Арифметика изучает: Что изучает арифметика?

Содержание

Простая арифметика

Арифметикой называется тот раздел математики, предметом изучения которого являются числа, их свойства и отношения.

Ее название имеет греческое происхождение: на языке древней Эллады слово «аритмос» (его еще произносят как «арифмос») означает «число».

Арифметика изучает правила вычислений и простейшие свойства чисел. В том ее разделе, который называется теория чисел (или высшая арифметика), изучаются свойства отдельных целых чисел.

Арифметика самым тесным образом связана с теорией чисел, алгеброй и геометрией, и является одной из главных математических наук, а также самой древней из них.

Основными предметами арифметики являются действия над числами, их свойства, а также числовые множества. Кроме того, в арифметике изучаются такие вопросы, как происхождение и развитие понятия чисел, измерения и техника счета.

Действия над числами, являющиеся предметом изучения арифметики, – это сложение, вычитание, деление и умножение.

К ним также можно отнести и такие операции, как извлечение корня, возведение в степень и решение различных численных уравнений.

Кроме того, исторически сложилось так, что к арифметическим действиям относят, помимо умножения, удвоение; помимо деления, деление с остатком и на два; счет; вычисление суммы геометрической и арифметической прогрессий. При этом все арифметические действия имеют собственную иерархию, в которой высшую ступень занимает извлечение корней и возведение в степень, более низкую – умножение и деление, и далее – сложение и вычитание.

Следует заметить, что те измерения и математические расчеты, которые находят широкое практическое применение (например, проценты, пропорции и т.п.) относятся к так называемой низшей арифметике, а понятие числа и его логический анализ – к арифметике теоретической.

Арифметика находится в очень тесной связи с алгеброй, основным предметом изучения которой являются различные операции с числами, не учитывающие их свойства и особенности. При этом извлечение корней и возведение в степень представляют собой техническую часть алгебры.

Поскольку в повседневной жизни арифметика используется практически повсеместно, то определенные познания в этой науке необходимы абсолютно всем. На протяжении жизни такие операции, как счет, вычисление объемов, площадей, скорости, временных промежутков и протяженностей приходится выполнять очень часто.

Для освоения любой профессии необходимо владеть основными арифметическими знаниями, и особенно это касается тех специальностей, которые связаны с экономикой, техникой и естественными науками.

Арифме́тика: сложения, вычитание, умножения, деление

Арифметику по праву можно считать одной из древнейших наук, имеющих многовековую историю. Как и многие другие науки появилась арифметика не случайно. Человечество постепенно развивалось, нужно было производить расчёты, вести учёт домашнего хозяйства. Со временем появлялись более сложные задачи требующие решения, поэтому наука постоянно развивалась и усовершенствовалась.

На сегодняшний день арифметика – это отдельный раздел математики, изучающий свойства чисел и различные вычислительные операции.

Своим появлением и развитием арифметика обязана греческим математикам и философам-пифагорейцам, которые пытались объяснить с помощью чисел основные закономерности. Ранее, арифметику использовали в архитектуре, проектировании и других отраслях, где были необходимы расчёты. Сегодня арифметика входит в обязательную программу обучения и изучается в начальной школе. Начинают изучение цифр с 1 класса вместе с элементарными вычислительными операциями.

Основные арифметические действия

Арифметика является неотъемлемой частью математики, её основой, поэтому изучение математики начинается с усвоения базы знаний, работы с числами.

Базовыми арифметическими действиями считается:

Сложение

С помощью сложения можно подсчитать сумму двух чисел и получить третье число. Выражается арифметическое действие формулой:

a + b = c — где a и b – слагаемые, а с – сумма.

Вычитание

С помощью вычитания можно подсчитать разницу двух чисел. Формула вычитания:

a — b = c — где a – уменьшаемое, b – вычитаемое, а с – разница.

Умножение

Умножение используют если какое-то число (множимое) нужно увеличить в несколько раз (множитель). Полученный результат называют произведением чисел. Множитель и множимое можно переставлять местами, от этого их произведение не меняется. Формула умножения:

a × b = c

— где a и b – множители, а с – произведение.

Деление

Если число необходимо разделить на несколько частей используют деление. В этом случае число (делимое) делят на другое число (делитель) и получают частное. Проверить правильность операции можно если помножить делитель и частное, в результате должно получится исходное делимое число. Формула деления:

a ÷ b = c — где a – делимое, b – делитель, а с – частное.

Кроме основных простейших арифметических операций (сложения, вычитания, умножения и деления), в математике проводят и ряд других, более сложных операций таких как: извлечение корня, возведение чисел в степень. Эти операции изучают в старших классах.

Благодаря появлению арифметики человек научился считать и вести расчёты, что во многом облегчило быт и ведение хозяйства.

Урок 1. повторение: сложение и вычитание, устные и письменные приёмы сложения и вычитания — Математика — 3 класс

Математика, 3 класс

Урок №1. Повторение: сложение и вычитание, устные и письменные

приёмы сложения и вычитания

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— какие приёмы вычисления существуют в математике?

— как выполнить устные вычисления?

— как выполнить письменные вычисления?

Глоссарий по теме:

Двузначные числа – числа, в записи которых использовали две цифры. Одна цифра указывает на десятки, другая – на единицы.

Устный способ вычисления выполняется с использованием знаний о составе числа.

Письменный способ вычислений – вычисления записываются в столбик.

Чтобы узнать, на сколько одно число больше или меньше другого, надо из большего вычесть меньшее.

От перестановки слагаемых сумма не изменяется.

Основная и дополнительная литература по теме урока:

1. Моро М.И., Бантова М.А. и др. Математика 3 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.; Просвещение, 2017. – с.4-6.

2. Моро М.И., Волкова С.И. Математика. Рабочая тетрадь 3 класс. Часть 1. М.; Просвещение, 2016. – с.4-5.

3. Волкова С.И. Математика. Проверочные работы 3 класс. М.; Просвещение, 2014. – с.4-7.

4.М.И.Моро, С.И.Волкова. Для тех, кто любит математику 3 класс. Учебное пособие дляобщеобразовательных организаций. М.; Просвещение, 2018. – с. 4-6.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Математика очень серьёзная, сложная и непростая наука. Состоит математика из трёх основных разделов: арифметики, алгебры и геометрии. С каждым из этих разделов ты будешь знакомиться.

Первый и важный раздел: АРИФМЕТИКА.

Арифметика – азбука математики. Это наука о числах, с которой каждый начинает своё знакомство с миром математики.

Арифметика изучает числа, способы их записи и действия с ними.

Вспомним, как правильно записывать двузначные числа:

  1. Запишем число, в котором 5 дес. 8 ед. — 58.
  2. Запишем число, в котором 1 десяток 6 единиц — 16.
  3. Запишем число, следующее присчёте за числом 69 – 70.
  4. Запишем число, предшествующее числу 30 – 29.
  5. Запишем соседей числа 40 – 39 и 41.
  6. Запишем самое маленькое двузначное число – 10.
  7. Выпишем из чисел 76, 35, 84, 48, 22 число, в котором меньше всего десятков– 22.

Арифметика изучает действия с числами: сложение, вычитание, умножение, деление.

  1. Найдём сумму чисел 54 и 8. Значит, надо к 54 прибавить 8, сумма равна 62.
  2. Найдём разность чисел 80 и11. Значит, нужно из 80 вычесть 11, разность равна 69.
  3. На сколько 27 больше, чем 9? 27 – 9 = 18. На 18.

Чтобы узнать на сколько одно число больше или меньше другого, надо из большего вычесть меньшее.

Выполняя сложение или вычитание чисел, десятки прибавляют к десяткам, единицы к единицам; из десятков вычитают десятки, из единиц единицы.

Например:

32 + 7 = 39, так как 7 единиц прибавляем к 2 единицам.

49 – 4 = 45, так как 4 единицы вычитаем из 9 единиц.

20 + 65 = 85, так как 2 десятка прибавляем к 6 десяткам.

При сложении нескольких слагаемых можно сгруппировать слагаемые так, чтобы в сумме двух из них получилось круглое число.

Ведь от перестановки слагаемых сумма не изменится.

Например:

65 + 9 + 5= 65 + 5 + 9 = 70 + 9 = 79

36 + 8 + 12 = 36 + 20 = 56

50 + 19 + 1 + 20 =50+20 + 19+1 = 70 + 20 = 90

Письменный способ вычислений – это запись примеров в столбик.

Письменным способом можно воспользоваться как при сложении и вычитании двузначных чисел, так и при сложении и вычитании однозначных и многозначных чисел.

Задания тренировочного модуля:

1. Не вычисляя, выберите верные равенства.

2 + 6 + 8 = 2 + 8 + 6; 7 + 50 = 7 + 3 + 50;

4 + 3 + 6 = 4 + 6 + 2; 30 + 8 + 20 = 30 + 20 + 8.

Правильный ответ:

2+6+8=2+8+6;

30+8+20=30+20+ 8.

2. Выберите карточку, на которой записано правильное решение к задаче.

В один альбом у Саши поместилось 30 фотографий, а в другой – 25. После этого Саше осталось разложить ещё 20 фотографий. Сколько всего фотографий у Саши?

Правильный ответ:

3. Подчеркните все выражения, значения которых равны 13.

74 – 61; 7 + 5;

52 – 40; 5 + 8;

43 – 30; 7 + 7.

Правильный ответ:

74 – 61;

43 – 30;

5 + 8.

границ | Приблизительное арифметическое обучение улучшает неформальные математические способности дошкольников с низкой успеваемостью

Введение

Ранняя математическая компетентность является важным предиктором более поздних академических достижений и множества показателей здоровья и экономического благополучия взрослых (Duncan et al., 2007; Jordan et al., 2009, 2010; Reyna et al., 2009; Geary). и др., 2013; Джерарди и др., 2013). Крайне важно, чтобы дети поступали в детский сад и в первый класс подготовленными к формальному изучению математики, однако уровень математических навыков, приобретаемых детьми в дошкольном возрасте, сильно различается (Jordan et al.

, 2006). Концептуальные знания о сложении и вычитании являются особенно важным навыком для детей в начале формального математического образования (Nunes et al., 2007; Ching and Nunes, 2017). Таким образом, улучшение ранних концептуальных знаний по арифметике является важным способом повышения математической подготовленности дошкольников.

Приблизительная система счисления (ANS) поддерживает интуитивное чувство числа, которое позволяет взрослым, младенцам и многим животным сравнивать, оценивать и манипулировать несимволическими и приблизительными числовыми величинами (Feigenson et al., 2004). Например, ВНС позволяет детям различать, какой из двух наборов объектов больше по количеству. Существует скромная, но значимая связь между остротой ВНС и символическими математическими навыками (см. мета-анализ Chen and Li, 2014; Fazio et al., 2014; Schneider et al., 2016). В частности, дети и взрослые с более высокой остротой ВНС показывают лучшие результаты по математическим показателям успеваемости, таким как TEMA, расчетная часть теста Вудкока Джонсона или даже на экзаменах SAT (Halberda et al. , 2008, 2012). Это отношение предполагает, что ВНС может быть строительным блоком, на котором дети закрепляют свое представление о символическом числе. Предыдущие исследования показали, что дети могут решать математические задачи несимволически и примерно до того, как они поймут те же операции символически (Barth et al., 2005). С помощью ANS маленькие дети могут сравнивать, складывать, вычитать, умножать и делить, а также решать простые линейные уравнения, используя наборы объектов с точностью, зависящей от соотношения (Barth et al., 2006; Маккринк и Спелке, 2010, 2016; Киббе и Фейгенсон, 2015). В отличие от этих потрясающих несимволических и приблизительных математических способностей, детей необходимо специально учить тому, как эффективно решать одни и те же символические математические задачи в течение многих лет формального школьного обучения.

Для дальнейшей проверки гипотезы о том, что представления ВНС служат строительным блоком для символьной математики, в недавней работе была проверена возможная причинно-следственная связь между задачами на основе ВНС и навыками символьной математики. В первом из этих исследований Парк и Брэннон (2013, 2014) обучали взрослых выполнять приблизительную арифметическую задачу и проверяли их беглость в символьной арифметике до и после тренировки. Во время приблизительного арифметического обучения испытуемые наблюдали за действиями сложения и вычитания, изображаемыми анимированными массивами точек. Например, во время эксперимента с добавлением массив точек появился, а затем переместился за непрозрачный прямоугольник. Затем появился второй массив точек, который также переместился за коробку. После просмотра этой анимации испытуемый представляет себе сумму за коробкой и сравнивает эту воображаемую величину со второй видимой величиной.Взрослые, обученные этому приблизительному арифметическому заданию, продемонстрировали большее улучшение в символической арифметической оценке по сравнению с контрольной группой без контакта, группой, обученной общеизвестным фактам, группой, обученной быстро упорядочивать цифры, группой, обученной кратковременной зрительно-пространственной памяти. задание, и группа, обученная примерному сравнению численности. Таким образом, для взрослых практика мысленного манипулирования приблизительными величинами в арифметических операциях дала пользу для выполнения символических арифметических действий, чего не давало ни одно из контрольных обучающих заданий.Это открытие подняло важный вопрос о том, может ли несимволическое и приблизительное арифметическое обучение быть эффективным для детей. Если будет доказана эффективность обучения дошкольников, приближенное арифметическое обучение может стать полезным инструментом для ознакомления детей с арифметическими понятиями до того, как они будут готовы освоить символическую арифметику в классе.

Несколько экспериментов изучали эту возможность, обучая детей выполнять приблизительные арифметические задачи и проверяя их математические способности после обучения (Hyde et al., 2014; Ханум и др., 2016; Парк и др., 2016; Диллон и др., 2017). Хайд и др. (2014) обнаружили, что первоклассники, завершившие тренировку по приближенным арифметическим вычислениям или сравнению точек, быстрее справились с арифметическим тестом, чем дети, прошедшие тренировку по сложению длины линий или сравнению яркости. Этот вывод был воспроизведен в независимой выборке детей, что свидетельствует о том, что приблизительное арифметическое обучение улучшает беглость счета (Khanum et al., 2016). В крупномасштабном исследовании, проведенном в Индии, приближенная арифметика в сочетании с обучением геометрии улучшила несимволические, но не символические математические способности у детей дошкольного и младшего школьного возраста (Dillon et al., 2017). Дети, которые участвовали в несимволическом математическом обучении, сохраняли более высокие несимволические математические навыки через 1 год после обучения по сравнению с детьми в контрольной группе. Парк и др. (2016) проверили эффективность приблизительного арифметического обучения детей дошкольного возраста с использованием парадигмы обучения до/после тестирования.Планшетное приложение для приближенной арифметики под названием Max’s Math Game было создано, чтобы отразить исследования взрослых по приблизительной арифметике, проведенные Парком и Брэнноном (2013, 2014). Более 10 учебных занятий дети дошкольного возраста играли в математическую игру Макса или в нематематическую игру на запоминание картинок. Детей тестировали с помощью Третьего издания теста на ранние математические достижения (ТЕМА-3; Гинзбург и Баруди, 2003 г.), а также измеряли словарный запас, кратковременную память и исполнительные функции до и после обучения.Дошкольники, тренировавшиеся на приближенной арифметической задаче, выборочно улучшили результаты по ТЕМА-3 значительно больше, чем дети, тренировавшиеся на игре «картинка-память». В совокупности исследования несимволического обучения математике показывают, что практика приближенных и несимволических арифметических действий может быть эффективным способом улучшить математические навыки маленьких детей (но см. Szucs and Myers, 2017).

Настоящее исследование направлено на продвижение исследований в области обучения приближенным арифметическим вычислениям двумя способами. Во-первых, текущее исследование было разработано, чтобы дать представление о природе символических математических навыков, которые приближаются к преимуществам обучения арифметике. Предыдущие исследования показали, что острота ВНС коррелирует с вопросами TEMA-3, которые оценивают неформальные, но не формальные математические способности (Libertus et al., 2013). Таким образом, возможно, что приближенное арифметическое обучение избирательно улучшает неформальные, но не формальные математические способности. Неформальные математические способности включают счет, оценку числовой величины и знание порядковых отношений между числами в счетной последовательности, в то время как формальные математические способности включают поиск фактов и идентификацию чисел (Ginsburg and Baroody, 2003; Jordan et al., 2009). Неформальные символические математические навыки требуют от детей использования числовых слов и символов в математических операциях. Например, неформальный математический вопрос «У вас есть 4 пенни. Я даю вам еще 2 копейки. Сколько пенни у тебя всего?» является концептуальным тестом сложения. Напротив, формальные математические навыки включают в себя запоминание математических фактов. Например, когда ребенку показывают цифру «4» и спрашивают: «Какая это цифра?» ребенок должен вспомнить, что символу «4» соответствует слово «четыре».При приближенном арифметическом обучении дети не приобретают опыт формально-математического навыка определения того, что символу «4» соответствует слово «четыре», однако процесс сложения моделируется многократно. Таким образом, приблизительная и несимволическая практика сложения и вычитания может избирательно повысить производительность при решении неформальных математических задач, которые проверяют знание арифметических понятий. Чтобы проверить эту гипотезу в текущем исследовании, мы создали меру ранних математических навыков, вдохновленную программой проверки чувства числа (NSS; Research Edition: Glutting and Jordan, 2012).Многие стандартизированные тесты по математике для детей младшего возраста, такие как ТЕМА-3, являются хорошими показателями общей успеваемости по математике в раннем возрасте, но из-за возрастной стандартизации и процедур титрования трудно разбить конкретные математические навыки, улучшенные в результате обучения. Наша мера разделена на разделы, каждый из которых определяется определенным математическим навыком. Этот дизайн позволил нам отдельно оценить улучшения в неформальных и формальных математических навыках в результате приблизительного арифметического обучения.

Второй целью текущего исследования было сравнение эффективности обучения приближенным арифметическим методам с существующими методами обучения математике.В частности, мы сравнили приблизительное арифметическое обучение с двумя коммерчески доступными приложениями, предназначенными для улучшения знаний о символах, играми 123 Ninja и ABC Ninja (alligatorapps.com). Предыдущие исследования сравнивали эффективность приблизительного арифметического обучения с контрольными группами, обученными нечисловым задачам, а не с образовательными математическими играми. Чтобы приблизительная арифметика была полезной в классе, она должна быть не менее эффективной, чем другие математические игры, соответствующие возрасту.В контрольных тренировочных играх, используемых в текущем исследовании, дети видят несколько цифр (123 Ninja) или букв (ABC Ninja), плавающих по экрану. Затем ребенок слышит одну букву или одно числовое слово и получает задание выбрать соответствующий символ. Образовательные приложения для планшетов приобрели популярность в последние годы, но их фактические образовательные результаты практически не тестировались (Hirsh-Pasek et al., 2015). Мы включили игру 123 Ninja, чтобы оценить, будет ли соответствующее возрасту символическое математическое обучение столь же эффективным для улучшения математических способностей, как и приблизительное арифметическое обучение.Мы также включили игру ABC Ninja, чтобы обеспечить условия активного контроля, которые измеряют базовые эффекты игры в любое образовательное приложение для планшета с экспериментатором.

В целом, наш дизайн позволяет сравнивать приблизительное арифметическое обучение с образовательными контрольными условиями и может более точно определять тип математических навыков, улучшенных благодаря приблизительному арифметическому обучению. Было показано, что наше приложение для обучения приблизительной арифметике, Max’s Math Game, улучшает ранние математические навыки, как было измерено TEMA-3, но острота ВНС коррелирует с неформальными, но не формальными математическими вопросами в TEMA-3 (Libertus et al. , 2013; Парк и др., 2016). Кроме того, обучение приблизительной арифметике не требует отработки формальных математических навыков. Эти факты позволили нам предсказать, что приблизительное арифметическое обучение улучшит неформальные, но не формальные математические навыки. И наоборот, мы предсказали, что 123 Ninja, приложение для обучения распознаванию чисел, улучшит формальные навыки распознавания чисел. Наконец, мы предсказали, что обучение распознаванию букв (ABC Ninja) не улучшит ни формальные, ни неформальные математические навыки, но улучшит знание алфавита.Наконец, в соответствии с выводами Park et al. (2016), мы не предсказали влияния условий обучения на словарный запас, исполнительную функцию или кратковременную память.

Методы

Участники

Сто пятьдесят восемь детей со средним возрастом 4,68 (3,27–5,72) были псевдослучайно распределены по одному из трех условий, чтобы свести к минимуму различия в возрасте, поле, PPVT и математическом балле в группах на этапе предварительного тестирования. Письменное согласие родителей было получено в соответствии с протоколом, принятым Наблюдательным советом Университета Дьюка.Дети были отобраны из 7 разных дошкольных учреждений, и мы попытались дать согласие всем родителям с детьми в возрасте 3–5 лет в каждом дошкольном учреждении. Пять из 7 дошкольных учреждений участвовали в программе Pre-K Северной Каролины. Эта программа обеспечивает дошкольное образование для детей с низким социально-экономическим статусом. Чтобы иметь право на участие в этой программе, доход родителей должен составлять не более 75% от среднего дохода штата. Восемьдесят четыре процента участников нашего исследования были зачислены в программу NC-PreK. Мы получили подробные демографические данные по 86 детям.Среди этого подмножества нашей выборки 26% идентифицировали себя как латиноамериканцев, 63% как нелатиноамериканцев и 11% не сообщили. Шестьдесят один процент выборки определили себя как афроамериканцев, 6% как представителей европеоидной расы, 9% как азиатов, американских индейцев или представителей смешанной расы, а 24% не сообщили. Тридцать четыре процента матерей сообщили о среднем или каком-либо среднем образовании, 38 % сообщили об окончании колледжа или какого-либо колледжа, 16 % о высшем образовании или о каком-либо высшем образовании, 3 % о высшем образовании и 9 % предпочли не сообщать. Семнадцать дополнительных участников получили согласие, но не завершили исследование по разным причинам, включая уход из школы, посещение школы на ограниченной основе, семейный отпуск или достижение 6-летнего возраста до начала тестирования.Один участник, завершивший исследование, был исключен из анализа из-за частых пропусков и прохождения посттестовой сессии после продолжительного зимнего перерыва (111 дней между до и посттестами).

Процедура

Участники прошли в общей сложности 14 экспериментальных сеансов: 2 сеанса до тестирования, 10 сеансов обучения и 2 сеанса после тестирования. Все занятия проводились в тихом месте дошкольного учреждения. Каждый сеанс до и после теста длился от 20 до 40 минут и проводился индивидуально. Экспериментатор, проводивший до и после тестирования, не знал о состоянии ребенка, за исключением первых 9 протестированных участников. Предварительные и последующие тесты состояли из символьного математического теста, основанного на программе Number Sense Screener (NSS; Research Edition: Glutting and Jordan, 2012), задачи на кратковременную память, задачи на интерференцию Струпа, стандартной задачи сортировки карточек, теста Пибоди. Picture Vocabulary Test 4th Edition (PPVT-4; Dunn and Dunn, 1997), задание на знание алфавита и задание «Назови число» (Wynn, 1990, 1992).У каждой оценки было две версии, и каждому ребенку давали разные версии теста для предварительного и последующего тестирования с уравновешенным порядком версий среди участников. Среднее время между до и после теста составило 27 дней. Тренировочные занятия проходили в малых группах по 3–8 детей. Во время первой тренировки детей подробно инструктировали, как играть в игру. После первой тренировки дети были проинструктированы по мере необходимости. Дети находились под наблюдением в течение полных 12 минут тренировки, чтобы убедиться, что игра проводится правильно и с полным вниманием.Во время тренировки дети носили наушники, чтобы повысить внимание к словесным инструкциям в каждой игре. Дети были награждены после каждого экспериментального сеанса наклейкой по своему выбору. После того, как все дети в классе завершили все 14 занятий, каждый ребенок получил развивающую книгу и конструктор, а класс получил дополнительный образовательный подарок, выбранный учителем.

Учебные задачи

Приблизительное обучение арифметике (Математика Макса)

Испытание началось с того, что Макс (мультяшный медведь) держал в руках красный шарик (рис. 1А, Б).Детей просили «лопнуть красный шарик», прикоснувшись к нему, после чего шарик лопнул и сбросил набор из 4–64 отдельных объектов (например, колосьев, слонов) в непрозрачный контейнер. Было четыре типа испытаний: сравнение сложения, сравнение с вычитанием, сопоставление сложения и сопоставление с вычитанием. Во время испытаний на добавление лопнул второй синий шарик, и в тот же контейнер упало больше предметов. Во время испытаний на вычитание синий шар лопнул, чтобы показать птицу, которая прилетела и удалила часть исходного набора объектов из контейнера и с экрана.В сравнительных испытаниях дети сравнивали запомненную сумму или разность с новым целевым массивом, который появлялся во втором контейнере справа, и им предлагалось выбрать контейнер, в котором было больше элементов. При сопоставлении испытаний детям показывали два новых целевых массива с видимыми объектами, и дети выбирали контейнер, содержащий то же количество элементов, что и запомненная сумма или разность. Детям давали каждый из 4 типов проб в отдельных блоках по 10 проб. После двух блоков по 10 попыток в каждом для удержания внимания проигрывался короткий фильм продолжительностью 45–60 секунд.В половине совпадающих испытаний контейнер с меньшим количеством предметов был правильным выбором. Дети выполнили как можно больше попыток за 12 мин. Среднее количество попыток, выполненных за сеанс, составило 39 (стандартное отклонение 5,3) или около 1 блока каждого типа испытаний за 12-минутную тренировку.

Рисунок 1 . Скриншоты приложения для обучения приближенной арифметике (Max’s Math Game). (A) Сравнительный тест One Addition в игре Max’s Math Game.Это та же самая приблизительная арифметическая обучающая игра, которая использовалась в Park et al. (2016). Крайняя левая панель — это начало испытания, а испытание заканчивается на самой дальней правой панели, где участник делает свой выбор. Стрелки, показанные на средних панелях, не отображались во время игры. (B) Сравнение одного вычитания в математической игре Макса.

Сложность титровалась на основе производительности путем манипулирования отношением целевого массива к запомненной сумме или разнице.Для этого мы варьировали числовое расстояние между целью и альтернативой в логарифмической шкале с основанием 2 (уровень логарифмической разницы). Игра началась с уровнем разницы логов 2 (соотношение между массивами было 1:2 2 или 1:4). Например, если целью было 20, альтернатива была либо (20*4), либо (20/4). Уровень логарифмической разницы изменился в зависимости от средней точности ребенка в блоке из 10 испытаний. Если средняя точность была <60%, уровень логарифмической разницы увеличивался на одно из значений, случайно выбранных из [0.08, 0,09, 0,10, 0,11, 0,12] для следующего блока. Если средняя точность была между 65 и 80%, уровень логарифмической разницы оставался прежним. Если средняя точность для блока была больше или равна 80%, уровень логарифмической разницы уменьшался на одно из значений, случайно выбранных из [0,13, 0,14, 0,15, 0,16, 0,17] для следующего блока. Каждый тип испытания титровался отдельно. Уровень разницы журналов никогда не превышал 2.

123 Ниндзя — обучение цифровой идентификации

123 Ninja — коммерческое образовательное приложение, которое можно найти в Apple App Store и которое разработано Alligator Apps (alligatorapps. ком). В этой игре дети слышат числовое слово, так как на экране появляются две или три цифры. Дети должны провести пальцем по цифре, соответствующей слову, которое они слышат. Если они правильно определяют цифру, игра издает звук, указывающий на правильный ответ, и полоса в верхней части экрана начинает заполняться. Как только полоса полностью заполняется, ребенок получает звезду, которая затем появляется в верхней части экрана на протяжении всей оставшейся части сеанса. Если ребенок проводит пальцем по неправильной цифре, раздается хлопающий звук, и неправильно проведенная цифра становится серой.Один и тот же номер повторяется до тех пор, пока ребенок не проведет правильную цифру. Задание не титровалось по сложности. Дети выполнили столько попыток, сколько смогли за 12-минутную тренировку. Цифры варьировались от 0 до 19. Каждое число определялось примерно 3 раза в течение 1 тренировки.

ABC Ninja — Обучение буквенной идентификации

ABC Ninja создан тем же разработчиком приложений, Alligator Apps. Это то же самое, что и 123 Ninja, за исключением того, что на экране вместо цифр появляются буквы.Использованы все заглавные буквы A-Z.

Предварительные и последующие тесты

Тест по неформальной математике

В качестве меры символической математики мы модифицировали NSS, чтобы сделать его подходящим для дошкольников (NSS; Research Edition: Glutting and Jordan, 2012). Мы использовали этот показатель вместо ТЕМА-3, потому что NSS разделен на типы вопросов. Это позволило нам оценить результаты по неформальным и формальным математическим вопросам отдельно. Наш тест включал пять неформальных типов задач: подсчет, сравнение символьных чисел, невербальные вычисления, арифметические задачи-рассказы и простые арифметические задачи.Задачи, используемые в NSS, были расширены, формулировки некоторых задач изменены, и была создана версия теста B, чтобы сделать тест подходящим для детей дошкольного возраста и наших исследовательских вопросов. Раздел подсчета включал в себя подсчет элементов на странице и устный подсчет как можно большего числа. Раздел сравнения символических чисел включал такие вопросы, как «Что больше или больше, 6 или 8?» и «Какое число идет сразу после 7?» с визуальным отображением цифр. При невербальном счете детям показывали от 1 до 4 жетонов, которые затем перемещали под непрозрачную бумажную карточку в арифметической операции.Например, в одном испытании ребенку сначала показывали 3 жетона, которые затем прятали под карточкой. Затем ребенку показывали 2 новых жетона, которые потом прятали под той же карточкой. Ребенок должен был положить точно такое же количество жетонов под свою карточку, чтобы соответствовать ответу на задачу на сложение или вычитание, смоделированную экспериментатором. В разделе задач по арифметике были такие вопросы, как «У вас есть 4 копейки. Я даю вам еще 2 копейки. Сколько пенни у тебя всего?» Раздел с простыми арифметическими задачами включал такие вопросы, как «Сколько будет 7 отнять 4?» и «Сколько будет 2 и 1 вместе?» в то время как цифры в вопросе появились на книге перед ребенком. Всего было задано 28 вопросов, и эффективность оценивалась как общее количество правильно отвеченных вопросов. Опубликованная оценка надежности повторного тестирования для NSS составляет 0,81 для детсадовцев, измеренных с разницей в месяц. Кроме того, мы сопоставили результаты всех испытуемых до и после теста, чтобы получить прокси-меру надежности в нашей выборке. Коэффициент корреляции Пирсона между результатами неформального теста по математике до и после теста составил 0,65, что указывает на приемлемую надежность.

Формальный тест по математике

Формальный раздел теста по математике состоял из 8 вопросов по идентификации чисел.Детям показывали число и спрашивали: «Какое это число?» Эффективность оценивалась как общее количество правильных ответов. Коэффициент корреляции между оценками по формальной математике до и после теста составил 0,81, что указывает на высокую надежность.

Номер Word Знание

Секция кардинальности была заданием на определение числа (Wynn, 1990, 1992). В этом задании каждому ребенку давали тарелку с рыбой, знакомили с плюшевым динозавром и говорили, что животное голодно. Затем экспериментатор спросил: «Можете ли вы дать динозавру одну рыбу?» Как только ребенок положил рыбу на тарелку, его спросили: «Это одна рыба?» Детям разрешалось зафиксировать свои ответы, и не было ограничения по времени.В случае успеха ребенка просили дать динозавру две рыбы и давали время исправить свой ответ. В каждой последующей попытке детей просили дать динозавру N+1 (в случае успеха) или N−1 (в случае неудачи) рыбу. Никакой обратной связи не было предоставлено. Испытания продолжались до тех пор, пока не было 2 успешных попыток при данном N и двух неудач при N-1, при этом N = 6 было максимальным запрошенным значением. Дети были классифицированы по уровню знаний, определяемому как максимальное число, которое они могли успешно произвести. Коэффициент корреляции между уровнем знаний до теста и уровнем знаний после теста равнялся 0.77.

Задача кратковременной памяти: диапазон букв

Дети слушали, как экспериментатор читает последовательность букв. Затем ребенка просили повторить буквы в том же порядке. Всего было 6 блоков по 5 попыток в каждом. В каждом последующем блоке строка букв увеличивалась на одну букву, так что первый блок содержал две цепочки букв, а последний блок содержал семь букв. Дети продолжали до тех пор, пока не пропустили 3 или более попыток в одном блоке. В вариантах А и Б использовались одни и те же буквы, но в другом порядке.Использовались только односложные буквы, а буквы со схожими звуками (например, в и б) исключались. Мы использовали эту задачу на кратковременную память для согласованности с тестом Park et al. (2016) эксперимент. Однако важно отметить, что это показатель краткосрочной вербальной памяти, а не кратковременной визуальной памяти. Один участник в состоянии ABC Ninja не выполнил это задание. Производительность измерялась как общее количество успешных испытаний. Коэффициент корреляции между показателями кратковременной памяти до и после теста равнялся 0.75.

Исполнительная функция: задача сортировки стандартных карт изменения размеров и интерференции Струпа

Для измерения исполнительной функции мы использовали два задания и создали составную оценку для повышения надежности и достоверности измерения (Moreau et al. , 2016). Баллы по каждому заданию усреднялись для создания сводного балла, взвешенного по единицам, при котором обе задачи имели одинаковый вес. Первой задачей была стандартная сортировка карт с изменением размеров. В этом задании дети должны отсортировать набор предметов двумя способами: по категории предметов и по цвету.Сначала детям раздали стопку из 10 карточек с черно-белыми изображениями рыб и птиц. Перед ними поставили две коробки, на одной была изображена черная рыба, а на другой — белая птица. Затем ребенка просили рассортировать карточки по форме (рыба или птица). Фиксировалось количество правильно отсортированных карточек и время, затраченное на выполнение задания. Далее ребенку показывали, как сортировать карточки по цвету на трех карточках-примерах, а затем просили отсортировать 10 карточек по цвету (белому или черному).Опять же, фиксировалось количество правильно отсортированных карточек и время, затраченное на выполнение задания. Для версии B на картах были белые или черные корабли или самолеты. Для версии A карты были рыбой или птицей в соотношении 5:5 и черными или белыми в соотношении 6:4. Для версии B карты были самолетами или кораблями в соотношении 6:4 и черными или белыми в соотношении 5:5. Один участник условия 123 ниндзя не выполнил это задание. Для измерения производительности использовалась составная оценка общего количества правильно отсортированных карточек, деленная на общее время сортировки всех карточек во время второй сортировки.Второй задачей была задача Stroop Interference. Детям по очереди показывали изображения кошки или собаки на карточке. В первой части задания детей просят назвать каждое изображение, как только они его увидят, и экспериментатор отмечает, правильные они или неправильные. Также фиксировалось общее время наименования изображений. Для второй части задания ребенка просят назвать противоположное животное. Например, если они видят кошку, они должны сказать «собака» и наоборот. Опять же, ответы оценивались как правильные или неправильные в зависимости от первого ответа ребенка, и регистрировалось общее время, затрачиваемое на называние изображений. Каждая часть задания содержала 16 изображений в соотношении 1:1 для каждого типа изображений. Для варианта Б детям показывали изображения уток и коров. Эта задача была адаптирована из Gerstadt et al. (1994) дневная/ночная задача. Один участник в состоянии ABC Ninja не выполнил это задание. Для измерения производительности использовали составную оценку общего количества правильно названных животных, разделенную на общее время, необходимое для того, чтобы назвать всех животных, когда имена животных были перевернуты. Коэффициент корреляции между суммарной оценкой исполнительной функции до и после теста равнялся 0.69, что указывает на разумную надежность.

Тест Пирсона на словарный запас в картинках

Словарный запас оценивали с помощью ППВТ-4 (PPVT-4; Dunn and Dunn, 1997). Ребенку показывают буклет с четырьмя изображениями на каждой странице. Экспериментатор читает слово вслух, а ребенка просят указать на соответствующее изображение. Задание продолжалось до тех пор, пока ребенок не ответил неправильно на 10 и более слов в блоке. Баллы были нормализованы со стандартной оценкой 100. Сообщаемая стандартизированная надежность повторного тестирования для PPVT является высокой с коэффициентом корреляции, равным 0.91–0,94 в возрастном диапазоне наших участников. В нашей выборке коэффициент корреляции между оценкой PPVT до и после теста составил 0,75, что указывает на приемлемую надежность.

Знание алфавита

Детям показывали каждую из 26 букв алфавита на карточке. Все представленные буквы были прописными буквами, напечатанными шрифтом Chalkboard SE. Использовались два разных порядка, и порядок был уравновешен для детей в каждом состоянии. Детей просили назвать каждую букву по мере их предъявления, и их ответы записывались.Производительность измерялась как общее количество правильно идентифицированных букв. Коэффициент корреляции между оценкой знаний до и после алфавита составил 0,94, что указывает на высокую надежность.

Результаты

Тренировочная производительность

Участники в условиях приблизительного арифметического обучения показали постоянное снижение уровня логарифмической разницы, на что указывает отрицательная корреляция между уровнем логарифмической разницы и пробой на всех тренировочных занятиях ( r = -0. 99, р < 0,0001). Игры Ninja были коммерческими приложениями и не предназначались для сбора данных, поэтому показатели производительности по сравнению с обучением были менее точными. В конце каждого сеанса обучения приложения возвращали, сколько раз ребенок провел пальцем по правильному символу, когда он появился. Этот показатель показал, что на всех занятиях дети смахивали правильную цифру в 63% случаев в состоянии 123 ниндзя и правильную букву в 67% случаев в состоянии ниндзя ABC.Не было свидетельств изменения количества правильно смахнутых букв с первого по последний день обучения ни в одном из состояний ниндзя (123 ниндзя, t = 1,26, p = 0,21; ABC Ninja, t = 0,95 , р = 0,34).

Анализ эффектов переноса

Предтестовые и посттестовые оценки по каждому показателю представлены в таблице 1. При предварительном тестировании не было существенной разницы в предтестовых оценках в зависимости от условий обучения [составное математическое, F (2, 154) = 0. 162, р = 0,85; неформальная математика, Ж (2, 153) = 0,098, р = 0,91; формальная математика F (2, 153) = 0,235, p = 0,79; ППВТ, Ф (2, 153) = 0,206, р = 0,81; исполнительная функция, F (2, 150) = 0,063, р = 0,94; кратковременная память F (2, 151) = 1,05, p = 0,35; знание алфавита, F (2, 154) = 2.20, р = 0,12; Укажите число, Краскел–Уоллис χ 2 = 0,710, df = 2, p = 0,70]. Чтобы изучить изменение производительности от предварительного к послетестовому тестированию, были рассчитаны баллы усиления для каждого участника по каждому показателю. Стандартизированная оценка прироста для каждого показателя была рассчитана путем вычитания оценки до тестирования из оценки после тестирования, а затем деления оценок прироста на стандартное отклонение оценок до тестирования для этой меры. Это позволило сравнить показатели прироста по разным показателям.Мы исключили любую стандартизированную оценку прироста, когда значение было меньше, чем Q1–3 × IQR, или больше, чем Q3 + 3 × IQR (где Q1 — первый квартиль, Q3 — третий квартиль, а IQR находится в межквартильном диапазоне). Эта процедура удалила 10 показателей усиления из 1099 точек данных (<1% данных). Выбросы включали 1 балл прироста PPVT, 4 суммарных балла по исполнительным функциям, 1 балл по неформальной математике, 1 балл по формальной математике и 3 балла по краткосрочной памяти. Выбросы были распределены по всем трем условиям обучения.

Таблица 1 . Средние результаты до и после теста (и стандартные отклонения) для каждого условия обучения.

Эффекты переноса сначала были проанализированы с помощью дисперсионного анализа для сравнения среднего показателя прироста по состоянию для каждого теста до/после. Этот анализ рухнул по возрасту, полу и социально-экономическому статусу. Вопреки нашему основному прогнозу не было существенной разницы в баллах успеваемости по математике в зависимости от состояния [Formal Math F (2, 153) = 0.956, р = 0,39; Неформальная математика F (2, 153) = 0,133, p = 0,88]. Также не было значительного влияния состояния на прибавку баллов по PPVT-4 [ F (2, 153) = 0,652, p = 0,52], кратковременная память [ F (2, 151) = 0,600, p = 0,55], или исполнительная функция [ F (2, 150) = 0,272, p = 0,76]. Тест Краскела-Уоллиса на непараметрические групповые различия не выявил влияния состояния на улучшенный уровень знаний в задаче «Назови число» (Краскела-Уоллиса χ 2 = 4.02, df = 2, p = 0,13). Однако имело место значительное влияние условия на тест на знание алфавита [ F (2, 154) = 2,97, p = 0,05]. Попарные сравнения с поправкой Холма указывают на значимую разницу между участниками в приближенном арифметическом условии и ABC-ниндзя ( p = 0,05), но не между 123-ниндзя и ABC-ниндзя ( p = 0,24) или между приближенным арифметическим условием и 123-ниндзя. ( р = 0.41). Таким образом, дети в состоянии ABC Ninja получили больше знаний об алфавите по сравнению с детьми в приближенном арифметическом условии, но не значительно больше, чем дети в состоянии 123 Ninja.

Затем мы проверили, влияют ли социально-экономический статус, возраст, уровень математических способностей, пол, факторы дизайна эксперимента или условия обучения на результаты неформального и формального математического теста. Мы провели две отдельные процедуры выбора переменных, чтобы выбрать модель, которая лучше всего предсказывает неформальную и формальную математическую оценку после теста.Мы включили следующие переменные в обе процедуры отбора переменных: составной балл по математике перед тестом, условия обучения, условия обучения по составному баллу по математике перед тестом, взаимодействие, пол, возраст, был ли ребенок зачислен в NC-PreK (прокси для SES), вариант теста по математике, который испытуемый сдал на предварительном тесте (A или B), и количество дней между предварительным и последующим тестом. Во-первых, был выполнен пошаговый выбор модели для минимизации AIC с использованием команды «stepAIC» пакета MASS в R (Venables and Ripley, 2002).Эта пошаговая процедура допускала как добавление, так и удаление переменных. Окончательная модель, выбранная с использованием минимальных критериев AIC с неформальным математическим тестом в качестве результата, включала в себя предикторы оценки по математике перед тестом, приблизительное арифметическое условие, оценку по математике перед тестом по приблизительному взаимодействию арифметического условия, пол, возраст и зачисление в NC-PreK (AIC). = 94,64). Чтобы подтвердить эту модель, все регрессии подмножеств с использованием статистики C p были проведены с помощью команды «прыжки» пакета прыжков в R (Lumley and Miller, 2009).Используя этот анализ, модель, полученная из минимальной процедуры AIC, имела статистику C p 4,85 с 6 предикторами, что указывает на небольшое переоснащение. Модель, которая включала как основной эффект 123 ниндзя, так и предварительный математический результат взаимодействия 123 ниндзя, а также все предикторы из предыдущей модели, подходила лучше (таблица 2; C p = 8,82, с 8 предикторами плюс точка пересечения ). Модель, полученная в результате процедуры регрессии всех подмножеств с оценкой по математике перед тестом, основными эффектами состояния, оценкой предварительного теста по взаимодействию состояний, возрастом, полом и зачислением в NC-PreK в качестве регрессоров, представлена ​​в таблице 2.

Таблица 2 . Сводка регрессионного анализа для переменных, полученных в результате процедур выбора моделей, предсказывающих неформальные и формальные математические оценки ( N = 157).

В Таблице 2 все оценки относятся к нематематическому условию управления ABC Ninja. Оценки по математике были Z-баллированы, чтобы оценки можно было интерпретировать как величину эффекта с точки зрения стандартных отклонений. Во-первых, и это наиболее важно для нашей основной гипотезы, член взаимодействия между результатами предварительного теста по математике и приблизительным условием обучения арифметике был значительным [ F (2, 149) = 6.48, p = 0,01], в то время как основной эффект условия 123 ниндзя [ F (2, 149) = 0,081, p = 0,78], а также взаимодействие результатов предварительного теста по математике и условия 123 ниндзя [ F (2, 148) = 0,021, p = 0,88] не было значимым. Неупорядоченное взаимодействие между результатами по математике перед тестом и приблизительным арифметическим условием указывает на то, что для детей с низкими результатами по математике перед тестом приблизительное арифметическое обучение приводило к более высоким математическим результатам после теста, чем условие обучения ABC Ninja.Напротив, для участников с высокими оценками по математике обучение с помощью ABC Ninja привело к улучшению математических результатов.

В дополнение к значительному взаимодействию оценки по математике перед тестом и состояния, существуют также основные эффекты пола, возраста и SES на символическую оценку по математике после теста. В среднем, при прочих равных условиях, девочки набрали на 0,307 стандартных отклонения хуже по символической математике после теста [ F (2, 149) = 7,59, p = 0,007] по сравнению с мальчиками. Возраст ребенка также был важным предиктором символической оценки по математике после теста, которая ожидается в нестандартизированном математическом тесте. Когда все остальное оставалось неизменным, ребенок отвечал на 0,001 стандартного отклонения лучше за каждый день своего взросления [ F (2, 149) = 13,18, p = 0,0004]. Таким образом, в среднем ребенок ответил на 0,365 стандартных отклонений лучше на каждый год жизни. Наконец, то, был ли ребенок зачислен в финансируемое государством дошкольное учреждение, также было важным предиктором результатов по математике после теста. В среднем, при прочих равных условиях, дети в государственных дошкольных учреждениях ответили на 0,380 стандартных отклонений хуже, чем дети, финансируемые за счет частных репетиторов [ F (2, 149) = 6.17, p = 0,01]. В целом, этот анализ показывает, что в дополнение к результатам предварительного теста по математике и состоянию, пол, зачисление в финансируемое государством дошкольное учреждение и возраст также повлияли на успеваемость детей по математике после обучения. Важный для цели этого эксперимента учет дисперсии в неформальной математике из-за SES, пола и возраста выявил эффект условий обучения для участников с низкими математическими баллами, что согласуется с нашей гипотезой о том, что приблизительное арифметическое обучение улучшает неформальные математические способности.

Затем мы запустили обе процедуры выбора модели, чтобы проверить, влияют ли возраст, уровень математических способностей, SES, пол или факторы дизайна эксперимента на производительность при решении формальных математических задач. Окончательная модель, выбранная с использованием минимальных критериев AIC, включала предикторы оценки по математике перед тестом и состояние 123 ниндзя (AIC = 165,47). Используя лучший метод выбора модели регрессии подмножеств, наиболее экономной моделью с лучшей статистикой C p была та же модель, полученная из минимального критерия AIC (C p = 2.72, с двумя предикторами плюс перехват). В этой модели только оценка по математике до теста объясняла значительную дисперсию в оценке по математике после теста [ F (2, 154) = 299,76, p < 0,001], указывая на то, что не было никакого влияния условий на формальные успехи по математике. Результаты не меняются, когда к модели добавляется приближенное арифметическое условие, поэтому модель с этим предиктором включена в таблицу 2 для лучшего сравнения производительности во всех трех условиях обучения. Вопреки нашей гипотезе о том, что обучение 123 ниндзя улучшит формальные математические навыки, этот анализ не показал влияния состояния на выполнение формальных математических тестов.

Анализ эффектов переноса среди участников с низкой успеваемостью по математике

Наша основная гипотеза заключалась в том, что дети в условиях обучения приблизительной арифметике улучшат свои неформальные математические навыки значительно больше, чем дети в условиях обучения распознаванию символов. Вопреки этому прогнозу, мы не обнаружили основного эффекта состояния среди всей выборки участников.Вместо этого мы обнаружили значительную взаимосвязь между предварительным тестом по неформальной математике и приблизительным условием обучения арифметике. Это взаимодействие показало, что среди участников с низким баллом в предварительном тесте по неформальной математике группа, обучающаяся приблизительной арифметике, набрала больше результатов в пост-тесте, чем участники в состоянии ABC Ninja. Основываясь на этом открытии, мы повторно использовали модель в таблице 2 с данными только от участников, которые набрали нижнюю половину результатов предварительного теста по математике по всем показателям математического теста ( N = 87).Демографические данные этой половины данных по сравнению с полным набором данных показаны в таблице 3.

Таблица 3 . Демографические данные полной выборки и участников, набравших меньше половины баллов по математике перед тестом.

Важным для нашей основной гипотезы о том, что обучение приближенным арифметическим вычислениям улучшает неформальные математические способности, был существенный основной эффект приближенных арифметических условий среди участников с низкими результатами по математике перед тестом [Таблица 4 и Рисунок 2; Ф (2, 81) = 4.24, p = 0,04]. Это указывает на то, что для детей с низкими математическими способностями приблизительное арифметическое обучение приводило к более высоким результатам неформальной математики после теста, чем у участников в условиях обучения ABC Ninja. Как и ожидалось, взаимосвязь между оценкой по математике перед тестом и состоянием больше не была значимой среди этой подгруппы участников [ F (2, 80) = 0,230, p = 0,81]. Основной эффект условия 123 ниндзя также не был значительным [ F (2, 81) = 0.363, р = 0,55]. Таким образом, не было никакого влияния тренировочного условия 123 Ninja по сравнению с условием ABC Ninja на результаты неформальной математики после теста. В целом, эти результаты согласуются с нашей первоначальной гипотезой о том, что приблизительное арифметическое обучение улучшает неформальные математические навыки по сравнению с условием ABC Ninja, однако этот эффект ограничивается детьми с низкими начальными математическими способностями.

Таблица 4 . Резюме регрессионного анализа для участников с низкими оценками по математике перед тестом, прогнозирующих оценки по неформальной и формальной математике ( N = 87).

Рисунок 2 . Цветные столбцы отображают влияние приблизительной арифметики и условий обучения 123 ниндзя на каждый показатель математического результата. Столбики погрешностей представляют собой стандартную ошибку коэффициентов. Оценки коэффициентов относятся к успеваемости детей в условиях обучения ABC Ninja. Оценки коэффициентов имеют Z-баллы, поэтому их можно интерпретировать как размеры эффектов с точки зрения стандартных отклонений. Звездочки отражают отклонение нулевой гипотезы об отсутствии различий по сравнению с контрольной группой обучения ABC Ninja.Эти коэффициенты взяты из моделей, представленных в таблице 4.

Среди детей с низкой успеваемостью по математике также наблюдалось значительное влияние пола [ F (2, 81) = 4,86, p = 0,03] и незначительное влияние возраста [ F ( 2, 81) = 3,49, p = 0,07] на итоговую оценку по неформальной математике, но влияние SES больше не наблюдалось [ F (2, 81) = 0,966, p = 0,33 ]. Гендерный эффект указывает на то, что девочки набрали 0 баллов.На 375 стандартных отклонений хуже по символической математике после теста по сравнению с мальчиками. Возрастной эффект показывает, что дети набирали на 0,0008 стандартных отклонений больше за каждый день, когда они старели, или на 0,292 стандартных отклонения за каждый год, когда они старели. Эти эффекты аналогичны эффектам пола и возраста, обнаруженным для полной выборки участников.

Наконец, как и в случае с результатами, включающими полную выборку участников, состояние не влияло на итоговую оценку по формальной математике, но наблюдалось значительное влияние предварительной оценки по формальной математике [Таблица 4; Ф (2, 84) = 73.178, р < 0,001]. Этот результат указывает на то, что условия обучения не повлияли на формальные математические способности. Когда влияние возраста, пола и посещаемости финансируемого государством дошкольного учреждения на балл по формальной математике контролируется, влияние состояния на балл по формальной математике по-прежнему отсутствует [Рисунок 2; Приблизительная арифметика F (2, 81) = 0,901, p = 0,35; 123 Ниндзя F (2, 81) = 0,541, р = 0,46]. Также в соответствии с выводами для полной выборки участников дети в приблизительном арифметическом состоянии с низким начальным баллом по математике не улучшили показатели словарного запаса [ F (2, 81) = 0.000, p = 0,98], кратковременная память [ F (2, 78) = 0,001, p = 0,92], исполнительная функция [ F (2, 81) , 67 = 1 p = 0,22] или знание числовых слов [ F (2, 81) = 0,175, p = 0,68] при учете влияния возраста, пола и финансируемого государством дошкольного образования. Дети в состоянии 123 ниндзя также не улучшились по этим показателям, однако они показали значительно худшие результаты в посттесте на PPVT-4, чем дети в состоянии ниндзя ABC [ F (2, 81) = 6 .55, р = 0,01]. В соответствии с нашей первоначальной гипотезой, дети с низкими математическими баллами в состоянии ABC Ninja показали значительно лучшие результаты в распознавании букв, чем дети в приближенной арифметике [ F (2, 81) = 7,28, p = 0,008] и 123. Ниндзя [ F (2, 81) = 5,81, p = 0,02] условия после теста при контроле результатов предварительного теста, что указывает на то, что обучение ABC Ninja улучшило навыки распознавания букв у детей.В целом, эти результаты демонстрируют специфичность эффекта приближенного арифметического обучения. Улучшения в неформальных математических навыках среди участников с низкими оценками по математике, обладающих приблизительной арифметикой, не были связаны с увеличением кратковременной памяти, исполнительной функции, словарного запаса или знания числовых слов.

Обсуждение

Наше исследование было разработано, чтобы выяснить, положительно ли влияет обучение приближенным арифметическим вычислениям на неформальные, а не формальные математические способности детей дошкольного возраста, помимо любых преимуществ двух имеющихся в продаже образовательных приложений.Вопреки нашей гипотезе, мы не обнаружили пользы от приблизительного арифметического обучения в неформальной математической успеваемости для всех участников. Вместо этого мы обнаружили, что у детей с низкими оценками по математике приближенное арифметическое обучение значительно улучшило неформальные символические математические способности по сравнению с обучением, сосредоточенным на знании букв. Несмотря на неожиданность, этот вывод согласуется с предыдущими исследованиями, в которых была обнаружена корреляция между остротой ВНС и успеваемостью по математике только среди детей, получивших низкие оценки по математике (Bonny and Lourenco, 2013; Purpura and Logan, 2015).В соответствии с нашей гипотезой положительный эффект обучения приближенным арифметическим действиям был ограничен неформальными, а не формальными математическими способностями. Мы не обнаружили влияния условий обучения на формальные математические способности, однако обучение ABC Ninja было эффективным для улучшения знаний алфавита.

Предыдущие исследования с использованием нашего приложения для обучения арифметике Max’s Math показали, что обучение аппроксимации арифметики улучшает математические навыки детей дошкольного возраста во всем диапазоне математических способностей (Park et al. , 2016). Важно отметить, что величина стандартизованного по математике балла прироста для нашего приблизительного арифметического условия обучения для всех участников (0,251 со стандартной ошибкой 0,137) находится в пределах стандартной ошибки, найденной для стандартизированного по математике балла прироста для приблизительных арифметических условий обучения в Парке. и другие. (2016 г.; 0,307 при стандартной ошибке 0,070). В (Park et al., 2016) баллы по математике для группы обучения приблизительной арифметике значительно отличались от баллов по математике для условий тренировки с контролем за памятью изображений, тогда как в нашем исследовании среди полной выборки участников баллы по математике для группы обучения по математике значительно отличались. условия контроля идентификации символов существенно не отличались от группы обучения приблизительной арифметике.Вполне возможно, что имеющиеся в продаже тренировочные игры на идентификацию символов, использованные в нашем исследовании, были более увлекательными, чем условия контроля памяти образов, использованные в Park et al. (2016).

Основное различие между Park et al. (2016) и текущее исследование заключалось в том, что Park et al. (2016) использовали TEMA-3 в качестве критерия результата, тогда как мы использовали модифицированную версию NSS. Стандартизированная оценка прироста для приближенного арифметического условия в предыдущем исследовании была немного, если не значительно, выше, чем оценка прироста для приближенного арифметического условия в текущем исследовании.TEMA-3 может быть более чувствителен к математическим способностям, улучшенным за счет приблизительного арифметического обучения, чем математическая мера в текущем исследовании. Кроме того, ТЕМА-3 стандартизирована, чтобы соответствовать возрасту детей от 3 до 9 лет, тогда как NSS была разработана для детей от детского сада до 1-го класса. Возможно, что, несмотря на нашу попытку модифицировать меру, она не соответствовала возрасту детей дошкольного возраста.

Удивительно, но несмотря на то, что задание 123 ниндзя было разработано для обучения ассоциации между числами и числовыми словами, дети, тренированные в этом условии, не улучшили наш формальный математический тест на идентификацию чисел. Напротив, дети в состоянии ABC Ninja действительно улучшили свои знания алфавита после теста значительно больше, чем дети в приблизительном арифметическом условии. Велика вероятность того, что наша мера числовой идентификации была не такой чувствительной, как наша мера знания алфавита. Тест на цифровую идентификацию включал двузначные числа, которые не были специально обучены, в то время как наша мера знания алфавита включала все буквы алфавита. Этот дизайн привел к большему совпадению между тренировкой и тестом для условия ABC Ninja по сравнению с условием 123 Ninja.Вполне вероятно, что с более согласованным мерой цифровой идентификации обучение ниндзя также будет эффективным для улучшения числовой идентификации.

Другим аспектом нашей гипотезы было то, что дети в приблизительном арифметическом состоянии выборочно улучшали навыки неформальной символической математики, а не тесты кратковременной памяти или исполнительной функции. Дети в приблизительном арифметическом состоянии с низкой оценкой по математике перед тестом выборочно улучшили неформальные математические навыки, а не наши показатели исполнительной функции, краткосрочной памяти, словарного запаса или навыков владения числовыми словами до и после теста. Это открытие предполагает, что улучшение неформальных математических навыков было связано с манипулированием несимволическими величинами, а не с улучшением кратковременной памяти или навыков исполнительной функции или с различиями в знании числовых слов или словарном запасе.

Мы также обнаружили, что как пол, так и СЭС влияли на результаты детей в тесте по символической математике. В целом мальчики показали лучшие результаты по математике, чем девочки. Гендерные различия в результатах не сообщались для NSS, стандартизированного математического теста, на котором основывалась наша математическая оценка (Research Edition: Glutting and Jordan, 2012), хотя работа с более ранней версией теста действительно обнаружила небольшое влияние пола на результаты. того же направления, что и наш эффект (Jordan et al., 2006). Мы также обнаружили влияние социально-экономического статуса на математические результаты после теста, что согласуется с предыдущими выводами (Starkey et al., 2004; Jordan et al. , 2006, 2007). Действительно, Парк и др. (2016) обнаружили, что приблизительное арифметическое обучение было особенно эффективным среди детей с низким доходом. Наше исследование предлагает больше доказательств того, что социально-экономический статус влияет на раннее обучение математике.

Таким образом, в соответствии с нашей первоначальной гипотезой, приблизительное арифметическое обучение улучшило неформальные математические навыки значительно больше, чем обучение буквенной идентификации, однако этот эффект был ограничен только детьми с низкими математическими навыками.Мы обнаружили значительную взаимосвязь между математическими способностями до теста и условиями обучения, так что участники с низкими математическими способностями больше выиграли от приблизительного арифметического обучения, в то время как участники с высокими математическими способностями имели более высокие результаты по неформальной математике после теста после обучения распознаванию символов. Среди участников с низкими баллами по математике основным эффектом были более высокие результаты после теста по математике среди детей в приближенном арифметическом состоянии по сравнению с детьми, которые обучались распознаванию букв. Как и предполагалось, этот эффект был ограничен неформальными, а не формальными математическими навыками. В целом, наши результаты подтверждают вывод о том, что приблизительное арифметическое обучение может быть особенно эффективным для детей с низкими математическими способностями, в то время как дети с высоким уровнем математических навыков получают больше пользы от символического обучения. Наше исследование также согласуется с общим выводом о том, что обучение с помощью планшетных приложений, ориентированных на образование, может быть эффективным в обучении детей навыкам ранней академической деятельности.

Необходимы дополнительные исследования, чтобы определить точные условия, при которых приблизительное арифметическое обучение приносит пользу обучению детей математике.Хотя мы смогли продемонстрировать, что приблизительная арифметика приносит пользу неформальным математическим способностям, эта категория по-прежнему охватывает широкий спектр математических навыков. Будущие исследования должны включать в себя более широкий набор неформальных математических вопросов, чтобы определить конкретные математические навыки, которые больше всего выиграют от приблизительного арифметического обучения. Еще один открытый вопрос — это уровень математических навыков ребенка, когда он начинает обучение с приближенной арифметики. Наши результаты показывают, что приблизительная арифметика может быть особенно полезной для детей с низкими математическими способностями.Будущая работа должна изучить, как математические способности и факторы, которые могут широко влиять на математические способности, такие как социально-экономический статус и возраст, взаимодействуют, чтобы повлиять на эффективность вмешательства. Наконец, наше исследование поддерживает идею о том, что обучение приближенной арифметике может быть полезным дополнением к начальной математической программе, но необходимы дальнейшие исследования, чтобы понять, как лучше всего интегрировать несимволическую и приблизительную арифметику в начальное математическое образование. Недавнее слияние работ, подтверждающих эффективность обучения приближенным арифметическим вычислениям, включая текущее исследование, предполагает, что это будет полезное начинание.

Заявление об этике

Исследование и протокол были рассмотрены и одобрены Институциональным наблюдательным советом Университета Дьюка. От родителей всех участников было получено письменное информированное согласие.

Вклад авторов

ES и EB задумали и спланировали эксперимент. ES собрал данные и провел анализ. Все авторы обсудили результаты и внесли свой вклад в окончательный вариант рукописи.

Финансирование

Это исследование было поддержано наградой NIH R01 HD079106 для EB.

Заявление о конфликте интересов

Авторы заявляют, что исследование проводилось при отсутствии каких-либо коммерческих или финансовых отношений, которые могли бы быть истолкованы как потенциальный конфликт интересов.

Благодарности

Авторы хотели бы поблагодарить Франческу Точчи, Рэйчел Робертс, Примулу Лейн, Мэри Хейган, Кейли Лаример, Лори Энн Овусу-Дапаах, Яфет Элайас, Тейлор Джонс, Белекс Ченг и Чандру Суонсон за помощь в сборе данных. Мы также хотели бы поблагодарить Joonkoo Park, Nick DeWind и Stephanie Bugden за полезные обсуждения этой рукописи.

Сноски

Ссылки

Барт Х., Ла Монт К., Липтон Дж., Дехане С., Канвишер Н. и Спелке Э. (2006). Несимволическая арифметика у взрослых и детей раннего возраста. Познание 98, 199–222. doi: 10.1016/j.cognition.2004.09.011

Реферат PubMed | Полный текст перекрестной ссылки | Академия Google

Барт, Х., Ла Монт, К., Липтон, Дж., и Спелке, Э. С. (2005). Абстрактное число и арифметика у дошкольников. Проц. Натл. акад.науч. США 102, 14116–14121. doi: 10.1073/pnas.0505512102

Реферат PubMed | Полный текст перекрестной ссылки | Академия Google

Бонни, Дж. В., и Лоуренко, С. Ф. (2013). Приблизительная система счисления и ее связь с ранними математическими достижениями: свидетельства дошкольного возраста. Дж. Эксп. Детская психология. 114, 375–388. doi: 10.1016/j.jecp.2012.09.015

Реферат PubMed | Полный текст перекрестной ссылки | Академия Google

Чен, К. , и Ли, Дж. (2014). Связь между индивидуальными различиями в остроте несимволических чисел и математической успеваемости: метаанализ. Acta Psychol. 148, 163–172. doi: 10.1016/j.actpsy.2014.01.016

Реферат PubMed | Полный текст перекрестной ссылки | Академия Google

Чинг, Б.Х.Х., и Нуньес, Т. (2017). Важность аддитивных рассуждений в математических достижениях детей: продольное исследование. Дж. Образовательный. Психол. 109, 477–508. doi: 10.1037/edu0000154

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

Диллон, М. Р., Каннан, Х., Дин, Дж. Т., Спелке, Э. С., и Дюфло, Э.(2017). Когнитивная наука в полевых условиях: дошкольное вмешательство надолго улучшает интуитивную, но не формальную математику. Наука 357, 47–55. doi: 10.1126/science.aal4724

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

Duncan, G.J., Dowsett, C.J., Claessens, A., Magnuson, K., Huston, A.C., Klebanov, P., et al. (2007). Подготовка к школе и более поздние достижения. Дев. Психол. 43, 1428–1446. дои: 10.1037/0012-1649.43.6.1428

Реферат PubMed | Полный текст перекрестной ссылки | Академия Google

Данн, Л.М. и Данн, Д.М. (1997). Тест Пибоди в картинках, пересмотренный . Миннеаполис, Миннесота: Американская служба ориентации.

Академия Google

Фацио, Л.К., Бейли, Д.Х., Томпсон, К.А., и Зиглер, Р.С. (2014). Отношения различных типов числовых представлений величины друг к другу и к математическим достижениям. Дж. Эксп. Детская психология. 123, 53–72. doi: 10.1016/j.jecp.2014.01.013

Реферат PubMed | Полный текст перекрестной ссылки | Академия Google

Гири, Д.К., Хоард, М.К., Наджент, Л., и Бейли, Д.Х. (2013). Функциональная способность подростка к арифметике определяется его знанием школьной системы счисления. PLoS ONE 8:e54651. doi: 10.1371/journal.pone.0054651

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

Герштадт, К.Л., Хонг, Ю.Дж. , и Даймонд, А. (1994). Взаимосвязь между познанием и действием: выполнение детьми в возрасте 3 1/2–7 лет задачи типа Струпа «день-ночь». Познание 53, 129–153. дои: 10.1016/0010-0277(94)-С

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

Гинзбург, Х. П., и Баруди, А. Дж. (2003). Тест на ранние математические способности (3-е изд.) . Остин, Техас: Pro-Ed.

Глуттинг, Дж., и Джордан, Северная Каролина (2012). Устройство распознавания чисел . Балтимор, Мэриленд: Brookes Publishing.

Халберда, Дж., Ли, Р., Уилмер, Дж. Б., Найман, Д. К., и Жермин, Л. (2012). Ощущение числа на протяжении всей жизни, как показала обширная интернет-выборка. Проц. Натл. акад. науч. США 109, 11116–11120. doi: 10.1073/pnas.1200196109

Реферат PubMed | Полный текст перекрестной ссылки | Академия Google

Хальберда, Дж., Маццокко, М.М., и Фейгенсон, Л. (2008). Индивидуальные различия в остроте невербальных чисел коррелируют с успеваемостью по математике. Нац. лат. 455, 665–668. doi: 10.1038/nature07246

Реферат PubMed | Полный текст перекрестной ссылки | Академия Google

Хирш-Пасек, К., Зош, Дж. М., Голинкофф, Р.М., Грей, Дж. Х., Робб, М. Б., и Кауфман, Дж. (2015). Внедрение образования в «образовательные» приложения — уроки науки об обучении. Психолог. науч. Общественные интересы 16, 3–34. дои: 10.1177/15215569721

Реферат PubMed | Полный текст перекрестной ссылки | Академия Google

Хайд, округ Колумбия, Ханум, С., и Спелке, Э. С. (2014). Краткая несимволическая, приблизительная числовая практика улучшает последующую точную символьную арифметику у детей. Познание 131, 92–107. дои: 10.1016/j.cognition.2013.12.007

Реферат PubMed | Полный текст перекрестной ссылки | Академия Google

Джордан, Северная Каролина, Глуттинг, Дж., и Раминени, К. (2010). Значение чувства числа для успеваемости по математике в первом и третьем классах. Учиться. Индивид. Дифф. 20, 82–88. doi: 10.1016/j.lindif.2009.07.004

Реферат PubMed | Полный текст перекрестной ссылки | Академия Google

Jordan, N.C., Kaplan, D., Locuniak, M.N., и Ramineni, C. (2007). Прогнозирование успеваемости по математике в первом классе на основе траекторий развития чувства числа. Учиться. Инвалид. Рез. Практика. 22, 36–46. doi: 10.1111/j.1540-5826.2007.00229.x

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

Джордан, Северная Каролина, Каплан, Д., Наборс Олах, Л., и Локуняк, М. Н. (2006). Развитие чувства числа в детском саду: продольное исследование детей, подверженных риску математических трудностей. Детская разработка. 77, 153–175. doi: 10.1111/j.1467-8624.2006.00862.x

Реферат PubMed | Полный текст перекрестной ссылки | Академия Google

Иордания, Н.К., Каплан Д., Раминени К. и Локуняк М. Н. (2009). Ранняя математика имеет значение: умение считать в детском саду и более поздние результаты математики. Дев. Психол. 45, 850–867. дои: 10.1037/a0014939

Реферат PubMed | Полный текст перекрестной ссылки | Академия Google

Ханум С., Ханиф Р., Спелке Э. С., Бертелети И. и Хайд Д. К. (2016). Влияние практики несимволических приблизительных чисел на символические числовые способности пакистанских детей. PLoS ONE 11:e0164436.doi: 10.1371/journal.pone.0164436

Реферат PubMed | Полный текст перекрестной ссылки | Академия Google

Киббе, М.М., и Фейгенсон, Л. (2015). Маленькие дети «находят x », используя приблизительную систему счисления. Дев. науч. 18, 38–49. doi: 10.1111/указ.12177

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

Либертус, М.Е., Фейгенсон, Л., и Халберда, Дж. (2013). Способности к численному приближению коррелируют и предсказывают неформальные, но не формальные математические способности. Дж. Эксп. Детская психология. 116, 829–838. doi: 10.1016/j.jecp.2013.08.003

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

Моро, Д. , Кирк, И. Дж., и Уолди, К. Э. (2016). Семь широко распространенных статистических ошибок в когнитивных тренингах. Фронт. Гум. Неврологи. 10:153. doi: 10.3389/fnhum.2016.00153

Реферат PubMed | Полный текст перекрестной ссылки | Академия Google

Нуньес Т., Брайант П., Эванс Д., Белл Д., Гарднер С., Гарднер А., и другие. (2007). Вклад логического мышления в изучение математики в начальной школе. Бр. Дж. Дев. Психол. 25, 147–166. дои: 10.1348/026151006X153127

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

Парк Дж., Бермудес В., Робертс Р. К. и Браннон Э. М. (2016). Несимволическое приближенное арифметическое обучение улучшает математические способности дошкольников. Дж. Эксп. Детская психология. 152, 278–293. doi: 10.1016/j.jecp.2016.07.011

Реферат PubMed | Полный текст перекрестной ссылки | Академия Google

Парк, Дж.и Браннон, Э. М. (2014). Улучшение арифметических способностей с помощью тренировки чувства чисел: исследование основного механизма. Познание 133, 188–200. doi: 10.1016/j.cognition.2014.06.011

Реферат PubMed | Полный текст перекрестной ссылки | Академия Google

Пурпура, Д. Дж., и Логан, Дж. А. (2015). Нелинейные связи приближенной системы счисления и математического языка с ранним развитием математики. Дев. Психол. 51, 1717–1724 гг. дои: 10.1037/dev0000055

Реферат PubMed | Полный текст перекрестной ссылки | Академия Google

Рейна, В.Ф., Нельсон, В.Л., Хан, П.К., и Дикманн, Н.Ф. (2009). Как умение считать влияет на понимание риска и принятие медицинских решений. Психолог. Бык. 135, 943–973. дои: 10.1037/a0017327

Реферат PubMed | Полный текст перекрестной ссылки | Академия Google

Шнайдер М., Берес К., Кобан Л., Мерц С., Сьюзан Шмидт С., Стрикер Дж. и др. (2016). Ассоциации обработки несимволических и символических числовых величин с математической компетентностью: метаанализ. Дев.науч. 20:e12372. doi: 10.1111/указ.12372

Реферат PubMed | Полный текст перекрестной ссылки | Академия Google

Старки, П. , Клейн, А., и Уэйкли, А. (2004). Расширение математических знаний детей младшего возраста посредством вмешательства в математику дошкольного возраста. Ранний ребенок. Рез. Q. 19, 99–120. doi: 10.1016/j.ecresq.2004.01.002

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

Шукс, Д., и Майерс, Т. (2017). Критический анализ дизайна, фактов, предвзятости и выводов в учебной литературе по приближенной системе счисления: систематический обзор. Trends Neurosci. Образовательный 6, 187–203. doi: 10.1016/j.tine.2016.11.002

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

Venables, WN, and Ripley, BD (2002). Современная прикладная статистика с S (статистика и вычисления), 4-е изд. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer.

Академия Google

Винн, К. (1992). Овладение детьми числовыми словами и системой счета. Познан. Психол. 24, 220–251.

Академия Google

Теология арифметики: числовой символизм в платонизме и раннем христианстве

Джоэл Калвесмяки

Во втором веке валентиниане и другие гностицирующие христиане использовали числовые структуры и символы для описания Бога, толкования Библии и построения вселенной. В этом исследовании возникших разногласий Джоэл Кальвесмаки показывает, как более ранний неопифагорейский и платонистский числовой символизм послужил импульсом для этой теологии арифметики, и описывает способы, которыми гностицирующие группы пытались задействовать и то, и другое…


Подробнее

Во втором веке валентиниане и другие гностицирующие христиане использовали числовые структуры и символы для описания Бога, толкования Библии и построения вселенной. В этом исследовании возникшего противоречия Джоэл Кальвесмаки показывает, как более ранний неопифагорейский и платонистский числовой символизм дал толчок для этого богословия арифметики, и описывает способы, которыми гностицирующие группы пытались задействовать как платонистские, так и христианские традиции.Он исследует богатое разнообразие числового символизма, использовавшегося в то время как гностицирующими группами, так и их ортодоксальными критиками, демонстрируя, как эти критики разработали альтернативный подход к числовому символизму, который установил образец на века вперед. Утверждая, что ранний диспут повлиял на саму традицию, которая его вдохновила, Кальвесмяки объясняет, как в конце третьего и начале четвертого веков числа становились все более важными для платоников, которые занимались арифмологическими построениями и спорами, которые отражали более ранние христианские.


Доступно для покупки в печатном виде через издательство Гарвардского университета.


Процитировать эту работу

Кальвесмаки, Джоэл. 2013. Теология арифметики: числовой символизм в платонизме и раннем христианстве . Серия греческих исследований 59. Вашингтон, округ Колумбия: Центр греческих исследований. http://nrs.harvard.edu/urn-3:hul.ebook:CHS_KalvesmakiJ.The_Theology_of_Arithmetic.2013.


Лицензия

Эта работа находится под лицензией Creative Commons 3.0 License.


Сосредоточение внимания на неформальных стратегиях при связывании арифметики с ранней алгеброй

  • Беднарз, Н. и Жанвье Б.: 1996, «Появление и развитие алгебры как инструмента решения проблем: непрерывность и разрывы с арифметикой», в Н. Беднарз.К. Киран и Л. Ли (ред.), Подходы к алгебре, Kluwer Academic Publishers, Дордрехт, Нидерланды, стр. 115–136.

    Google ученый

  • Бут, LR: 1988, «Детские трудности в начале алгебры», в AF Coxford (ред.), Идеи алгебры, K-12 (Ежегодник NCTM 1988 г.), Национальный совет учителей математики, Рестон, Вирджиния , стр. 20–32.

    Google ученый

  • Да Роча Фалькао, Дж.: 1995, «Пример алгебраических строительных лесов: от балансовой шкалы до алгебраической записи», в Л. Мейра и Д. Каррахер (ред.), Труды 19-й Международной конференции по психологии математического образования, Vol. 2, Федеральный университет Пернамбуку, Ресифи, Бразилия, стр. 66–73.

    Google ученый

  • Фовель, Дж. и Ван Маанен, Дж. (редакторы): 2000, История в математическом образовании: исследование ICMI, Kluwer Academic Publishers, Дордрехт, Нидерланды.

    Google ученый

  • Филлой, Э. и Рохано, Т.: 1989, «Решение уравнений: переход от арифметики к алгебре», Для изучения математики 9 (2), 19–25.

    Google ученый

  • Фройденталь, Х.: 1962, «Логический анализ и критическое исследование», в книге Х. Фройденталя (редактор), Отчет об отношениях между арифметикой и алгеброй, Nederlandse Onderwijscommissie voor Wiskunde, Гронинген, Нидерланды, стр.20–41.

  • Herscovics, N. и Linchevski, L.: 1994, «Когнитивный разрыв между арифметикой и алгеброй», Educational Studies in Mathematics 27(1), 59–78.

    Артикул Google ученый

  • Киран, К.: 1989, «Раннее изучение алгебры: структурная перспектива», в С. Вагнер и К. Киран (ред.), Проблемы исследования в изучении и преподавании алгебры, Национальный совет учителей математики, Рестон, В. А., с.33–56.

    Google ученый

  • Киран, К.: 1992, «Изучение и преподавание школьной алгебры», в Д. Гроувсе (ред.), Справочник по исследованиям в области преподавания и обучения математике, издательство MacMillan Publishing Company, Нью-Йорк, стр. 390– 419.

    Google ученый

  • Линчевски, Л. и Херскович, Н.: 1996, «Преодоление когнитивного разрыва между арифметикой и алгеброй: работа с неизвестным в контексте уравнений», Образовательные исследования по математике 30, 39–65.

    Артикул Google ученый

  • Мейсон, Дж.: 1996, «Выражение общности и корней алгебры», в Н. Беднарц, К. Киран и Л. Ли (ред.), Подходы к алгебре, Kluwer Academic Publishers, Дордрехт, Нидерланды, стр. 65–111.

    Google ученый

  • Рэдфорд, Л.: 1997, «О психологии, исторической эпистомологии и преподавании математики: к социокультурной истории математики», For Learning of Mathematics 17 (1), 26–33.

    Google ученый

  • Сфард, А.: 1991, «О двойственной природе математических концепций: размышления о процессах и объектах как о разных сторонах одной медали», Educational Studies in Mathematics 21, 1–36. ОТ АРИФМЕТИКИ К РАННЕЙ АЛГЕБРЕ 75

    Статья Google ученый

  • Сфард, А.: 1995, «Развитие алгебры: противостояние историческим и психологическим перспективам», Journal of Mathematical Behavior 14, 15–39.

    Артикул Google ученый

  • Стрифленд, Л.: 1995, «Zelf алгебра сделана [Создание алгебры самостоятельно]», Nieuwe Wiskrant 15 (1), 33–37.

    Google ученый

  • Стрифланд, Л.: 1996 г., Изучение истории для преподавания в будущем, Институт Фройденталя, Утрехт, Нидерланды. [см. этот специальный выпуск журнала Educational Studies in Mathematics]

    Google ученый

  • Стрифленд, Л. и Ван Амером, А.: 1996, «Дидактическая феноменология уравнений», в Дж. Хименес, Р. Кампос Линс и Б. Гомес (ред.), Арифметика и алгебраическое образование: в поисках будущего, факультет компьютерной инженерии, Университет Ровира. i Virgili, Таррагона, стр. 120–131.

    Google ученый

  • Struik, D.J.: 1990, Geschiedenis van de wiskunde [История математики], Het Spectrum, Утрехт, Нидерланды.

    Google ученый

  • Усыскин З.: 1988, «Концепции школьной алгебры и использование переменных», в А. Коксфорд (ред.), «Идеи алгебры», K-12, Национальный совет учителей математики, Рестон, Вирджиния, стр. 8–19.

    Google ученый

  • Ван Амером, бакалавр искусств: 2002, Новое изобретение ранней алгебры, CDβ-Press/Институт Фройденталя, Утрехт, Нидерланды. Институт Фройденталя, Утрехтский университет, Айдадреф 12, 3561 GE Утрехт, Нидерланды Телефон +31 (0)302635555, факс +31 (0)302660430, E-mail: [email protected]

    Google ученый

  • Политическая арифметика: симпозиум по демографическим исследованиям | Экономический журнал

    Получить помощь с доступом

    Институциональный доступ

    Доступ к контенту с ограниченным доступом в Oxford Academic часто предоставляется посредством институциональных подписок и покупок. Если вы являетесь членом учреждения с активной учетной записью, вы можете получить доступ к контенту следующими способами:

    Доступ на основе IP

    Как правило, доступ предоставляется через институциональную сеть к диапазону IP-адресов.Эта аутентификация происходит автоматически, и невозможно выйти из учетной записи с проверкой подлинности IP.

    Войти через свое учреждение

    Выберите этот вариант, чтобы получить удаленный доступ за пределами вашего учреждения.

    Технология Shibboleth/Open Athens используется для обеспечения единого входа между веб-сайтом вашего учебного заведения и Oxford Academic.

    1. Щелкните Войти через свое учреждение.
    2. Выберите свое учреждение из предоставленного списка, после чего вы перейдете на веб-сайт вашего учреждения для входа.
    3. Находясь на сайте учреждения, используйте учетные данные, предоставленные вашим учреждением. Не используйте личную учетную запись Oxford Academic.
    4. После успешного входа вы вернетесь в Oxford Academic.

    Если вашего учреждения нет в списке или вы не можете войти на веб-сайт своего учреждения, обратитесь к своему библиотекарю или администратору.

    Войти с помощью читательского билета

    Введите номер своего читательского билета, чтобы войти в систему. Если вы не можете войти в систему, обратитесь к своему библиотекарю.

    Члены общества

    Многие общества предлагают своим членам доступ к своим журналам с помощью единого входа между веб-сайтом общества и Oxford Academic. Из журнала Oxford Academic:

    1. Щелкните Войти через сайт сообщества.
    2. При посещении сайта общества используйте учетные данные, предоставленные этим обществом. Не используйте личную учетную запись Oxford Academic.
    3. После успешного входа вы вернетесь в Oxford Academic.

    Если у вас нет учетной записи сообщества или вы забыли свое имя пользователя или пароль, обратитесь в свое общество.

    Некоторые общества используют личные аккаунты Oxford Academic для своих членов.

    Личный кабинет

    Личную учетную запись можно использовать для получения оповещений по электронной почте, сохранения результатов поиска, покупки контента и активации подписок.

    Некоторые общества используют личные учетные записи Oxford Academic для предоставления доступа своим членам.

    Институциональная администрация

    Для библиотекарей и администраторов ваша личная учетная запись также предоставляет доступ к управлению институциональной учетной записью.Здесь вы найдете параметры для просмотра и активации подписок, управления институциональными настройками и параметрами доступа, доступа к статистике использования и т. д.

    Просмотр ваших зарегистрированных учетных записей

    Вы можете одновременно войти в свою личную учетную запись и учетную запись своего учреждения. Щелкните значок учетной записи в левом верхнем углу, чтобы просмотреть учетные записи, в которые вы вошли, и получить доступ к функциям управления учетной записью.

    Выполнен вход, но нет доступа к содержимому

    Oxford Academic предлагает широкий ассортимент продукции.Подписка учреждения может не распространяться на контент, к которому вы пытаетесь получить доступ. Если вы считаете, что у вас должен быть доступ к этому контенту, обратитесь к своему библиотекарю.

    (PDF) Двухзадачные исследования рабочей памяти и арифметической производительности: метаанализ

    РАБОЧАЯ ПАМЯТЬ И АРИФМЕТИКА В ДВОЙНЫХ ИССЛЕДОВАНИЯХ 42

    Schmidt, F. L. (2017). Статистические и измерительные ловушки при использовании метарегрессии в мета-

    анализе.Международная организация по развитию карьеры, 22(5), 469-476.

    Зейтц, К., и Шуман-Хенгстелер, Р. (2000). Ментальное умножение и рабочая память

    . Европейский журнал когнитивной психологии, 12(4), 552-570.

    Шипстед, З., Редик, Т. С., и Энгл, Р. В. (2012). Эффективна ли тренировка рабочей памяти

    ? Психологический бюллетень, 138(4), 628.

    Siegler, RS (1987). Опасности усреднения данных по стратегиям: пример из детского сложения

    .Журнал экспериментальной психологии: Общие, 116 (3), 250.

    Siegler, RS (1988). Процедуры выбора стратегии и развитие навыка умножения

    . Journal of Experimental Psychology: General, 117(3), 258.

    Simons, DJ, Boot, WR, Charness, N., Gathercole, SE, Chabris, CF, Hambrick, DZ, &

    Stine-Morrow, EA ( 2016). Работают ли программы «тренировки мозга»? Психологическая наука

    в интересах общества, 17(3), 103-186.

    Стэнли, Т. Д., и Дукулиагос, Х. (2014). Аппроксимации метарегрессии для уменьшения

    ошибок при выборе публикаций. Методы синтеза исследований, 5(1), 60-78.

    Трейсман, А. М., и Дэвис, А. (1973). Распределение внимания на ухо и глаз. В S. Kornblum (Ed.),

    Внимание и производительность IV, (стр. 101-117). Сан-Диего, Калифорния: Academic Press.

    Трбович, П.Л., и ЛеФевр, Дж.А. (2003). Фонологическая и зрительная рабочая память в умственном

    сложении.Память и познание, 31(5), 738-745.

    Тронский Л. Н. (2005). Использование стратегии, развитие автоматизма и рабочей памяти

    участие в сложном умножении. Память и познание, 33(5), 927-940.

    Тронски, Л. Н., Макманус, М., и Андерсон, Э. К. (2008). Использование стратегии в умственном вычитании

    определяет центральную исполнительную нагрузку. Американский журнал психологии, 189–207.

    Автоморфные формы и геометрия арифметических многообразий

    Расширенные исследования чистой математики, том 15

    523 стр.

    Права: Copyright © 1989 Математическое общество Японии

    Опубликовано: 1989 г.

    Впервые доступно в Project Euclid: 31 мая 2018 г.

    Цифровой идентификатор объекта: 10.2969/аспм/01510000

    ISBN: 9784864970730

    Субъектов:

    Начальный: 11Fxx

    Вторичный: 11-06

    Пространства модулей и арифметическая геометрия

    С момента своего рождения алгебраическая геометрия была тесно связана с теорией чисел и глубоко мотивирована ею.В частности, современные исследования пространств модулей и арифметической геометрии имеют много общих важных методов и идей. Помня об этой тесной связи, конференция RIMS «Пространства модулей и арифметическая геометрия» была проведена в Киотском университете с 8 по 15 сентября 2004 г. в качестве 13-го Международного исследовательского института Математического общества Японии. Этот том является результатом этой конференции и состоит из тринадцати докладов приглашенных докладчиков, в том числе C Soulé, A Beauville и C Faber, а также участников.Все статьи, за двумя исключениями C Voisin и Yoshinori Namikawa, посвящены проблеме модулей и/или арифметической геометрии. Алгебраические кривые, абелевы многообразия, алгебраические векторные расслоения, связности и D-модули являются предметом этих статей о модулях. В арифметических работах изучаются геометрия Аракелова и жесткая геометрия. За двумя исключениями изучаются целочисленные классы Ходжа на трехмерных многообразиях Калаби-Яу и симплектические резольвенты нильпотентных орбит.

    Издается Математическим обществом Японии и распространяется World Scientific Publishing Co.для всех рынков, кроме Северной Америки


    Содержимое:
    • Пространства модулей скрученных пучков на проективном многообразии (К Йошиока)
    • Приложение: Доказательство гипотезы К.альд.арару (Д. Хайбрехтс и П. Стеллари)
    • Об интегральных классах Ходжа на трехмерных многообразиях с нелинейкой или Калаби-Яу (C Voisin)
    • Бирациональная геометрия симплектических резольвент нильпотентных орбит (Y Namikawa)
    • Стек модулей расслоений Гизекера второго ранга с фиксированным определителем на узловой кривой (T Abe)
    • Векторные расслоения на кривых и тета-функции (Бовиль)
    • О конечности абелевых многообразий с ограниченной модульной высотой (А Мориваки)
    • Модули регулярной голономики D X -модули с естественной параболической устойчивостью (N Nitsure)
    • Группы когомологий стабильных квазиабелевых схем и вырождений, связанных с E 8 -решеткой (И. Накамура и К. Сугавара)
    • Полуустойчивые расширения на арифметических поверхностях (C Soulé)
    • On the Cusp FormMotives in Genus 1 и Level 1 (C Consani & C Faber)
    • Поляризованные поверхности K3 тринадцатого рода (S Mukai)
    • Жесткая геометрия и приложения (K Fujiwara & F Kato)
    • Модули устойчивых параболических связностей, соответствие Римана-Гильберта и геометрия уравнения Пенлеве типа VI, часть II (М. Инаба, К. Ивасаки и М. Сайто)

    Читатели: Исследователи, интересующиеся проблемами модулей, и аспиранты, изучающие алгебраическую геометрию.
    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.