно нужно двумя руками одновременно. Таким образом ребёнок по максимуму задействует мозг.

— В большей степени наш мозг работает только одним полушарием. В итоге незадействованные нейронные связи со временем отмирают навсегда. А ментальная арифметика помогает детям развивать оба полушария, — объясняет Сергей.

Оказывается, существует множество упражнений, которые при своей кажущейся простоте выполнить очень сложно. Попробуйте сами. Например, указательный и средний пальцы на одной руке показывают букву «V», другая рука с оттопыренным вверх большим пальцем показывает «класс». Затем быстро одновременно меняем жесты на пальцах обеих руках и пробуем не запутаться. Это упражнение эффективно улучшает работу мозга, говорят педагоги по ментальной арифметике.

Есть ещё одно упражнение: за 20 секунд показать по порядку числа от 1 до 25 в таблице случайно расположенных чисел. Корреспондент Tverigrad.ru справился с этой задачей секунд за 40-45. Педагог по ментальной арифметике — за 15 секунд, причём таблица была перевёрнута вверх ногами.

— Мы позиционируем себя как тренажёрный зал для мозга. Мы сами разрабатываем упражнения для развития интеллекта и проверяем их на себе. Сотрудничаем с психологами, нейропсихологами, неврологами. На данный момент у нас больше 35 абсолютно разных упражнений. Они развивают скорость мышления, концентрацию, память. После наших занятий дети запоминают около 10 элементов. Например, я называю 10 абсолютно несвязных слов, а ребята их повторяют. У нас на данный момент рекорд 25 слов. Для сравнения, по статистике взрослый нетренированный человек запоминает 6 слов, — говорит Сергей Былинкин.

А как отзываются об этой методике родители, дети которых занимаются в школе ментальной арифметики, спросите вы. По большому счету именно они могут сказать насколько это полезно для их детей. Многие родители, а также учителя замечают положительный эффект от таких занятий. Однако решиться отдать ребёнка в школу ментальной арифметики могут не все. Здесь самое главное выбрать правильного педагога. Ведь исправить ошибки и недочёты гораздо сложнее, чем сразу научить правильно.

Яна занимается ментальной арифметикой у Былинкиных около года и, по её словам, родители замечают результаты, курсы дали свои плоды.

Детей, которые овладевают ментальной арифметикой, наверняка, многие представляют себе зомбированными на быстрый счёт. Однако смысл совсем не в этом. Главное здесь эффект всестороннего развития ребёнка.

— В Твери есть несколько центров, которые занимаются ментальной арифметикой. Мы отличаемся от них тем, что не ставим основной своей целью научить ребёнка считать и решать математические задачи. С помощью этой методики дети, например, легко и быстро запоминают стихи. После двух-трёх месяцев занятий — по часу в неделю — стихи дети запоминают за 10 минут. Дети с лёгкостью пишут изложения, осваивают изучение иностранного языка и успешнее справляются с другими задачами. Успеваемость в школе повышается по всем предметам, — говорит Андрей Былинкин. — У нас есть масса интересных заданий, чтобы проявить у детей желание заниматься. В школах этого, к сожалению, не хватает.

В среднем ментальной арифметике обучаются примерно 1-2 года в зависимости от способностей. Но можно и дольше. В Твери ежегодно проходят Олимпиады по ментальной арифметике. В них принимают участие более сотни учеников. 19 мая такая олимпиада прошла в досуговом центре «Истоки».

Сейчас многих родителей заботит вопрос, чем занять ребёнка летом, чтобы было не скучно и полезно. Ментальная арифметика — вероятно, не самая плохая идея.

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

Тренажер устного счета онлайн | Клуб любителей математики

Данный тренажер является одним из тренажеров по математике для развития навыков устного счета с удобным, интуитивно-понятным интерфейсом.

Принцип работы основан на генерации примеров по математике подходящего вам уровня сложности для всех классов, решение которых способствует развитию навыков устного счёта.

Приложение благоприятно влияет на умственную деятельность как детей, так и взрослых.

Разнообразие режимов

На странице настроек режима можно задавать необходимые параметры генерации примеров по математике для любого класса.

Тренажер устного счета позволяет отрабатывать 4 небезызвестных арифмитических действия на шести уровнях сложности.

Далее корректируете вид математического примера выбирая тип, устанавливая количество слагаемых, манипулируя числовыми множествами.

На данном этапе разработки были продуманы и реализованы режимы, позволяющие работать с двумя множествами чисел: Положительными и Отрицательными. В каждом из ним можно попрактиковаться в различных типах заданий: «Пример», «Уравнение», «Сравнение».

— этот режим включает в себя обычные арифмитические примеры по математике состоящие из двух или трёх чисел.

— режим, искомое число в котором может находиться на любой позиции.

— режим, в котором необходимо правильно поставить знак сравнения между результатами двух примеров.

Все изменения настроек сразу применяются и Вы тут же можете увидеть как будет выглядеть новый пример в графе «Например». А когда подбор нужных характеристик окончен, нажмите на кнопку ПОЕХАЛИ.

Бонусом является возможность загрузить и в дальнейшем распечатать «самостоятельную работу» в формате PDF, состоящую из 26 примеров соответствующего режима, кликнум по значку Принтер.

Процесс счёта

Вверху представлены 4 кнопки быстрого доступа: к главной странице сайта, профилю пользователя. Также есть возможность включить/отключить звковые уведомления или перейти к Протоколу ошибок и подсказок.

Вы решаете заданый пример, вводите ответ с помощью экранной клавиатуры, нажимаете на кнопку ПРОВЕРИТЬ. Если затрудняетесь дать ответ, воспользуйтесь подсказкой. После проверки результат Вы увидите сообщение либо о правильно введенном ответе, либо об ошибке.

Если по какой-либо причине вы хотите обнулить свои результаты, нажмите на иконку «Сбросить результат» спарва.

Игровая форма

Приложение также предусматривает игровую анимацию «Сражение фехтовальщиков».

В зависимости от правильности введенного ответа, удар наносит тот или иной фехтовальщик, оттесняя своего оппонента. Однако стоит учитывать, что каждую секунду бездействия противник теснит вашего игрока, и при продолжительном ожидании выскакивает сообщение о проигрыше.

Такой интерфейс делает процесс решения математических примеров более интересным, являясь также простой мотивацией для детей.

Если режим с анимацией вам мешает, его можно отключить на странице установок с помощью иконки

Протокол ошибок

В любой момент работы с тренажером вы можете перейти к разделу приложения «Протокол ошибок», кликнув на соответствующую иконку сверху, либо перелестнув страницу вниз.

Здесь вы сможете посмотреть свою статистику (количество примеров по категориям) за последние сутки и по последнему режиму.

А также увидеть список ошибок и подсказок (максимум 6 штук), либо перейти к подробной статистике.

Дополнительная информация

Хотим также обратить внимание, что ссылка на какой-либо режим имеет довольно простой вид:

домен сайта + раздел приложения + кодировка данного режима

например: matematika.club/app/#12301

Таким образом Вы легко можете пригласить любого человека посоревноваться в решении арифметических примеров по математике, просто передав ему ссылку на текущий режим.

Математика для дошкольников — онлайн-курсы и уроки по математике

Российская актриса театра, кино и дубляжа, телеведущая, певица

«До начала занятий в Матклассе @matclass мы все были уверены, что Агафья чистый гуманитарий. Услышав слово «математика» 🧮, мы дружно закатывали глаза и тяжело вздыхали 🙄

Но в этом году дочка уже перешла в 9 класс, когда этот предмет хочешь-не хочешь придется сдавать в виде переводного экзамена ОГЭ 📚, поэтому я поняла, что необходимо найти ребенку хорошего педагога, причем из-за пандемии 🦠 я сразу решила, что буду рассматривать только онлайн-занятия.

По рекомендации подруги, обратилась в Маткласс, где уточнили наши цели и задачи, психологические особенности ребенка, его отношения с математикой и подобрали нам потрясающего молодого педагога.

С первого же коротенького ознакомительного 45-минутного урока ребенок к нам прибежал с горящими глазами. Мамочка, спасибо, мне так понравилось! Это было так интересно! Давай я буду заниматься 2 раза в неделю с этим учителем, чтобы побыстрее убрать пробелы! 🎓

Мы с мужем переглянулись и одновременно захотели себя ущипнуть… Это наша Агаша? После урока математики???

Конечно, сразу договорились с педагогом на 2 раза в неделю вместо одного. Учитель нащупал у дочки пробелы с 5 класса. Стали этот клубок 🧶 «недознаний» постепенно распутывать.

И сейчас Агаша мне говорит, что многие вещи в математике, которые раньше ее пугали и казались ну просто невыполнимо сложными, на самом деле, если с правильной точки зрения посмотреть, очень просты и понятны.

Надеюсь, до ОГЭ ее позитивный настрой сохранится. Потому что ребенок даже решил по собственной воле ходить на школьные дополнительные уроки по математике, чего раньше никогда не делал под разными благовидными предлогами! 🙅🏻‍♀️

Я очень впечатлена результатами всего пары месяцев занятий и планирую отправить Агашу на каникулы в математический лагерь Маткласса в Подмосковье. 👩🏻‍🏫

От души рекомендую и вам подарить своему ребенку любовь к математике.»

Дар или навык? Что такое математические способности и как их развить

Успехи других людей – это всегда немного загадка. Почему у одних получается решать сложные математические задачи, а другие, как бы ни старались, не могут выйти на новый уровень? Неужели математика и правда подвластна не всем? На эти вопросы ответил Назар Агаханов, председатель Центральной предметно-методической комиссии по математике Всероссийской олимпиады школьников. С 1995 года руководил национальной командой России на международных математических олимпиадах. 

В 2010 году Назар Хангельдыевич стал лауреатом премии Правительства РФ в области образования за научно-практическую разработку «Система развития всероссийских предметных олимпиад школьников, отбора и подготовки национальных сборных команд России на международные олимпиады по физике и математике». Когда проявляются математические способности, как их развивать и кому не стоит идти в олимпиадное движение – рассказал эксперт.

Фото: https://mipt.ru/

Математические способности – это умение построить новые модели, не повторяющие стандартные алгоритмы, которым научили в школе. На базе таких маленьких открытий и строятся наука и технологии. Именно поэтому математика позволяет находить способных детей. 

Некоторые ученые считают, что порядка 10% людей обладают высокими математическими способностями. И это нормально. Если нет математических способностей, значит, есть что-то другое. Важно помогать детям открывать интересные сферы, но не навязывать. 

«Каждый родитель хочет, чтобы его ребенок вырос успешным человеком, и сейчас очень популярна позиция, что развивать нужно с пеленок. Может быть, так и есть, но в  любом случае лучше отталкиваться от искреннего интереса ребенка. Талант погибнет, если заставлять его делать несвойственное. Часто родители хотят использовать любые возможности, в частности, например, отправляют заниматься ментальной арифметикой, ложно полагая, что это шаг в математику, но это бессмысленная трата времени, ведь математика – это творчество. Не зря же задачи и решения называют красивыми», – говорит Назар Агаханов.

Чаще всего склонность к математике начинает проявляться в начальной школе, но это не значит, что сразу нужно вести ребенка на несколько кружков и интенсивно развивать эти способности. Достаточно одного урока занимательной математики в неделю. 

Более серьезные кружки начинают работу с учениками 5-6 классов. На этом этапе изучения математики обогнать сверстников очень легко. Круг задач еще достаточно узок и владение приемами их решения позволяет обойти даже, возможно, потенциально более сильных сверстников именно за счет знаний, а вот дальше, в 7-8 классах, для высоких результатов нужно чувствовать математику, здесь и проявляются математические способности. В это время преподаватели работают со школьником на развитие математического аппарата, укрепляется который уже в старших классах. 

Поэтому нередко бывает, что ярко проявляющие себя в 5-7 классах школьники начинают терять свои позиции в старших классах и выгорают от непонимания, почему теперь не получается быть сильнее других. Хотя выгорание возможно и по другой причине –  слишком долгие занятия олимпиадными задачами. Интерес все-таки нужно поддерживать, переключаясь на другую деятельность. 

  

Характер и воля: что помогает добиваться успехов в олимпиадах

Трудолюбие и готовность много работать – наверное, самые очевидные качества, которые нужны в любой сфере для достижения высоких результатов. 

«Способности – это фундамент. Чтобы подняться на несколько ступенек вверх, нужно работать. При наличии этих двух пунктов и еще хорошего педагога, все остальное уходит на второй план. Даже атмосфера в семье и материальное благополучие. В сборную часто попадают дети,  у которых не очень устроено семейное положение. Можно даже сделать частный вывод, что чем больше благоустроен быт, тем меньше ребенок настроен трудиться», – рассказывает Назар Агаханов.

Еще один важный пункт, над которым нужно работать каждому олимпиаднику, – психологическая устойчивость. На олимпиаде ребенок от волнения может показать результат хуже, чем его потенциал. Более ярко это проявляется в спорте, когда ребенок, приезжая на международные соревнования, проваливается. Нужно уметь воспринимать состязания не как конкурс, где тебе придется преодолевать невероятные сложности, а как  удовольствие от того, что ты встретишься с интересными задачами и попробуешь их решить. Самостоятельно психологическую устойчивость развивать сложно. Для этого важна среда. 

«Задумайтесь, почему в хороших математических школах так много детей, показывающих высокие результаты? Во-первых, конечно, в лучших школах собираются лучшие учителя. Во-вторых, в конкурентной борьбе с равными тебе сверстниками ты привыкаешь – нужно доказывать, что ты лучший. Несколько раз сначала ты можешь сорваться из-за волнения, а дальше уже будешь спокоен», – говорит Назар Агаханов.

Интересуйтесь всем: советы по эффективному олимпиадному тренингу

Если юный математик идет в олимпиадное движение только ради поступления в университет, лучше оставить эту затею. По словам эксперта, количество бюджетных мест по России определенно превосходит количество способных ребят, заканчивающих школы. Проблемы с тем, чтобы ребенок был талантлив в математике, а его не хотели брать на учебу в вуз, нет. Такие ребята с легкостью сдают экзамены. Повторимся, этот фактор абсолютно для математики не работает. 

Пожалуй, нужно искренне любить соревноваться, чтобы спокойнее переживать возможный стресс. А педагог поможет раскрыть способности и стать лучше. Заниматься с преподавателями можно и онлайн, и оффлайн. Но эксперт уверен, что онлайн-формы не заменят личного общения.

«Важен не объем пройденного материала, а то, как преподаватель послушал решение и рассуждения ребенка. Именно поэтому подготовка к международным олимпиадам во всех странах проходит примерно одинаково – учитель помогает разобрать ошибки, а не начитывает лекции. Школьник может увидеть решения тысяч задач и от этого не продвинуться, но, если он сам углубился в вопрос, попробовал решить, увидел трудные места, ему приоткроется новое знание. Дистанционные формы, к сожалению, в этом не столь эффективны, потому что важен живой диалог и прямая беседа. При этом место проживания – не крест для успехов. Хорошие преподаватели есть в регионах и это факт», – утверждает Назар Агаханов

Еще одна возможность прокачаться – различные турниры и летние школы, которые есть практически в каждом регионе. Можно подобрать для себя наиболее подходящие. Такие площадки собирают большое количество ребят из разных городов в одном месте, дают возможность и пообщаться, и вместе решать задачи, и познакомиться с  педагогами, которые входят в жюри.

Еще один важный пункт на пути к эффективным занятиям – вовремя отдыхать. Спорт, прогулки, активный отдых – хороший инструмент для качественной перезагрузки между занятиями. Но не единственный. 

«Большое количество открытий в математике происходит на стыке дисциплин, когда ты можешь переключиться, перенести свои способности на другое направление, в котором не являешься специалистом самого высокого уровня. Поэтому при стремлении добиться чего-то серьезного в математике, стоит интересоваться всеми предметами в школе и вообще разносторонне развиваться», – говорит Назар Агаханов

Отсюда возникает вопрос, если тратить время на другие интересы, то сколько тогда нужно заниматься именно математикой? Конкретного ответа здесь нет, все очень индивидуально. Формулу поможет выработать внутреннее ощущение – заниматься нужно ровно столько, чтобы чувствовать, что ты находишься в форме. А вот перед олимпиадными турами важно не перегружать мозг слишком интенсивными занятиями, чтобы не устать. 

  

Обрати внимание: самые распространенные ошибки начинающих олимпиадников

Многие начинающие олимпиадники делают ошибки из-за того, что не продумывают решение глубоко. Чаще всего это происходит из-за невнимательности и игнорирования части условий. Поэтому Назар Агаханов рекомендует, как банально бы это ни было, детально читать условия задач и использовать в решении все обозначенные параметры. 

В решении геометрических задач чаще всего встречаются логические ошибки, когда то, что надо доказать, каким-то образом встраивается в логику решения. Пример:  нужно доказать равенство углов. Школьник отталкивается от фразы «так как эти углы равны», решает задачу и попадает в логическую ловушку, делая некорректные выводы. 

Распространенная ошибка в алгебре и комбинаторике – длинное решение с перебором вместо короткого. Решение методом перебора – нормальный подход, но, если пропускается какой-то случай, решение может не засчитаться, потому что именно в этом случае и было верное решение.

Вычитание столбиком — как правильно? Примеры и правила

Основные понятия

Во всем мире принято использовать эти десять цифр для записи чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. С их помощью создается любое натуральное число.

Название числа напрямую зависит от количества знаков. Однозначное — состоит из одного знака. Двузначное — из двух. Трехзначное — из трех и так далее.

Разряд — это позиция, на которой стоит цифра в записи. Их принято отсчитываются с конца.

  • Разряд единиц — то, чем заканчивается любое число.
  • Разряд десятков — разряд, который находится левее единиц.
  • Разряд сотен разряд, который находится левее десятков.

Вычитание — это арифметическое действие, в котором отнимают меньшее число от большего. Большее число называется уменьшаемым, меньшее — вычитаемым. Результат вычитания — разностью.



Свойства вычитания

  1. Если из числа вычесть ноль, получится число, из которого вычитали.

    a — 0 = a

  2. Если из числа вычесть само это число, то разность равна нулю.

    a — a = 0

  3. Чтобы вычесть сумму из числа, можно вычесть из этого числа одно слагаемое, из полученной разности — второе слагаемое.

    a — (b + c) = a — b — c

  4. Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть это число из одного слагаемого и полученную разность прибавить к другому слагаемому.

    (a + b) — c = (a — c) + b = a + (b — c)

  5. Чтобы прибавить разность к числу, можно прибавить к нему уменьшаемое и из полученной суммы вычесть вычитаемое.

    а + (b — c) = a + b — c

Курсы обучения математике помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Алгоритм вычитания в столбик

Вычитать столбиком проще, чем считать в уме, особенно при действиях с большими числами. Этот способ наглядный — помогает держать во внимании каждый шаг.

Рассмотрим алгоритм вычитания в столбик на примере: 4312 — 901.

Шаг 1. При вычитании столбиком самое главное — правильно записать исходные данные, чтобы единицы вычитаемого были под единицами уменьшаемого.

Большее число (уменьшаемое) записываем сверху. Слева между числами ставим знак минус. Вот так:


Шаг 2. Вычитание столбиком начинаем с самой правой цифры. Вычитаем единицы. Результат записываем в единицах разности (под чертой).


Шаг 3. Далее вычитаем десятки: 1 десяток минус 0 десятков.


Шаг 4. Вычитаем сотни. Надо из 3 сотен вычесть 9 сотен. Это сделать невозможно. Займем десять сотен из 4 тысяч. Поставим над тысячами точку. Занятые 10 прибавим к 3: 10 + 3 = 13 (сотен).

Из «13» вычтем девять: 13 − 9 = 4.

Так как мы заняли десяток у «4», значит четверка уменьшилась на единицу. Об этом нам напоминает точка над «4»: 4 − 1 = 3. Вот, как это выглядит:


Рассмотрим пример вычитания в столбик чисел с нулями: 1009 — 423.

Шаг 1. Запишем числа в столбик. Большее число ставим сверху.

Вычитаем справа налево по разрядам.


Шаг 2. Так как из нуля нельзя вычесть «2», занимаем у соседней цифры слева (ноль). Поставим над «0» точку. У нуля занять нельзя, поэтому смотрим на следующую цифру. Занимаем у «1» и ставим над ней точку. Теперь вычитаем не из нуля двойку, а из «10». Вот так:



Запоминаем!

Если при вычитании столбиком над нулем стоит точка, значит ноль превращается в «9».

Шаг 3. Над нулем стоит точка, поэтому нуль превращается в «9». Вычитаем из «9» четыре: 9 − 4 = 5.

Над «1» стоит точка. Единица уменьшается на «1»: 1 − 1 = 0. Если в результате разности левее всех цифр стоит ноль, то его записывать не надо.


Так выглядит алгоритм вычитания в столбик. Во 2 классе школьники могут сделать себе подсказку в виде таблички. А позже алгоритм запомнится и будет срабатывать автоматически, как «дважды два четыре».

Ментальная арифметика что это такое простыми словами | Статьи

Ментальная арифметика — достаточно новый термин, но услуги репетиторов, предлагающих  МЕНАР, уже пользуются повышенным спросом. Несмотря на то, что полный курс обучения занимает примерно 2 года, очевидные результаты инновационной методики  проявляются через пару месяцев занятий. Рекомендованный возраст учеников — от 4 лет и старше. 

 

Что такое ментальная арифметика

Коротко ментальную арифметику называют способом быстрого счета. На самом деле это понятие следует рассматривать значительно шире. В ее основе — выполнение арифметических действий с помощью абакуса — древних китайских счет, модернизированных вездесущими японцами. Изначально все 4 арифметических действия производятся с помощью косточек.

Принцип действия — точный набор необходимых значений, выбор единичных, десятичных и так  далее. Постепенно счеты остаются лишь в воображении и памяти ученика, а действия просчитываются в уме и постепенно доводятся до автоматизма. Удивляющий результат — оперирование большими числами в уме, без использования калькулятора. Но кроме этого ментальная арифметика имеет массу других преимуществ.

Лучший возраст для МЕНАР

Обучение с репетитором по новой методике — это мыслительный процесс, который активно наращивает нейронные связи. Именно поэтому специалисты рекомендуют начинать занятия в период формирования мозговых клеток. Наиболее предпочтительный возраст ребенка — 4-16 лет, иногда до 16 лет. Это не означает, что в более старшем возрасте уроки с репетитором по ментальной арифметике уже бесполезны. Просто процесс будет более длительным.

Что дают занятия ментальной арифметикой

Более 50 стран мира используют МЕНАР для обучения детей. Среди основных достоинств системы быстрого счета:

 • развивает усидчивость и творческое мышление,уверенность в себе;
 • стимулирует работу всех участков мозга;
 • специфическое умение помогает полюбить математику и иметь стабильно высокий балл в школе;
 • развивает способность действий с большими числами и тем самым укрепляет память, ускоряет мыслительные процессы.

Чтобы начать занятия с репетитором по ментальной арифметике, нужно не более получаса — просто выберите лучшего в «Виртуальной Академии».

Платонизм в философии математики (Стэнфордская энциклопедия философии)

Математический платонизм можно определить как соединение следующие три тезиса:

Наличие .
Есть математические объекты.

Абстрактность .
Математические объекты абстрактны.

Независимость .
Математические объекты независимы интеллектуальных агентов и их языка, мышления и практики.

Некоторые характерные определения «математического платонизм »перечислены в приложении

Некоторые определения платонизма

и документ, подтверждающий, что приведенное выше определение является достаточно стандартным.

Платонизм в целом (в отличие от платонизма в отношении математики в частности) — это любое мнение, которое вытекает из трех вышеупомянутых утверждений заменяя прилагательное «математический» любым другим имя прилагательное.

Первые два утверждения достаточно ясны для настоящих целей. Существование можно формализовать как ‘∃ x Mx ’, где « Mx » сокращает предикат « x ». является математическим объектом », который верен для всех и только объекты, изучаемые чистой математикой, такие как числа, множества и функции. Абстрактность говорит, что каждый математический объект абстрактный, где объект называется абстрактным на всякий случай внепространственно-временным и (следовательно) причинно неэффективным. (Для дальнейшего обсуждение, см. запись на абстрактные объекты.)

Независимость менее ясна, чем два других утверждения. Что это делает хотите приписать объекту такую ​​независимость? Большинство очевидный глянец — это, вероятно, контрфактическое условие, которое не было никаких разумных агентов, или их язык, мысли, или практика была другой, математические объекты. Однако сомнительно, что этот глянец сделает всю работу, Майдан должен делать (см. 4.1). А пока Независимость будет оставим несколько схематичным.

1.1 Исторические сведения

Платонизм следует отличать с точки зрения исторического Платон. Немногие участники современной дискуссии о платонизме делают сильные экзегетические заявления о взглядах Платона, не говоря уже о том, чтобы защищать их. Хотя точка зрения, которую мы называем «платонизмом», вдохновленный знаменитой теорией Платона об абстрактных и вечных формах (см. запись на Платоновская метафизика и эпистемология), платонизм теперь определяется и обсуждается независимо от его первоначального исторического вдохновения.

Обсуждаемый платонизм не только не платон, платонизм как охарактеризованный выше, является чисто метафизическим взглядом: он должен быть отличается от других взглядов, которые имеют существенные эпистемологические содержание. Многие старые характеристики платонизма добавляют эпистемологические утверждения о том, что мы сразу понимаем или проникновение в царство абстрактных объектов. (См., Например, Рис. 1967.) Но полезно (и в настоящее время довольно стандартно) зарезервировать термин «платонизм» для обозначения чисто метафизической точки зрения, описанной выше.Многие философы, защищающие платонизм в этом чисто метафизический смысл отвергнет дополнительные эпистемологические претензии. Примеры включают Куайна и других философов, которых привлекала так называемый аргумент о незаменимости , который пытается дать широко эмпирическая защита математического платонизма. (См. Запись на аргументы о незаменимости в философии математики.)

Наконец, приведенное выше определение «математического платонизм »исключает утверждение, что все истины чистой математики необходимы, хотя это утверждение традиционно высказывалось большинством платоники.Опять же, это исключение оправдано тем фактом, что некоторые философы, которых принято считать платониками (например, Куайн и некоторые приверженцы упомянутой незаменимости аргумент) отклонить это дополнительное модальное утверждение.

1.2 Философское значение математического платонизма

Математический платонизм имеет большое философское значение. Если точка зрения верна, это окажет большое давление на физикалистскую идею. эта реальность исчерпывается физическим.Платонизм влечет за собой то, что реальность простирается далеко за пределы физического мира и включает в себя объекты которые не являются частью причинного и пространственно-временного порядка, изучаемого физический науки. [1] Математический платонизм, если он верен, также оказывает большое давление на многие натуралистические теории познания. За нет никаких сомнений в том, что мы обладаем математическими знаниями. Таким образом, истина математического платонизма устанавливает, что у нас есть знание абстрактных (и, следовательно, причинно неэффективных) объектов.Это было бы важное открытие, которое многие натуралистические теории познания будет изо всех сил стараться приспособиться.

Хотя эти философские следствия не уникальны для математический платонизм, эта конкретная форма платонизма необычно хорошо подходит для поддержки таких последствий. Для математики это замечательно успешная дисциплина, как сама по себе, так и как инструмент для других науки. [2] Немногие современные философы-аналитики готовы противоречить любому из основных требований дисциплины, чья научный авторитет так же силен, как и авторитет математики (Льюис 1991, стр.57–9). Итак, если философский анализ показал математика, чтобы иметь некоторые странные и удивительные последствия, это быть непривлекательным просто отвергнуть математика. [3] Форма платонизма, основанная по дисциплине, чья научная квалификация менее впечатляющая, чем математики не попали бы в такую ​​удачную ситуацию. За Например, когда в богословии обнаруживаются какие-то странные и удивительные философские следствия, многие философы не стесняются отвергать соответствующие части богословия.

1.3 Объектный реализм

Пусть объектный реализм будет представлением о существовании абстрактных математические объекты. Таким образом, объектный реализм — это всего лишь сочетание из Наличие и Абстрактность . [4] Объектный реализм противостоит к номинализм , который в современной философии обычно определяется как представление об отсутствии абстрактных объектов. (В большей степени традиционное философское употребление слова «номинализм» вместо этого ссылается на точку зрения, что универсалий не существует.Увидеть Берджесса & Rosen 1997, стр. 13–25 и запись на абстрактных объектах.)

Поскольку объектный реализм не учитывает Независимость , это представление логически слабее математического платонизма. Философский Таким образом, последствия объектного реализма не так сильны, как платонизм. Многие физикалисты примут нефизические объекты при условии, что они зависят от физических объекты. Например, они могут принимать такие объекты, как корпорации, законы и стихи, при условии, что они соответствующим образом зависят или сводимые к физическим объектам.Более того, похоже, что нет тайна об эпистемическом доступе к нефизическим объектам, которые у нас есть каким-то образом созданный или «составленный». Если корпорации, законы и стихи сочинены или «составлены» нами, предположительно, мы получаем знание их в процессе изготовления или «Составляя» их.

Некоторые взгляды в философии математики являются объектно-реалистическими. не будучи платоником. Один из примеров — традиционный интуиционист. взгляды, которые подтверждают существование математических объектов, но поддерживают что эти объекты зависят от математиков и их виды деятельности. [5] Еще несколько примеров представлений, которые объектный реалист, не являющийся платоником, будет рассмотрен в разделе 4.

1.4 Правдивый реализм

Реализм истинных ценностей. математическое утверждение имеет уникальную и объективную ценность истинности, которая независимо от того, может ли он быть известен нам и следует ли логически из наших текущих математических теорий. Мнение также имеет что большинство математических утверждений, которые считаются верными, находятся в факт правда.Таким образом, реализм, основанный на истинных ценностях, явно метафизический вид . Но в отличие от платонизма это не онтологический вид. Хотя истинный реализм утверждает что математические утверждения имеют уникальные и объективные значения истинности, он не придерживается явно платонистской идеи, что эти истинностные ценности должны быть объяснены в терминах онтологии математические объекты.

Математический платонизм явно мотивирует ценностный реализм предоставление отчета о том, как математические утверждения получают свои истинностные ценности.Но первая точка зрения не влечет за собой вторую, если только добавляются дополнительные помещения. Ведь даже если есть математические объекты, ссылочная и количественная неопределенность может лишить математические утверждения уникального и объективного истинность. И наоборот, реализм истинностных ценностей сам по себе не влечет за собой Существование и, следовательно, не подразумевает ни объектного реализма, ни платонизм. Ибо существуют различные объяснения того, как математические утверждения могут обладать уникальными и объективными ценностями истины, которые не постулируйте область математических объекты. [6]

Фактически, многие номиналисты поддерживают реализм истинной ценности, по крайней мере, о более основных разделах математики, таких как арифметика. Номиналисты этого типа склонны к немного странному звучанию. считают, что, хотя обычный математический оператор

(1) Есть простые числа от 10 до 20.

правда, математических объектов на самом деле нет, и поэтому в конкретных номеров нет. Но здесь нет противоречия. Мы должны различать язык L M , на котором математики заявляют свои претензии и язык L P на котором номиналисты и другие философы делают свои.Утверждение (1) сделано в л м . Но утверждение номиналиста о том, что (1) правда, но что нет абстрактных объектов сделано в L P . Утверждение номиналиста, таким образом, совершенно когерентно при условии, что (1) переведено негомофонно от L M до L P . И действительно, когда номиналист утверждает, что истинность предложений L M закреплены способом, который не нравится математических объектов, именно такого рода негомофонические перевод она имеет в виду.Мнение, упомянутое в предыдущей заметке дает пример.

Это показывает, что для претензии Existence предполагалось, что эффект, он должен быть выражен на языке L P используется нами, философами. Если претензия была выражена в язык L M используемый математиками, затем номиналисты могли согласиться с заявлением, но при этом отрицать наличие математические объекты, противоречащие цели иска.

Небольшая, но важная традиция философов утверждает, что дебаты о платонизме следует заменить или, по крайней мере, превратить в дискуссия об истинно-ценностном реализме.Одна из причин, предлагаемых в поддержку этой точки зрения: что первые дебаты безнадежно неясны, а вторые — более послушный (Даммет 1978a, стр. 228–232 и Даммет 1991b, стр. 10–15). Другая предлагаемая причина заключается в том, что споры о ценностный реализм имеет большее значение как для философии, так и для математика, чем та о платонизм. [7]

1.5 Математическое значение платонизма

Рабочий реализм — методологический взгляд на математику. следует практиковать , как если бы платонизм был правдой (Bernays 1935, Шапиро 1997, стр.21–27 и 38–44). Это требует некоторых объяснение. В спорах об основах математики платонизм часто использовался для защиты определенных математических методов, таких как следующее:

  1. Классические языки первого порядка (или более сильные), сингулярные термины которых и кванторы, похоже, относятся к математическим объекты. (Это контрастирует с языками, которые доминировали ранее в история математики, которая в большей степени опиралась на конструктивные и модальный словарь.)
  2. Классическая, а не интуиционистская логика.
  3. Неконструктивные методы (например, неконструктивное существование доказательства) и неконструктивные аксиомы (например, Аксиома выбора).
  4. Непредикативные определения (то есть определения, совокупность, к которой будет принадлежать определяемый объект).
  5. «Гильбертовский оптимизм», то есть вера в то, что каждый математическая проблема в принципе разрешимо. [8]

По рабочему реализму эти и другие классические приемы приемлемо и доступно во всех математических рассуждениях.Но работает реализм не определяет, требуют ли эти методы каких-либо философской защиты, и если да, то должна ли эта защита основываться на платонизм. Короче говоря, там, где платонизм является явно философским точка зрения, рабочий реализм — это, прежде всего, точка зрения математики. сам о правильной методологии этой дисциплины. Платонизм и поэтому рабочий реализм — это разные взгляды.

Однако, конечно, между ними могут быть логические отношения. взгляды. Учитывая происхождение рабочего реализма, неудивительно, что эта точка зрения получает сильную поддержку со стороны математического платонизма.Предполагать что математический платонизм верен. Тогда ясно, что язык математика должна быть такой, как описано в (i). Во-вторых, при условии, что законно рассуждать классическим образом о любой независимо существующей части на самом деле, (ii) также последует. В-третьих, поскольку платонизм обеспечивает что математика скорее открыта, чем изобретена, не было бы необходимость для математиков ограничиваться конструктивными методами и аксиомы, устанавливающие (iii). В-четвертых, есть мощный и влиятельный аргумент из-за Гёделя (1944), что непредсказуемый определения являются законными, если определенные объекты существуют независимо от наших определений.(Например, «самый высокий мальчик в классе выглядит беспроблемным, несмотря на то, что он непредикативный.) Если это верно, то (iv) будет следовать. Ну наконец то, если математика касается некой независимо существующей реальности, тогда каждая математическая задача имеет уникальный и однозначный ответ, который дает по крайней мере некоторую мотивацию для оптимизма Гильберта. (Видеть, однако обсуждение всестороннего платонизма в Разделе 4.2.)

Следовательно, истина математического платонизма имела бы важное значение. последствия в самой математике.Это оправдало бы классический методы, связанные с рабочим реализмом, и поощряют поиск новые аксиомы для решения вопросов (таких как гипотеза континуума), которые остаются открытыми в соответствии с нашими текущими математическими теориями.

Однако рабочий реализм никоим образом не предполагает платонизм. Хотя рабочий реализм говорит, что мы оправданы в используя платонический язык современной математики, это если не считать платонизма, по крайней мере, двумя способами. Как указано выше показал истинностный реализм, платонический язык математики могут быть проанализированы таким образом, чтобы избежать ссылок на и количественная оценка по математическим объектам.Более того, даже если номинальный анализ языка математики мог быть оправдан, это поддержит объектный реализм, но не платонизм. An дополнительный аргумент потребуется для третьего компонента платонизм, а именно Независимость . Перспективы такого аргументы обсуждаются в разделе 4.1.

Теперь мы опишем шаблон аргумента в пользу существования математические объекты. Со времен первого философа, который разработал аргументом этой общей формы был Фреге, мы будем называть его аргумент Фреге .Но шаблон общий и абстрагируется от наиболее конкретных аспектов собственной защиты Фреге существование математических объектов, таких как его точка зрения, что арифметика сводится к логике. Логицизм Фреге — лишь один из способов, которым шаблон можно разработать; некоторые другие способы будут упомянуты ниже.

2.1 Структура аргумента

Аргумент Фреге основан на двух предпосылках, первая из которых касается семантики языка математики:

Классическая семантика .
Особые термины язык математики предназначен для обозначения математических объектов, и его кванторы первого порядка претендуют на диапазон таких объектов.

Слово «цель» требует пояснения. Когда предложение S предназначено для ссылки или количественной оценки определенным образом, это означает, что для того, чтобы S было истинным, S должен преуспеть в ссылаясь или количественно оценивая таким образом.

Вторая посылка не требует особых пояснений:

Правда .
Большинство предложений, принимаемых как математические теоремы верны (независимо от их синтаксических и семантических структура).

Рассмотрим предложения, которые принимаются как математические теоремы и которые содержат один или несколько математических сингулярных терминов. По Истина , большинство из этих предложений истинный. [9] Пусть S будет одним из таких предложений. По Classical Semantics , правда из S требует, чтобы его единственные термины относились к математические объекты.Следовательно, должны быть математические объекты, так как утверждается Наличие . [10]

2.2 Защита классической семантики

Классическая семантика утверждает, что язык математики функции семантически очень похожи на язык в общих функциях (или минимум традиционно считается функционирующим): семантическое функции сингулярных членов и кванторов должны относиться к к объектам и перемещаться по объектам соответственно. Это широко эмпирическое утверждение. о работе полуформального языка, используемого сообществом профессиональные математики.(В широко принятой терминологии Burgess & Rosen 1997, стр. 6–7, Классическая семантика — это герменевтический иск ; то есть это описательное утверждение о как на самом деле используется определенный язык, а не нормативное заявление о как следует использовать этот язык.) Обратите также внимание на то, что Classical Semantics совместим с большинством традиционных взглядов на семантику; особенно, он совместим со всеми стандартными взглядами на значения предложения, а именно, что они являются истинностными значениями, предложениями или наборами возможные миры.

Классическая семантика обладает высокой вероятностью на первый взгляд . Ибо язык математики, по всей видимости, имеет то же самое семантическая структура как обычный нематематический язык. Как Берджесс (1999) отмечает, что следующие два предложения имеют одинаковые простая семантическая структура предиката, приписываемого субъекту (стр. 288):

(4) Эвелин чопорная.

(5) Одиннадцать — простое число.

Этот вид подтверждается и стандартным семантическим анализом. предложены лингвистами и семантиками.

Классическая семантика , тем не менее, оспаривается, поскольку пример номиналистов, таких как Хеллман (1989) и Хофвебер (2005 и 2016). (См. Также Moltmann (2013), где описаны некоторые проблемы, связанные с арифметическая лексика на естественном языке.) Это не место для расширенного обсуждения таких проблем. Позвольте мне отметить, что Требуется много работы, чтобы обосновать этот вид проблемы. В претенденту придется возразить, что очевидное семантическое сходство между математическим и нематематическим языком обманчивы.И эти аргументы должны быть такого рода, что лингвисты и семантики — не заинтересованные в философии математика — можно было бы распознать как значительный. [11]

2.3 В защиту правды

Истина можно защитить разными способами. Общий для всех защиты заключается в том, что они сначала определяют некий стандарт, по которому значения истинности математических утверждений можно оценить, а затем спорить что математические теоремы соответствуют этому стандарту.

Один из вариантов — обратиться к более фундаментальному стандарту, чем что самой математики. Логика дает тому пример. Фреге и другие логики сначала утверждают, что любая теорема чистой логики верна. Затем они пытаются показать, что теоремы некоторых ветвей математику можно доказать только на основе чистой логики и определений.

Другой вариант — обратиться к стандартам эмпирической науки. Аргумент о незаменимости Куайна-Патнэма служит тому примером.Первый утверждается, что любая необходимая часть эмпирической науки вероятно, будет правдой и, следовательно, то, в чем мы оправданы веря. Затем утверждается, что большие объемы математики незаменим для эмпирической науки. Если оба утверждения верны, следует, что Истина , вероятно, будет правдой и что вера в истина поэтому оправдана. (См. Запись на аргументы о незаменимости в философии математики.)

Третий вариант — обратиться к стандартам самой математики.Почему нужно прибегать к нематематическим стандартам, таким как логики или эмпирической науки, чтобы защитить истину математические теоремы? Когда мы защищаем истину требований логики и физике, нам не нужно прибегать к стандартам, выходящим за рамки соответственно логика и физика. Скорее мы предполагаем, что логика и физика предоставить свои собственные стандарты обоснования sui generis . Почему должна ли математика быть другой? Эта третья стратегия получила много внимания в последние годы, часто под заголовком «Натурализм» или «математический натурализм».(Видеть Берджесс и Розен 1997, Мэдди 1997, и, для критического обсуждения, см. запись на натурализм в философии математики.)

Вот пример того, как можно разработать натуралистическую стратегию. Назовите отношение математиков к теоремам «принятие» математики. Тогда кажутся следующие утверждения правдоподобно:

(6) Математики вправе принять теоремы математики.

(7) Принятие математического утверждения S включает принимая S за правду.

(8) Когда математик принимает математическое утверждение S , содержание этого отношения в целом буквальное значение S .

Из этих трех утверждений следует, что эксперты-математики оправданно принимать теоремы математики за буквальные истины. В более широком смысле, остальные из нас тоже имеют право верить Истина . Примечание что эксперты, которых интересует (6), не должны сами верить (7) и (8), не говоря уже о том, чтобы быть оправданными в любом таком убеждении.Что имеет значение что три утверждения верны. Задача установления истины (7) и (8) могут принадлежать лингвистам, психологам, социологам или философы, но, конечно, не сами математики.

2.4 Понятие онтологической приверженности

Версии аргумента Фреге иногда формулируются в терминах понятие онтологической приверженности. Предположим, мы работаем с стандартный критерий Квайна онтологической приверженности:

Критерий Куайна .
Предложение первого порядка (или сборник таких предложений) онтологически привязан к такому объекты, как следует предполагать, находятся в диапазоне переменных для предложение (или набор предложений) быть правдой.

Тогда из Классической семантики следует, что многие предложения математика онтологически привязана к математическим объектам. Видеть Для этого рассмотрим типичную математическую теорему S , которая включает в себя некоторое нормальное экстенсиональное вхождение либо единичных терминов, либо кванторы первого порядка.Согласно Classical Semantics , эти выражения предназначены для ссылки или диапазона математических объектов. Для S чтобы быть правдой, эти выражения должны преуспевать в том, что они подразумевают сделать. Следовательно, для того, чтобы S было истинным, должен быть математические объекты в диапазоне переменных. Автор Quine’s Критерий означает, что S онтологически привержен математические объекты.

Куайн и многие другие считают, что критерий Куайна немногим больше, чем определение термина «онтологическое обязательство» (Куайн 1969 и Берджесс 2004).Но критерий все же был оспаривается. Некоторые философы отрицают, что единичные термины и кванторы автоматически порождают онтологические обязательства. Возможно что «требуется от мира», чтобы предложение было верным предполагает наличие некоторых, но не всех объектов в диапазоне количественных показателей (Rayo 2008). Или, возможно, нам следует разорвать ссылку между квантором существования первого порядка и понятием онтологическое обязательство (Azzouni 2004, Hofweber 2000 и 2016).

Одним из ответов на эти вызовы является наблюдение, что Фрегеан аргумент был развит выше без использования термина «Онтологическая приверженность». Любая проблема определения «онтологической приверженности», предоставленной Quine’s Таким образом, критерий не имеет отношения к версии Аргумент Фреге, развитый выше. Однако такой ответ маловероятен. чтобы удовлетворить претендентов, которые ответят, что заключение приведенный выше аргумент слишком слаб, чтобы иметь эффект.Напомним, что заключение Существование оформлено в наш философский метаязык L P as ‘ x Mx ’. Итак, эта формализация будет не окажут желаемого эффекта, если это предложение на метаязыке не такого рода, который влечет за собой онтологические обязательства. Но это именно что оспаривают претенденты. Это противоречие не может быть продолжено далее здесь. На данный момент мы просто наблюдаем, что претенденты должны предоставить объяснение того, почему их нестандартное понятие онтологической приверженности лучше и теоретически интереснее стандартного Куайна понятие.

2,5. От существования к математическому платонизму?

Предположим, мы принимаем Существование , возможно, основываясь на теории Фрегея. аргумент. Как мы видели, это еще не значит, что математические платонизм, который является результатом добавления к Существование два дополнительных требования Абстрактность и Независимость . Можно ли оправдать эти два дополнительных требования?

По меркам философии, Абстрактность осталась относительно бесспорно.Среди немногих философов, имевших оспаривают это Мэдди (1990) (относительно нечистых множеств) и Бигелоу (1988) (о множествах и различных видах чисел). Этот родственник отсутствие противоречий означает, что несколько явных защит из Абстрактность . Но нетрудно увидеть как могла бы пойти такая защита. Вот одна идея. Это правдоподобное ограничение на первый взгляд на любое философское интерпретация математической практики, которую следует избегать приписывания математике любые особенности, которые могли бы сделать математические практика неправильная или неадекватная.Это ограничение затрудняет отрицают, что объекты чистой математики абстрактны. Ибо если эти объекты имели пространственно-временное расположение, а затем действительное математическое практика будет ошибочной и неадекватной, поскольку чистые математики должны тогда интересоваться местоположением своих объектов, просто как зоологи интересуются местонахождением животных. Факт то, что чистые математики не интересуются этим вопросом, предполагает что их объекты абстрактны.

Независимость говорит, что математические объекты, если они есть, независимы от интеллектуальных агентов и их языка, мышления и практики.В чем может заключаться этот тезис и как его можно защитить, мы обсудим в разделе 4.

Было высказано множество возражений против математического платонизма. развитый. Вот самые важные.

3.1 Эпистемологический доступ

Наиболее сильное возражение, вероятно, вызвано Бенацерраф (1973). Далее следует улучшенная версия Benacerraf’s возражение из-за поля (1989). [12] Эта версия основана на следующих трех предпосылках.

Помещение 1. Математики надежны в том смысле, что почти каждый математическое предложение S , если математики принимают S , тогда S верно.
Помещение 2. Чтобы вера в математику была оправдана, она должна, по крайней мере, принцип можно объяснить надежность, описанную в посылке 1.
Помещение 3. Если математический платонизм верен, то эта надежность не может быть объяснил даже в принципе.

Если эти три посылки верны, из этого следует, что математический платонизм подрывает наше оправдание веры в математика.

Но верны ли предпосылки? Первые два посылки относительно бесспорно. Большинство платоников уже привержены посылке 1. И посылка 2 кажется довольно безопасной. Если надежность какой-то веры процедура формирования даже в принципе не могла быть объяснена, тогда процедура, казалось бы, срабатывает чисто случайно, тем самым подрывая любые оправдание наших убеждений, созданных таким образом.

Предпосылка 3 гораздо более противоречива. Филд защищает эту предпосылку наблюдая, что «истинность наших математических утверждений зависят от фактов, связанных с платоническими сущностями, которые проживают в мире вне пространства-времени »(Филд, 1989, с. 68) и, таким образом, являются причинно-следственными изолирован от нас даже в принципе. Однако эта защита предполагает, что любое адекватное объяснение рассматриваемой надежности должно включать некоторая причинно-следственная связь. Это было оспорено множеством философы, предложившие более минимальные объяснения претензия по надежности.(См. Burgess & Rosen 1997, стр. 41–49 и Льюис 1991, стр 111–112; ср. также Clarke-Doane 2016. См. Linnebo. 2006 для критика.) [13]

3.2 Метафизическое возражение

Другая известная статья Бенасеррафа развивает метафизическое возражение. математическому платонизму (Benacerraf 1965, ср. также Kitcher 1978). Хотя Бенасерраф сосредотачивается на арифметике, возражение естественно обобщается на самые чистые математические объекты.

Бенацерраф начинает с защиты того, что сейчас называют структуралистом. вид натуральных чисел, согласно которому натуральные числа не имеют никаких свойств, кроме тех, которые они имеют в силу того, что они позиции в ω-последовательности.Например, больше ничего нет быть числом 3, чем иметь определенные внутриструктурно определенные реляционные свойства, такие как следующие 2, быть половиной от 6 и быть основной. Независимо от того, насколько усердно мы изучаем арифметику и теорию множеств, мы будем никогда не знаешь, идентично ли 3 четвертому порядковому номеру фон Неймана, или с соответствующим порядковым номером Цермело, или, возможно, как Фреге предложено, с классом всех трехчленных классов (в некоторой системе что позволяет таким классам существовать).

Бенасерраф делает следующий вывод:

Следовательно, числа вообще не являются объектами, потому что в давая свойства … чисел, которые вы просто характеризуете абстрактная структура — и различие заключается в том, что «Элементы» конструкции не имеют других свойств, кроме те, которые связывают их с другими «элементами» того же структура.(Benacerraf 1965, стр. 291)

Другими словами, Бенасерраф утверждает, что не может быть объектов, которые не имеют ничего, кроме структурных свойств. Все объекты должны иметь неструктурные свойства. (См. Benacerraf 1996 для некоторых более поздние размышления об этом аргументе.)

Оба шага аргумента Бенацеррафа спорный. Первый шаг — натуральные числа имеют только структурные свойства — недавно был защищен множеством математические структуралисты (Parsons 1990, Resnik 1997 и Shapiro 1997).Но этот шаг отрицают логики и неологики, которые утверждают, что натуральные числа неразрывно связаны с мощности коллекций, которые они нумеруют. И второй шаг — что не может быть объектов только с структурным свойства — категорически отвергается всеми структуралистами кто защищает первый шаг. (Для некоторых голосов, симпатизирующих второму шаг, см. Hellman 2001 и MacBride 2005. См. также Linnebo 2008 для обсуждение.)

3.3 Другие метафизические возражения

Помимо Бенацеррафа, существует множество метафизических возражений против математический платонизм.Один из самых известных примеры — это аргумент Нельсона Гудмана против множества теория. Гудман (1956) защищает принцип номинализма , который гласит, что всякий раз, когда две сущности имеют одинаковые базовые составляющие, они идентичны. Этот принцип можно рассматривать как усиление известной аксиомы теории множеств протяженность. Аксиома протяженности утверждает, что если два наборы x и y имеют одинаковые элементы, т. е. если ∀ u ( u x u ) ∈ y ) — тогда они идентичны.Принцип Номинализм достигается заменой отношения принадлежности на его переходный закрытие. [14] Таким образом, принцип гласит, что если x и y переносятся ∈ * одними и теми же лицами, т. Е. если ∀ u ( u ∈ * x u ∈ * y ) — тогда x и y идентичны. От поддерживая этот принцип, Гудман запрещает формирование множеств и классы, позволяющие только формирование мереологических сумм и применение к стандартным мереологическим операциям (как описано его «исчисление индивидов»).

Однако сейчас защита Гудманом принципа номинализма не выдерживает критики. широко считается неубедительным, о чем свидетельствуют широко распространенные принятие философами и математиками теории множеств как законный и ценный раздел математики.

Объектный реализм утверждает, что существуют абстрактные математические объекты, тогда как платонизм добавляет Независимости , что говорит о том, что математическое объекты не зависят от интеллектуальных агентов и их языка, мысли и практики.Этот последний раздел рассматривает некоторые легкие формы объектного реализма, которые не соответствуют полноценному платонизму.

4.1 Как понять независимость

Естественный блеск на модели Independence — это не так. условно, что, если бы не было никаких интеллектуальных агентов, или их язык, мышление или практика были достаточно разными, там все еще оставались бы математическими объектами.

Эта контрфактическая независимость (как мы можем ее назвать) принимается большинство философов-аналитиков.Чтобы понять почему, рассмотрим роль, математика играет в наших рассуждениях. Мы часто рассуждаем о сценариях это не актуально. Если бы мы построили мост через этот каньон, скажем, насколько сильным он должен быть, чтобы противостоять мощным порывам ветер? К сожалению, предыдущий мост рухнул. Было бы так, если бы стальные балки стали вдвое толще? Эта форма рассуждения о контрфактические сценарии необходимы как в повседневной жизни, так и в повседневной жизни. обсуждениям и науке. Допустимость таких рассуждений важное следствие.Поскольку истины чистой математики могут свободно обращаться к нам во всех наших контрфактических рассуждениях, это следует, что эти истины контрфактически независимы от нас. люди, да и вся остальная разумная жизнь в этом отношении. То есть имел если бы не было разумной жизни, эти истины все еще были бы остались прежними.

Чистая математика в этом отношении сильно отличается от обычной математики. эмпирические истины. Если бы разумной жизни никогда не существовало, эта статья не было бы написано.Что еще более интересно, чистая математика тоже контрастирует с различными социальными условностями и конструкциями, с которую иногда сравнивают (Cole 2009, Feferman 2009, Hersh 1997). Если бы разумной жизни никогда не было, не было бы законы, контракты или браки, но математические истины остались прежними.

Таким образом, если Независимость понимается просто как контрфактическая независимости, то всякий, кто принимает объектный реализм, должен также принять платонизм.

Сомнительно, что такое понимание независимости однако достаточно. Для Независимость предназначена для обоснования аналогия между математическими объектами и обычными физическими объекты. Так же, как электроны и планеты существуют независимо от нас, так делать числа и наборы. И так же, как утверждения об электронах и планеты становятся истинными или ложными из-за объектов, с которыми они связаны. затронуты и совершенно объективные свойства этих объектов, утверждения о числах и множествах.Короче говоря, математические объекты такой же «реальный», как и обычные физические объекты (если не более того, поскольку Платон думал).

Давайте теперь рассмотрим некоторые взгляды, которые отвергают это более сильное понимание. Независимости по указанной аналогии. Эти взгляды являются легкими формами объектного реализма, которые не дотягивают до полномасштабный платонизм.

4.2 Обильный платонизм

Одна из легких форм объектного реализма — это «чистокровный платонизм »Балагера 1998.Этот взгляд характеризуется принцип полноты о том, что любой математический объекты, которые могут существовать, действительно существуют. Например, поскольку Гипотеза континуума не зависит от стандартной аксиоматизации теории множеств, существует универсум множеств, в котором гипотеза истина и другой, в котором это ложь. И ни одна вселенная не метафизически привилегированный. Напротив, традиционный платонизм утверждает что существует уникальная вселенная множеств, в которой Континуум Гипотеза либо определенно верна, либо определенно ложный. [15]

Одно предполагаемое преимущество этого обширного взгляда заключается в том, что эпистемология математики. Если всякая последовательная математическая теория верно для некоторой вселенной математических объектов, затем математические знание будет в некотором смысле легко получить: при условии, что наши математические теории непротиворечивы, они гарантированно верны некоторая вселенная математических объектов.

Однако «чистокровный платонизм» получил много критика. Коливан и Залта 1999 критикуют его за подрыв возможность ссылки на математические объекты и Restall 2003, за отсутствие точной и последовательной формулировки полноты принцип, на котором основано мнение.Мартин (2001) предлагает, чтобы различные вселенные множеств объединяются, чтобы получить единую максимальную Вселенная, которая получит преимущество, если будет соответствовать нашей концепции множества лучше, чем любая другая вселенная наборов.

Другая версия обильного платонизма развита у Линского. & Zalta 1995 и ряд других статей. (См., Например, Linsky & Zalta 2006 и другие цитируемые там статьи.) Традиционный платонизм ошибается, «представляя абстрактное объекты на модели физических объектов »(Linsky & Zalta 1995, стр.533), включая, в частности, идею о том, что такие объекты Скорее «разреженный», чем обширный. Лински и Залта разработать альтернативный подход на основе второй авторской «Теория объектов». Главная особенность теории объектов — это очень общий принцип понимания, который утверждает существование множество абстрактных объектов: для любого набора свойств существует абстрактный объект, который «кодирует» именно эти характеристики. Более того, в теории объектов два абстрактных объекта идентичны только в том случае, если они кодируют точно такие же свойства.Принцип понимания теории объектов и критерий идентичности: сказал, чтобы «обеспечить связь между нашей познавательной способностью понимание и абстрактные объекты »( там же, ., п. 547). (Критическое обсуждение см. В Ebert & Rossberg 2007).

4.3 Облегченные семантические значения

Предположим, что объектный реализм верен. Для удобства предположим также Классическая семантика . Эти предположения гарантируют, что сингулярное термины и кванторы математического языка относятся к абстрактные объекты.Учитывая эти предположения, следует ли также быть математический платоник? Другими словами, выполняйте математические задачи. предложения относятся к и количественно более удовлетворяют Независимость или какое-то подобное состояние?

Было бы полезно переформулировать наши предположения в более нейтральной форме. Мы можем сделать это, применив понятие семантического значения , который играет важную роль в семантике и философии язык. В этих полях принято считать, что каждое выражение вносит определенный вклад в истинность предложений в которое встречается в выражении.Этот вклад известен как семантическое значение выражения. Принято считать, что (по крайней мере, в экстенсиональном контексте) семантическое значение единственного числа термин — это просто его референт.

Наши предположения теперь можно сформулировать нейтрально как утверждение, что математические единичные термины имеют абстрактные семантические значения, и что его кванторы варьируются по типам элементов, которые служат семантическими значениями. Давайте сосредоточимся на утверждении об единичных терминах. Что философское значение этого утверждения? В частности, делает ли это Поддерживаете какую-то версию Майдана ? Ответ будет зависеть от того, что есть требуется, чтобы математический сингулярный термин имел семантическое значение.

Некоторые философы утверждают, что требуется немногое (Frege 1953, Даммет 1981, Даммет 1991a, Райт 1983, Хейл и Райт 2000, Райо 2013 г., Линнебо 2012 и 2018 гг.). На срок хватает тн внести определенный вклад в истинность предложений в что это происходит. Вся цель понятия семантического значения должен был представлять такие вклады. Поэтому достаточно для единичный термин, чтобы обладать семантической ценностью, что делает некоторые такие подходящий вклад.

Это может даже открыть путь для неэлиминативного редукционизма. о математических объектах (Dummett 1991a, Linnebo 2018). Хотя это Совершенно верно, что математический сингулярный член t имеет абстрактный объект как его семантическое значение, эта истина может быть получена в в силу более основных фактов, которые не упоминают или не затрагивают соответствующий абстрактный объект. Сравните, например, отношение право собственности, которое возникает между человеком и его банковским счетом. Хотя это совершенно верно, что этот человек владеет банковским счетом, эта истина может быть получена в силу более фундаментальных социологических или психологические факты, которые не затрагивают или не затрагивают банк Счет.

Если какое-то легкое объяснение семантических значений оправдано, мы можем принять допущения объектного реализма и Классическая семантика без принятия каких-либо традиционных или надежных форм платонизм.

4.4 Две другие облегченные формы объектного реализма

В заключение мы рассмотрим еще два примера облегченных форм объектный реализм, которые отвергают платоническую аналогию между математические объекты и обычные физические объекты.

Во-первых, возможно, математические объекты существуют только потенциально, что контрастирует с действительным способом существования обычных физических объекты. Эта идея лежит в основе древнего представления о потенциале. бесконечность (Lear 1980, Linnebo & Shapiro 2017). В соответствии с Аристотель, натуральные числа потенциально бесконечны в ощущение, что, каким бы большим ни было количество произведенных нами (путем создания экземпляров это в физическом мире), можно произвести еще больший номер.Но Аристотель отрицает, что натуральные числа на самом деле бесконечны: это потребовало бы, чтобы физический мир быть бесконечным, что, как он утверждает, невозможно.

Вслед за Кантором большинство математиков и философов теперь отстаивают актуальная бесконечность натуральных чисел. Частично это стало возможным отрицая аристотелевское требование, что каждое число должно быть в физическом мире. Когда это отрицается, фактическая бесконечность натуральных чисел больше не влечет за собой фактическую бесконечность физического мира.

Тем не менее, форма потенциальности в отношении иерархии множеств сохраняется. пользоваться значительной поддержкой, особенно в связи с итеративная концепция множеств (Parsons 1977, Jané 2010, Linnebo 2013, Studd 2013). Сколько бы наборов ни было сформировано, возможно сформировать еще больше. Если это так, это будет означать, что у наборов есть потенциал форма существования, которая резко отличает их от обычных физические объекты.

Во-вторых, возможно, математические объекты онтологически зависимы или производным способом, который отличает их от независимо существующие физические объекты (Rosen 2011, Donaldson 2017).Например, согласно только что упомянутой точке зрения Аристотеля, натуральное число зависит от его существование в том или ином экземпляре в физическом Мир. Есть и другие версии представления. Например, Kit Fine (1995) и другие утверждают, что набор онтологически зависит от его элементы. (Этот взгляд также тесно связан с теоретико-множественным упомянутый выше потенциал.)

Что такое математика? Разум создает или открывает математику,

Математику называют «неоправданно эффективной» при описании физической вселенной .В физике математические уравнения являются основой наиболее важных описаний природы, включая квантовую механику, теорию относительности и термодинамику. Все чаще такие области, как биология, химия, микробиология и даже социальные науки, также используют математику. Он используется для строительства зданий, мостов, компьютеров и многих других творений.

Но откуда взялся этот невероятно точный способ описания природы?

Лишь незначительно связана с повседневным человеческим опытом

Несмотря на то, что математика проистекает из человеческого разума, большая часть математики, лежащей в основе наших лучших научных теорий, непостижима при прямом сравнении с опытом обычной жизни. Дети изучают числа и арифметику, используя простые и понятные идеи, такие как « Златовласка» и «Три медведя» , или сценарий слияния двух баскетбольных команд. Но в нет возможности проводить знакомые аналогии с сотнями страниц абстрактных уравнений, которые составляют передовую физику . (см. пример уравнений ниже)

Трудно понять с точки зрения человеческого опыта

Уравнения квантовой механики крайне неясны, но они создают наиболее точные и последовательные описания материи .Эти уравнения позволили нам разработать лазеры, транзисторы и компьютеры, от которых мы так зависим.

Математика предсказывает будущие открытия в области физики

Критический вопрос заключается в том, была ли математика открыта или изобретена в человеческом разуме. Многие математические структуры были описаны задолго до того, как они нашли какое-либо возможное применение в науке.

В поисках математики для точного описания своих идей Эйнштейн поговорил с ведущими современными математиками того времени, чтобы найти типы математики, которые соответствовали бы его идеям .Другие новаторы в области квантовой физики использовали недавно изобретенные математические структуры для построения своей необычной, противоречащей интуиции науки. Но как только физические результаты были описаны в особом новом наборе уравнений, дальнейший анализ одной только математики привел к некоторым, казалось бы, фантастическим предсказаниям: совершенно новых идей о том, как работает физический мир, и ранее невообразимых свойств природы, которые позже оказались правда экспериментальным путем.

«Антивещество» — это пример открытия, которое было полностью выведено из математики и казалось в то время совершенно невозможным.Антивещество состоит из полного набора призрачных частиц, каждая из которых соответствует существующей частице, например позитрон — это антивещество электрона. Если частица материи встречает частицу антивещества, они уничтожают друг друга. Идея пришла от исследователей, ломающих голову над тем, как работает уравнение. Они утверждали, что если одна сторона уравнения верна, то другая сторона также должна быть верной. Более поздние эксперименты подтвердили это.

Кроме того, другие уравнения квантовой механики породили множество странных концепций, которые позже оказались верными, хотя их невозможно понять.Хорошо известный пример — это доказанный факт, что материя одновременно является и волной, и частицей. Эта немыслимая, но верная идея пришла из математики и позже была подтверждена экспериментами.

Решение проблемы

Возможно, ответ на наш вопрос состоит в том, что часть математики изобретена, а часть обнаружена. Если это будет открыто, то где эти математические идеи существуют во Вселенной и как их воспринимает разум? Если это изобретено, то как разум создает инструменты, чтобы так точно описывать самые маленькие и большие объекты во Вселенной?
С уверенностью можно сказать только одно: математика возникает в человеческом разуме .Итак, что это говорит об отношении человеческого разума к основной физической реальности?

Чем мозг математика отличается от мозга простого смертного?

Алан Тьюринг, Альберт Эйнштейн, Стивен Хокинг, Джон Нэш — эти «красивые» умы никогда не перестают очаровывать публику, но они также остаются несколько неуловимыми. Как некоторые люди продвигаются от способности выполнять основы арифметики к пониманию сложных математических концепций и мышлению на таких уровнях абстракции, которые сбивают с толку остальную часть населения? Нейробиология теперь начала определять, выводит ли мозг математика каким-либо образом концептуальное мышление на другой уровень.

В частности, ученые давно обсуждают, привязана ли основа высокоуровневого математического мышления к центрам обработки языка мозга — что мышление на таком уровне абстракции требует лингвистического представления и понимания синтаксиса — или к независимым областям, связанным с числами. и пространственное мышление. В исследовании, опубликованном на этой неделе в журнале Proceedings of the National Academy of Sciences , пара исследователей из отделения когнитивной нейровизуализации INSERM – CEA во Франции сообщила, что области мозга, участвующие в математике, отличаются от областей мозга, занимающихся столь же сложным нематематическим мышлением.

Команда использовала функциональную магнитно-резонансную томографию (фМРТ) для сканирования мозга 15 профессиональных математиков и 15 нематематиков того же академического уровня. Находясь в сканере, испытуемые слушали серию из 72 математических утверждений высокого уровня, поровну разделенных на алгебру, анализ, геометрию и топологию, а также 18 нематематических (в основном исторических) утверждений высокого уровня. У них было четыре секунды, чтобы поразмышлять над каждым предложением и определить, было ли оно истинным, ложным или бессмысленным.

Исследователи обнаружили, что только у математиков прослушивание математических утверждений активировало сеть, включающую двусторонние интрапериетальные, дорсальные префронтальные и нижневисочные области мозга. Эта схема обычно не связана с областями, вовлеченными в языковую обработку и семантику, которые были активированы как у математиков, так и у нематематиков, когда им были представлены нематематические утверждения. «Напротив, — говорит соавтор исследования и аспирантка Мари Амальрик, — наши результаты показывают, что математическое отражение высокого уровня перерабатывает области мозга, связанные с эволюционно древним знанием числа и пространства.”

Предыдущее исследование показало, что эти нелингвистические области активны при выполнении элементарных арифметических вычислений и даже при простом просмотре чисел на странице, что предполагает связь между продвинутым и базовым математическим мышлением. Фактически, соавтор Станислас Дехаен, директор отдела когнитивной нейровизуализации и экспериментальный психолог, изучал, как люди (и даже некоторые виды животных) рождаются с интуитивным чувством чисел — количества и арифметических манипуляций — тесно связанных с пространственным представлением. .Однако как формируется связь между зашитым «чувством чисел» и математикой более высокого уровня, остается неизвестным. Эта работа поднимает интригующий вопрос о том, является ли врожденная способность распознавать разные величины — два фрукта больше, чем один — биологической основой, на которой может быть построена способность овладеть теорией групп. «Было бы интересно исследовать причинно-следственную связь между математической компетенцией нижнего и верхнего уровня», — говорит Дэниел Ансари, когнитивный нейробиолог из Университета Западного Онтарио, который не участвовал в исследовании.«Большинство из нас владеют основами арифметики, поэтому мы уже задействуем эти области мозга, но лишь часть из нас продолжает заниматься математикой высокого уровня. Мы пока не знаем, изменит ли то, что вы стали экспертом по математике, ваш способ выполнения арифметики или изучение арифметики закладывает основу для усвоения математических понятий более высокого уровня ».

Ансари предполагает, что учебное исследование, в ходе которого нематематиков преподают продвинутые математические концепции, могло бы обеспечить лучшее понимание этих связей и того, как они образуются.Более того, получение знаний в математике может повлиять на нейронные схемы и по-другому. Исследование Амальрика показало, что у математиков снизилась активность зрительных областей мозга, участвующих в обработке лиц. Это может означать, что нейронные ресурсы, необходимые для понимания определенных математических концепций и работы с ними, могут подрывать — или «израсходовать» — некоторые другие возможности мозга. Хотя необходимы дополнительные исследования, чтобы определить, действительно ли математики обрабатывают лица по-другому, исследователи надеются получить более глубокое представление о влиянии опыта на организацию мозга.

«Мы можем начать исследовать, откуда берутся исключительные способности и нейробиологические корреляты такого высокого уровня знаний», — говорит Ансари. «Я просто думаю, что это здорово, что теперь у нас есть возможность использовать томографию мозга, чтобы ответить на эти глубокие вопросы о сложности человеческих способностей».

Математика — Что такое математика

Зачем изучать математику?

Потому что это весело и может подготовить вас к множеству отличных карьер! Если хочешь решать головоломки и разбираться в вещах, тогда вас может заинтересовать специальность по математике.Кроме того, математические приложения можно найти повсюду, и у них есть большой опыт в этой области. математика может помочь вам в самых разных сферах деятельности.

Разделы ниже предоставляют информацию о карьере в математике и возможностях доступны для наших специальностей математики.

Карьера
Следующие ссылки ведут на страницы с информацией о доступных вакансиях студентам-математикам.

Американское математическое общество

Американская статистическая ассоциация

Это статистика

Математическая ассоциация Америки

Общество промышленной и прикладной математики (SIAM)

Общество актуариев

Исследования в бакалавриате
Если вы планируете аспирантуру по математике, вам следует подумать об участии в некоторых исследованиях на бакалавриате.Есть возможности сделать это с профессорами в нашем отделении или в других учреждениях летом в REU (опыт исследований для Магистранты). REU обычно длятся от четырех до восьми недель и обычно платят студенту стипендия.

Что такое математика? | The New Yorker

Некоторое время назад я заинтересовался математикой, в основном потому, что я плохо учился в ней в школе.Я скромничаю. Я не сделал ничего плохого; Я в значительной степени потерпел неудачу. Я прошел только обманом. Так или иначе, я купил книгу «Алгебра для чайников», чтобы посмотреть, смогу ли я стать лучше, но оказалось, что я не любил алгебру во взрослом возрасте не больше, чем в детстве. Несмотря на это, я был полон решимости посмотреть, смогу ли я понять, почему я не смог этому научиться. Однако заниматься математикой в ​​подростковом возрасте в старшем возрасте оказалось труднее, чем я ожидал, и я не уверен, как долго я мог бы продолжать заниматься математикой, если бы не осознавал это, в основном благодаря чтению книг по математике и т. Д. Говоря с математиками, я обнаружил, что за пределами моей перегретой комнаты в отеле «Алгебра» математика имела такое величие и размах, о которых я даже не подозревал.Затем я потратил больше времени, пытаясь узнать все, что я мог о его качествах.

Математики знают, что такое математика, но затрудняются сказать это. Я слышал: математика — это искусство создания новых знаний из старых с использованием дедуктивной логики и абстракции. Теория формальных закономерностей. Математика — это изучение количества. Дисциплина, которая включает в себя натуральные числа, плоскую и твердотельную геометрию. Наука, делающая необходимые выводы. Символическая логика. Исследование конструкций.Мы рассказываем о вневременной архитектуре космоса. Поэзия логических идей. Заявления связаны очень строгими правилами дедукции. Средство поиска дедуктивного пути от набора аксиом к набору предложений или их отрицаний. Наука о невидимых вещах, присутствие которых ограничено воображением. Протекст, существование которого только постулируется. Точный концептуальный аппарат. Изучение идей, с которыми можно работать, как если бы они были реальными вещами. Манипулирование бессмысленными символами языка первого порядка в соответствии с явными синтаксическими правилами.Поле, в котором исследуются свойства и взаимодействия идеализированных объектов. Наука умелых действий с концепциями и правилами, придуманными для этой цели. Предположения, вопросы, умные догадки и эвристические аргументы о том, что, вероятно, правда. Самая длинная непрерывная человеческая мысль. Кропотливо построенная интуиция. То, чем становятся научные идеи по мере их совершенствования. Идеальная реальность. История, которая писалась тысячи лет, всегда добавляется и, возможно, никогда не будет закончена.Самый большой целостный артефакт, созданный цивилизацией. Только формальная игра. Что делают математики, как музыканты делают музыку.

Бертран Рассел сказал, что математика, по своей природе как исследовательское искусство, является «предметом, в котором мы никогда не узнаем, о чем говорим и правда ли то, что мы говорим». Дарвин пытался изучать математику с репетитором, когда ему было девятнадцать, и ненавидел это, в основном из-за того, что «не мог видеть никакого смысла в первых шагах в алгебре». Предполагается, что он пришел к выводу, что «математик — это слепой в темной комнате, который ищет черную кошку, которой там нет.В «Приключениях Алисы в стране чудес» Льюис Кэрролл говорит, что четыре арифметических операции (сложение, вычитание, умножение и деление) — это амбиции, отвлечение, уродство и насмешки. Сложным обстоятельством является то, что математику, особенно в ее более высоких диапазонах, трудно понять. Он начинается с простой общей речи (каждый умеет считать) и постепенно превращается в диалекты, настолько загадочные, что на некоторых из них говорят всего несколько сотен человек в мире.Другие месторождения еще даже не открыты.

Нет Священных Писаний столь же древними, как математика. Все остальные науки моложе, большинство на тысячи лет. В большей степени, чем история, математика — это летопись, которую человечество хранит о себе. Историю можно пересматривать, изменять, стирать или утерять. Математика — это постоянно. A² + B² = C² было истинным до того, как к нему было прикреплено свое имя Пифагор, и будет истинным, когда солнце сойдет и никому не останется об этом думать. Это верно для любой инопланетной жизни, которая может подумать об этом, и верно независимо от того, думают они об этом или нет.Это не может быть изменено. Пока существует мир с горизонтальной и вертикальной осью, небом и горизонтом, он неприкосновенен и так же верен, как и все, о чем можно подумать.

Математики живут в мире, который, по сути, определен. Остальные из нас, даже другие ученые, живут внутри одного, где то, что представляет собой уверенность, — это настолько, насколько мы можем сказать, что этот результат происходит почти всегда. Поскольку математика настаивает на доказательствах, она может сказать нам в пределах того, что ей известно, что происходит раз за разом.

Насколько точна математика, это также самый явный язык, который у нас есть для описания загадок. Будучи языком физики, он описывает настоящие загадки — вещи, которые мы не можем ясно увидеть в естественном мире, но подозреваемые истинны, а позже подтверждаются, — и воображаемые загадки, вещи, которые существуют только в умах математиков. Вопрос в том, где существуют эти абстрактные загадки, каков их родной ареал. Некоторые люди сказали бы, что они обитают в человеческом разуме, что только человеческий разум способен постигать то, что называется математическими объектами, то есть числа, уравнения, формулы и т. Д. — весь глоссарий и аппарат математики — и приносить они возникают, и что такие вещи приходят именно так, как они появляются, из-за того, как устроен наш разум.Нас побуждают исследовать мир таким образом, который согласуется с инструментами, которые у нас есть для его изучения. (Мы видим цвета так же, как мы, например, из-за того, как наш мозг устроен так, чтобы получать отражение света от поверхностей.) Это мнение меньшинства, которого придерживаются в основном нейробиологи и определенное количество математиков, не склонных к спекуляциям. Более широко распространено мнение, что никто не знает, где находится математика. Нет математика / натуралиста, который мог бы указать куда-нибудь и сказать: «Вот откуда пришла математика» или «Математика там живет», скажем, при этом, возможно, указывая на магнитный север и Арктику, что, как я думаю, подошло бы такому противоположному и холодно уточняя дисциплину.

Вера в то, что математика существует где-то еще, а не внутри нас, что она открыта в большей степени, чем создана, называется платонизмом после веры Платона в внепространственно-временную сферу, которая является областью совершенных форм, объекты на Земле несовершенные. репродукции. По определению, внепространственно-временная область находится вне времени и пространства. Это не создание какого-либо божества; это просто так. Сказать, что он вечен или что он существовал всегда, значит сделать временное замечание, которое не применимо.Это вневременное ничто, которого никогда нигде не было и никогда не будет, но которое, тем не менее, существует. Физический мир временен и приходит в упадок; внепространственно-временная идеальна и не идеальна.

Третья точка зрения, исторически и нынешняя, для небольшого, но не несущественного числа математиков, заключается в том, что дом математики находится в уме более высокого существа и что математики каким-то образом заняты своими мыслями. Георг Кантор, создатель теории множеств, которую в детстве учили как часть «новой математики», сказал: «Высшее совершенство Бога заключается в способности создавать бесконечное множество, и его безмерная добродетель приводит Его к создать это.А изобретательный математик-самоучка Шриниваса Рамануджан, о котором был снят фильм «Человек, познавший бесконечность» в 2015 году, сказал: «Уравнение для меня не имеет значения, если оно не выражает мысль о Боге».

В седьмой книге «Республики» Платон говорит, что Сократ говорит, что математики — это люди, которым снится, что они бодрствуют. Я частично это понимаю, а частично нет.

Математика и разум Бога

И теперь, когда мы официально вступили в Лето, пришло время для чего-то совершенно другого, как классно заметил Монти Пайтон.

Математика — вещь особенная, не похожая ни на что другое в нашем мире. Это изобретение человека (я думаю), но не такое, как другие изобретения. Он существует в нашем сознании и нигде больше, хотя его влияние ощущается повсюду, поскольку наука, инженерия и технологии приняли его в качестве своего языка. Тем не менее, несмотря на то, что большинство людей объединяют математику и естественные науки, они очень разные.

Наука — это наблюдение природных явлений в сочетании с попыткой понять, объяснить и предсказать, что произойдет дальше.Она коренится в реальном мире (и я собираюсь избежать всего метафизического вопроса о том, что «действительно реально»). Но хотя наука использует математику, математика не использует науку. В самом деле, утверждалось, и я сам доказывал, что математика больше похожа на искусство или философию, чем на науку, потому что в ее центре находится акт творения, часто из ничего, кроме самого разума. Действительно, математика не могла бы существовать, если бы не была создана человеческим разумом. Я знаю из своего собственного опыта и описаний других, что достижение математического понимания приносит чувство гармонии, красоты и удивления, которое математики называют «элегантностью», что похоже на чувство творческой правоты, которое испытывают художники.Действительно, одно из описаний этого творческого чутья, основанное на наблюдениях французского математика XIX века Анри Пуанкаре, гласит:

Математические решения выбираются… на основе «математической красоты», гармонии чисел и форм, геометрической элегантности. «Это истинное эстетическое чувство, которое знают все математики, — сказал Пуанкаре, — но о котором профаны настолько невежественны, что часто испытывают искушение улыбнуться». Но именно эта гармония, эта красота находится в центре [математики].[1]

Чем отличается математика

И снова математика не похожа на искусство или философию, потому что математические творения могут быть доказаны (в пределах связанных с ними допущений) как правильные или неправильные. Вот что значит доказать теорему: вы демонстрируете ее правильность. И в этом нет никаких сомнений; однажды доказанная, никто не может позже опровергнуть такую ​​теорему, не изменив допущений лежащей в основе математической системы. Ни одно произведение искусства не может быть так продемонстрировано как правильное, и те философские труды, которые можно доказать, сами по себе фактически являются подмножествами математики, основанной на логике.

Меня поразил этот вывод отчасти потому, что я недавно прочитал статью, написанную в 1960 году физиком Юджином Вигнером под названием «Неоправданная эффективность математики в естественных науках». [2] Это классическое эссе описывает странные явления природы. могут быть описаны математикой до такой степени, что многие природные явления, прежде чем они были поняты, были правильно предсказаны с помощью их математических описаний. Вигнер задает главный вопрос: почему это должно быть? Почему изобретение человеческого разума может быть способно так хорошо описывать природу, особенно в тех случаях, когда задействованная математика была изобретена задолго до того, как она когда-либо была применена в науке, как это происходило во многих случаях в истории науки? .

Комментарии Вигнера с тех пор обсуждались и обсуждались многими людьми. Один комментатор, физик Макс Тегнер, предположил в 2007 году, что причина того, что математика так хорошо описывает реальность, заключается в том, что физический мир полностью математичен. Другие отмечали, что это наша собственная близорукость, которая заставляет нас объяснять мир математическими терминами: мы способны наблюдать только те аспекты реальности, которые могут быть описаны математикой. Оба утверждения недоказуемы и считаются скорее философскими, чем математическими, но комментарий Тегнера поднимает интересный момент, который вызвал две дополнительные мысли.

Возможно, математика — это реальность

Один из них — немного причудливый комментарий физиков-ядерщиков о том, что субатомные частицы на самом деле являются просто математическими конструкциями. Я подозреваю, что это просто средство сказать, что субатомные частицы — это способ физиков уравновесить книги квантовой механики. Но, будучи математиком, мне пришла в голову мысль, что, возможно, это наблюдение буквально верно, что реальность — это не что иное, как математика, и это объясняет, почему математика может описывать реальность, поскольку это одно и то же.

Краеугольным камнем моей гипотезы является культовая классическая книга, которую неоднократно высмеивали, , потому что был культовой классикой, Zen and the Art of Motorcycle Maintenance . В этой книге автор Роберт Пирсиг развивает концепцию качества. Чтобы понять, почему это важно, вам придется прочитать книгу, которую я рекомендую в любом случае. Пирсиг пытается доказать, что философское положение о том, что Качество находится в центре нашего восприятия вселенной, действительно создает вселенную, которую мы воспринимаем.В этом он идет вразрез с большей частью западной философской мысли. В самом деле, перед ним стояла задача доказать, что Качество существует, отчасти потому, что он чувствовал, что оно жизненно важно для человеческого существования и что мы не в состоянии его определить.

Чтобы доказать существование Качества, он использовал логический прием философской школы реализма. Его аргумент звучал так:

Вещь существует, если без нее мир не может нормально функционировать. Если мы сможем показать, что мир без Качества функционирует ненормально, то мы показали, что он существует вне зависимости от того, можем ли мы его определить.

Затем Он подумал, каким был бы наш мир, если бы мы вычли из него Качество. Искусство перестанет существовать, потому что, если вы не можете отличить хорошее искусство от плохого, тогда в искусстве нет смысла: голая стена так же ценна, как и картина (и давайте согласимся игнорировать так называемых художников, которые создают голые стены. и назовем это искусством). Точно так же исчезнут поэзия и литература, а также спорт, актерское мастерство и все виды перформанса. На рынке будет существовать только один вид одежды и только простые продукты.В самом деле, практически все в нашем мире изменится, причем резко к худшему, за одним исключением. Таким образом, утверждал он, демонстрируется, что Качество существует. [3] Теперь позвольте мне вернуться к своим мыслям, опираясь на его наблюдения.

Единственным исключением в мире без Качества Пирсига было то, что математика, наука, логика и философия остались неизменными. Он не рискнул догадаться, почему так должно быть. Я тоже не знаю, но хотел бы порассуждать.

Или, возможно, математика содержит реальность

Возможно, математика стоит отдельно от всего остального, что мы создаем, потому что это действительно основная реальность существования, рамка, в которой содержит существование.Возможно, именно математика создает нас, а не наоборот, и именно наше открытие этой глубинной реальности приводит математика к чувству элегантности и правоты.

Однажды я предположил, выступая перед группой компьютерных ученых, что, как только мы узнаем достаточно о реальности, мы обнаружим, что реальность — это компьютер (или, скорее, информационный процессор), что все элементы реальности, состоящие из субатомных частиц, Путь к себе и нашему разуму — это пакеты информации, и это существование есть обработка этих пакетов.

Или, выражаясь более поэтически, возможно, мы всего лишь математики в разуме Бога.

Это мысль.


[1] Пирсиг, Роберт М., Дзен и искусство ухода за мотоциклами , Bantam New Age Books, Нью-Йорк, авторское право 1974.

[2] См., Например, следующую ссылку для копии оригинальной статьи: http://www.physik.uni-wuerzburg.de/fileadmin/tp3/QM/wigner.pdf

[3] Pirsig, pp.193-4.

Математика, движение и разум Бога

Астрономия была не единственной областью исследований, в которой математические рассуждения привели к кардинально новые идеи.Французский математик и философ Рене Декарт (1596–1596 гг.) 1650 г.) согласился с традиционными учениями о том, что все зависит от силы Бога, но он также утверждал, что Бог создал мир в соответствии с математическими принципами. Люди могут воспринимать одно совершенное и бесконечно могущественное существо, рассуждал Декарт: только если это существо действительно существовало и создало их. Наряду с этой интуицией о Боге Декарт задавался вопросом, что еще мы можем знать наверняка. Ранее писатели, такие поскольку Мишель де Монтень (1533–1592 гг.) ломал голову над вопросом об основании знания — раздел философии, известный как эпистемология, — отмечая, что такие авторитеты, как Аристотель, оказались неправы, и а эмпирические наблюдения могут быть обманчивыми.Монтень скептически относился к возможно ли когда-либо истинное знание, но Декарт решил, что то, что мы можем знать наверняка то, что мы существуем как мыслящие существа, философская позиция называется рационализмом. Он зафиксировал это в «Рассуждениях о методе» (1637 г.) во фразе «Я думаю, поэтому Я »(на латыни Cogito ergo sum). Из этих двух концепций — Бога и Я — существование остальной Вселенной и его законы могут быть установлены путем применения логических принципов, процесса, называемого дедукцией.В философской системе Декарта, известной как картезианство или картезианский дуализм, мир состоит из двух основных субстанций, материи (или тела) и разума (или духа), каждая из который может существовать, по крайней мере теоретически, без другого. Люди — это союз этих две субстанции, но в уме нет ничего материального и ничего духовного о теле или любых других материальных объектах, которые перемещаются только под воздействием некоторая внешняя сила. Декарт думал, что любое движение можно объяснить как результат невидимых мелких частиц, толкающих объект, — полностью механическое объяснение.Хотя он думал, что так действуют даже гравитация и магнетизм, некоторые из его последователей уделять больше внимания Богу как первопричине всех событий и действий в вселенная; Таким образом, Бог был Первопричиной. Для Исаака Ньютона мир природы явился недвусмысленным свидетельством религиозные идеи. Отстраненный и энергичный молодой человек, Ньютон был студентом, а затем профессором. математики в Кембридже, где он изучал новые концепции механики и космологии, и построил первый действующий телескоп-отражатель.Он разработал исчисление, раздел математики, позволяющий производить расчеты с учетом скорости изменения, различные величины и кривые фигуры, которые в конечном итоге лежат в основе современной физики и инженерия, а также математика. В 1670-х годах Ньютон изучал природу света, а также изучал Библию и писаний ранней христианской церкви, поскольку ожидалось, что он будет рукоположен в сан. священнослужитель англиканской церкви как условие его положения в Кембридже.Его взгляды на оптику были опубликованы Королевским обществом, но его взгляды на религию были слишком опасно, чтобы публиковать его публично. Он решил, что учение о Троице, в котором Отец, Сын и Святой Дух в равной степени являются частью триединого Бога, не было часть ранней церкви, но изобретена в четвертом веке; конечный Бог был один, а не три, хотя Христос был божественен. Отрицание Троицы было ересью и тоже незаконно, так что Ньютон хранил свои религиозные сочинения в секрете и получил особое разрешение остаться в Кембридже без рукоположения.Он также собрал Герметик и алхимические тексты, и потратили десятилетия, пытаясь открыть или изготовить вещество это заставит металлы расти или трансформироваться. Его обширные труды по алхимии и духовные темы, которые никогда не публиковались, привел британский экономист Джон Мейнард Кейнс, купивший бумаги Ньютона в середине двадцатого века, заявить, что «Ньютон не был первым из эпохи разума … он был последним из волшебники ». Слава Ньютона опиралась на опубликованные работы, особенно на его самые важные работы, Philosophiae naturalis Principia mathematica (Математические принципы Естественная философия, обычно называемая Принципами), опубликованная в 1687 году.Принципы предоставил математическое описание законов движения и действия силы тяжести. Эта книга объединила открытия Галилея о движении на Земле и Кеплера. открытия о движении в небесах, разработка универсальных законов, применимых где угодно, выражается в математических терминах. Все тела притягиваются друг к другу в пустоте пространство, с силой притяжения, зависящей от размера тел и расстояния между ними (всемирная гравитация), и все тела продолжают двигаться или не двигаться если на них не действует внешняя сила (инерция).Хотя мало кто мог понять в нем Principia сразу же признали гениальным произведением, и Ньютон был награжден должностью магистра Королевского монетного двора, ответственного за выпуск монет и счета и предотвращение подделки. Общественная слава и статус Ньютона продолжали расти. Он был избран в парламент несколько раз и избран президентом Королевского общества. в 1703 году этот пост он занимал до самой смерти. Его устроили великолепные государственные похороны. и был похоронен вместе с королями и другими знаменитостями в Вестминстерском аббатстве.В «Началах» Ньютон описал, как действует гравитация, но не объяснил, почему, и идею что одно тело могло притягивать другое через пустое пространство, изначально было неприемлемо для многие мыслители континентального мира. Однако к середине XVIII века теория Ньютона идеи восторжествовали, и другие ученые начали применять его теоремы к изучению тепло, свет, магнетизм и электричество. Его последователи написали популярные работы, объясняющие Ньютоновская наука в терминах того, что образованные люди, не являющиеся математиками, могли Поймите, несколько с надписью «Ньютон для дам» или что-то в этом роде.Это подпитывает идея, как лаконично выразился Поуп в своем двустишии, что Ньютон раз и навсегда объяснил механизм Вселенной. Развитие науки сформировало философию, а также другие сферы жизни. В политике министры финансов и другие официальные лица использовали более количественные методы управления; правительства начали проводить статистические обследования, пытаясь подсчитать совокупные цифры для таких вещей, как рост населения, объем производства, доход и импорт и экспорт.Это позволит более эффективно применять экономические принципы, которые приведет к росту, рассуждали официальные лица, а также предоставит своего рода единую картину нация в соответствии с единой картиной космоса Ньютоном. В литературе писатели стали шире использовать научные термины во всех типах прозы, а некоторые выступали за более простой и понятный стиль, больше соответствующий тому, что они считали научным акцентом на ясность и логичность. Как выразился Папа в другом куплете: Слова подобны листьям, и где их больше всего Внизу редко можно найти много разумных плодов.Однако не все были убеждены в ценности науки. В 1726 г., годом ранее После смерти Ньютона Джонатан Свифт (1667–1745) опубликовал «Путешествия Гулливера», в которых его вымышленный путешественник отправляется в Лапуту и ​​Лагадо, где ученые работают над извлечением солнечные лучи из огурцов, превращение льда в порох, строительство домов из крыша вниз, и предотвращение роста шерсти на овцах.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *